彈塑性力學基礎-中國地質大學

材料料力力學學中國地質大大學力學教教學部彈塑性力學學基礎李同林林中國地質大大學力力學教研室室第一章緒緒論論一、學科科分類·彈塑性力學學二、彈塑塑性力學的的研究對象象三、彈塑塑性力學的的基本思路路與研究方方法四、彈塑塑性力學的的基本任務務五、彈塑塑性力學基基本假設六、彈塑塑性力學發(fā)發(fā)展概況七、張量概概念及其基基本運算一、學科分分類·彈塑性力學學按運動與否否分：靜力學：研究力系或或物體的平平衡問題，，不涉及物體運動狀狀態(tài)的改變變；如飛機機停在地面或巡航。。運動學：研究物體如何運動，不討論運動與受力的關系；如飛行軌跡、速度、加速度。動力學：研究力與運動的關系。如何提供加速度？1、學科分類類●按研究究對象分：◆一般力力學：研究對象是是剛體。研究力及及其與運動的關系系。分支學學科有理論力學，分析力學等。◆流體體力學：研究對象是是氣體或液液體。涉及及到：水力學、空空氣動力學學等學科?！艄腆w力力學：研究對象是是可變形固固體。研究材料料變形、流動動和斷裂時時的力學響響應。其分分支學科有有：材料力學、、結構力學學、彈性力學、塑性力學、、彈塑性力學學、斷裂力力學、流變變學、疲勞勞等。

按研究手段分：（理論分析、實驗和數值計算）

有實驗力學、計算力學二個方面的分支。

按應用領域分：有飛行力學、船舶結構力學、巖土力學、量子力學等。2、彈塑性力力學彈塑性力學學是固體力力學的一個個重要分支支學科，是研研究可變形形固體受到到外荷載或或溫度變化等因素素的影響而而發(fā)生的應應力、應變變和位移及其分布布規(guī)律的一一門科學，，是研究固固體在受載過程中中產生的彈彈性變形和和塑性變形形階段這兩個緊密密相連的變變形階段力力學響應的的一門科學。二、彈塑塑性力學的的研究對象象在研究對象象上，材料料力學的研研究對象是是固體，且且基本上是是各種桿件件，即所謂謂一維構件件。造成兩者間間這種差異的根本本原因是什什么呢？彈塑性力學學研究對象象也是固體體，是不受受幾何尺寸與與形態(tài)限制制的能適應應各種工程程技術問題需求的的物體。三、彈塑性性力學的基基本思路與與研究方法法1、彈塑性力力學分析問問題的基本本思路彈塑性力學學與材料力力學同屬固固體力學的的分支學科，，它們在分分析問題解解決問題的的基本思路上都是是一致的，，但在研究究問題的基基本方法上各不相相同。其基基本思路如如下：(1)受力分析及及靜力平衡衡條件(力的分析)物體受力作作用處于平平衡狀態(tài)，，應當滿足足的條件是什么？（（靜力平衡衡條件）(2)變形的幾何相容條件(幾何分析)材料是均勻連續(xù)的，在受力變形后仍應是連續(xù)的。固體內既不產生“裂隙”，也不產生“重疊”，此時材料變形應滿足的條件是什么？（幾何相容條件）(3)力與變形間的本構關系(物理分析)固體材料受力作用必然產生相應的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應不同的物理關系?！魪椝苄孕粤W研究究問題的基基本方法以受力物體內某一點（單元體）為研究對象

單元體的受力——應力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關系——本構理論；

建立起普遍適用的理論與解法。1、涉及數學理理論較復雜雜，并以其其理論與解解法的嚴密性性和普遍適適用性為特特點；2、彈塑性的工工程解答一一般認為是是精確的；；3、可對初等力力學理論解解答的精確確度和可靠靠進行度量。。四、彈塑塑性力學的的基本任務務可歸納為以以下幾點：：1．建立求解解固體的應應力、應變變和位移分分布規(guī)律的的基本方程和和理論；2．給出初等等理論無法法求解的問問題的理論論和方法，，以及對初等等理論可靠靠性與精確確度的度量量；3．確定和充充分發(fā)揮一一般工程結結構物的承承載能力，，提高經濟效效益；4．為進一步步研究工程程結構物的的強度、振振動、穩(wěn)定定性、斷裂等等力學問題題，奠定必必要的理論論基礎。五、彈塑塑性力學的的基本假設設（1）連續(xù)性假假設：假定定物質充滿滿了物體所所占有的全部部空間，不不留下任何何空隙。（2）均勻性與與各向同性性的假設：：假定物體體內部各點處，，以及每一一點處各個個方向上的的物理性質相相同。（3）力學模型型的簡化假假設：（A）完全彈性假假設；（B）彈塑性假設設。⑷幾何何假設——小變形條件件（A）在彈塑性性體產生變變形后建立立平衡方程程時，可以以不考慮因變變形而引起起的力作用用線方向的的改變；從而使得平平衡條件與與幾何變形形條件線性性化。（B）在研究問問題的過程程中可以略略去相關的的二次及二二次以上的高高階微量；；假定物體在在受力以后后，體內的的位移和變變形是微小小的，即體內內各點位移移都遠遠小小于物體的的原始尺寸寸，而且應變(包括線應變變與角應變變)均遠遠小于于1。根據這一假定：：六、彈塑性力學學發(fā)展概況況◆1678年英國科學家家虎克(R.Hooke)提出了固固體材料的彈性變變形與所受受外力成正正比——虎克定律。?！?9世紀20年代，法國國科學家納納維葉(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了彈性力學的的理論基礎礎?！舴ǚ▏鴩瓶茖W學家家?guī)鞄靷悅?C.A.Corlomb1773年））、、屈雷雷斯斯卡卡(H.Tresca1864年））、、圣文文南南和和萊萊(M.Levy)波蘭蘭力力學學家家胡胡勃勃(M.T.Houber1904年））、、米塞塞斯斯(R.vonMises1913年））、、普朗朗特特(L.Prandtl1924)羅伊伊斯斯(A.Reuss1930)、享奇奇（（H.Hencky)、納戴戴(A.L.Nadai)、伊留留申申(A.A.ИИииььюющщиинн)闡明明了了應應力力、、應應變變的的概概念念和和理理論論；；彈性性力力學學和和彈彈塑塑性性力力學學的的基基本本理理論論框框架架得得以以確確立立。七、、張張量量概概念念及及其其基基本本運運算算（附錄錄一一））1、張張量量概概念念◆張量量分分析析是是研研究究固固體體力力學學、、流流體體力力學學及及連連續(xù)續(xù)介介質力力學學的的重重要要數數學學工工具具。?！魪埩苛糠址治鑫鼍呔哂杏懈吒叨榷雀鸥爬ɡ?、、形形式式簡簡潔潔的的特特點點。。◆任一一物物理理現現象象都都是是按按照照一一定定的的客客觀觀規(guī)規(guī)律律進進行行的的，，它們們是是不不以以人人們們的的意意志志為為轉轉移移的的。?！舴治鑫鲅醒芯烤课镂锢砝憩F現象象的的方方法法和和工工具具的的選選用用與與人人們們當時時對對客客觀觀事事物物的的認認識識水水平平有有關關，，會會影影響響問問題題的求求解解與與表表述述。?！羲杏信c與坐坐標標系系選選取取無無關關的的量量，，統統稱稱為為物理理恒恒量量?！粼谝灰欢ǘ▎螁挝晃恢浦葡孪?，，只只需需指指明明其其大大小小即即足足以以被被說說明明的物物理理量量，，統統稱稱為為標量量。例例如如溫溫度度、、質質量量、、功功等等。?！粼谝灰欢ǘ▎螁挝晃恢浦葡孪?，，除除指指明明其其大大小小還還應應指指出出其其方方向向的物物理理量量，，稱稱為為矢量量。例例如如速速度度、、加加速速度度等等。?！艚^對對標標量量只只需需一一個個量量就就可可確確定定，，而而絕絕對對矢矢量量則則需需三個個分分量量來來確確定定。。◆若我我們們以以r表示示維維度度，，以以n表示示冪冪次次，，則則關關于于三三維維空間間，，描描述述一一切切物物理理恒恒量量的的分分量量數數目目可可統統一一地地表表示成成：：（Ⅰ—1）◆現令令n為這這些些物物理理量量的的階階次次，，并并統統一一稱稱這這些些物物理量量為為張張量量。?！舳A階以以上上的的張張量量已已不不可可能能在在三三維維空空間間有有明明顯顯直直觀的的幾幾何何意意義義，，但但它它做做為為物物理理恒恒量量，，其其分分量量間間可由坐標變換換關系式來解解決定義。當n=0時，零階張量量，M=1，標量；當n=1時，一階張量量，M=3，矢量；、、、當取n時，n階張量，M=3n?！粼趶埩康挠懻撜撝?，都采用用下標字母符符號，來表示和區(qū)別該張張量的所有分分量?！舨恢貜统霈F的的下標符號稱稱為自由標號號。自由標號在其方程內內只羅列不求求和。以自由由標號的數量確定張量的的階次?！糁貜统霈F，且且只能重復出出現一次的下下標符號稱為啞標號或假假標號。啞標標號在其方程程內先羅列，，再不求和。2.下標記號法◆本教程張量下下標符號的變變程，僅限于于三維空間，，即變程為3。3.求和約定關于啞標號應應理解為取其其變程N內所有數值，，然后再求和，，這就叫做求求和約定。例例如：（I-2）（I-4）（I-5）★關于求和標號號，即啞標有有：◆求和標號可任任意變換字母母表示?！羟蠛图s定只適適用于字母標標號，不適用用于數字標號號?！粼谶\算中，括括號內的求和和標號應在進進行其它運算算前優(yōu)先求和。例例：（I-12）（I-13）★關于自由標號號：◆在同一方程式式中，各張量量的自由標號號相同，即同階且標號號字母相同。。◆自由標號的數數量確定了張張量的階次。?！镪P于Kroneckerdelta（）符號：

是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號（或柯羅尼克爾符號），亦稱單位張量。其定義為：

（I-17）4.張量的基本運運算A、張量的加減：：張量可以用矩矩陣表示，稱稱為張量矩陣，如：凡是同階的兩兩個或幾個張張量可以相加加(或相減)，并得到同階的的張量，它的的分量等于原原來張量中標標號相同的諸分量量之代數和。。即：其中各分量（元素）為：（I-19）（I-20）B、張量的乘積◆對于任何階的的諸張量都可可進行乘法運運算?！魞蓚€任意階張張量的乘法定定義為：第一一個張量的每一個分量乘乘以第二個張張量中的每一一個分量，它們所組成的的集合仍然是是一個張量，，稱為第一個張量乘以第第二個張量的的乘積，即積積張量。積張量的階數等等于因子張量量階數之和。。例如：◆張量乘法不服服從交換律，，但張量乘法法服從分配律和結合律。。例如：（I-21）（I-22）C、張量函數的求求導：◆一個張量是坐坐標函數，則則該張量的每每個分量都是坐標參數xi的函數?！魧埩壳髮?，，就是把張量量的每個分量量都對坐標參參數求導數?！魧埩康淖鴺藰藚登髮禂禃r，采用在在張量下標符號前上方加加“′”的方式來表示示。例如：，，就表示對一階階張量的的每一個分分量對坐標參參數xi求導。

◆

對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標符號前上方加“′”的方式來表示。例如：，就表示對一階張量的每一個分量對坐標參數xi求導。

◆如果在微商中中下標符號i是一個自由下下標，則算子作作用的結果果，將產生一一個新的升高高一階的張量；如果在微商中中，下標符號號是一個啞標標號，則算子子作用的結果將將產生一個新新的降低一階階的張量。例如：（I-23）（I-24）（I-25））（I-25）◆

如果在微商中下標符號i

是一個自由下標，則算子作用的結果，將產生一個新的升高一階的張量；如果在微商中，下標符號是一個啞標號，則算子作用的結果將產生一個新的降低一階的張量。例如：4.張量的分解張量一般是非對稱的。若張量的分量滿足則稱為反對稱張量。顯然反對稱張量中標號重復的分量(也即主對角元素)為零，即。

則稱為對稱張量。如果的分量滿足（I-27）（I-28）第二章應力理論一、應力的概概念·應力狀態(tài)的概概念二、應力分量量轉換方程三、主應力·應力主方向·應力張量不變變量四、最大(最小)剪應力五、空間應力力圓.應力橢球六、應力張量量的分解七、偏斜應力力張量.主偏應力.應力偏量不變變量八、八面體應應力·等效應力九、平平衡（（或運運動））微分分方程程一、應應力的的概念念應應力狀狀態(tài)的的概念念◆應力：：受力物物體內某點點某截截面上上內力的分分布集集度。。1、應力力的概概念2、應力力狀態(tài)態(tài)的概概念：：受力物物體內內某點點處所所取無限多多截面面上的的應力力情況況的總總和，，就顯顯示和和表明了該該點的的應力力狀態(tài)態(tài)應力正應力剪應力必須指指明兩兩點：：1.是哪一一點的的應力力；2.是該點點哪個個微截截面的的應力力。◆表示應力的的及符符號規(guī)規(guī)則：：正應力力：剪應力力：第一個個字母母表明明該應應力作作用截面面的外外法線線方向向同哪哪一個個坐標標軸相相平行行。第二個個字母母表明明該應應力的的指向同同哪個個坐標標軸相相平行行?！魬Φ牡恼撠撎栆?guī)規(guī)則：：3.應力張張量數學上上，在在坐標標變換換時，，服從從一定定坐標標變換換式的九個個數所所定義義的量量，叫叫做二二階張張量。。根據據這一一定義，物物體內內一點點處的的應力力狀態(tài)態(tài)可用用二階階張量量的形形式來表示示，并并稱為為應力力張量量，而而各應應力分分量即即為應應力張量的的元素素，且且由剪剪應力力等定定理知知，應應力張張量應應是一個對對稱的的二階階張量量，簡簡稱為為應力張張量?；颍?—3）

據剪應力互等定理,應力張量應是一個對稱的二階張量。

二.應力分分量轉轉換方方程1、任意斜斜截面面上的的應力力已知：：求：PPx、Py、Pz斜截面面外法法線為為n，方向余余弦分分別為為L1、L2、L3；面積：：SABC=1；SOBC=L1，SOAC=L2，SOAB=L3。則由單元體力系平衡條件：、、得：（2—4）

（2—5）

（2—6）

（2—7）

（2—8）

2、應力力分量量轉換換方程程標坐軸xyzx′y′z′表2—1（2—10）

3、平面應應力狀狀態(tài)◆注意：：材力力與彈彈塑性性力學學中關關于應應力符符號的的差異異。（2—22）

（2—21）

（2—11）

三.主應力力·應力主主方向向·應力張張量不不變量量主平面面：一一點應應力狀狀態(tài)剪剪應力力等于于零的的截面面稱為為主平平面；；主應力力：：主平平面上上的正正應力力稱為為該點點的主主應力力；主方向向：：主平平面的的法線線方向向即為為主方方向；；主單元元體：：由主主平面面截取取的單單元體體稱為為主單單元體體。設斜截面ABC為主平面，則：3lPnzs=則由2-4得：（2—12）

（2—13）

（2—18）

理論上可證明：當一點的應力狀態(tài)確定時，由式2-18必可求出三個實根，即為主應力，且。主應力彼此正交。(2—19)

（2—20）

◆正應力力的極極值就就是主主應力力（2—24）

（2—25）由2-24及得：

對上式取極值求出方向余弦式，再代回式2-25得：，即正應力取極值截面上的剪應力為零，此正應力即為主應力。主方向彼此正交。四.最大(最小)剪應力力由2-25及求出：討論式式（b），可得其其解如如表２２-３所示示：表2—300±100±10±0±1000000±±±±±◆主剪應應力為：◆最大（（最小?。┘艏魬α椋海?—27）◆最大（（最小?。┘艏魬αψ饔糜媒孛婷嫔弦灰话阏龖Σ粸闉榱?，，即：：（2—28）

五.空間應應力圓圓·應力橢橢球一點應力狀態(tài)用解析法研究用幾何法研究解析理論莫爾應應力圓圓若三個個坐標標軸的的方向向都恰恰取為為應力力主方方向，，則由由式(2——24)或(2——15)可求出出用，，外法法線為為n的斜截截面上上的正正應力力其表達式為為:1、空間應力力圓在式（c）中，設永遠是正值值，所以式式（c）中右端的的分子和分分母應有相相同的正、負負號。在式（c）中，設永遠是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應有相同的正、負號。六、應力張量的的分解+＝+＝（2—30）

◆通常對于金金屬材料有有：◆通常將應力張量進進行分解，更有利于于研究固體材料的塑塑性變形行行為?！魩r土材料在在球應力張張量作用下下，一般也也會出現塑性體變變，從而出出現奇異屈屈服面。球應力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產生彈性畸變，當應力達到一定的極值時，將產生塑性的畸變。偏斜應力張量七、偏斜應應力張量.主偏應力.應力偏量不不變量1、偏斜應力張張量.主偏應力＝=＝＝＝2、應力偏量不不變量=◆作用八面體體產生畸變變，是塑性性力學中的的重要力學參量。八、8面體應力·等效應力2、等效應力（2-43）◆材料處于單向拉伸應力狀態(tài)時，，；◆應力狀態(tài)確定了，值就確定了，與坐標軸的選擇無關；◆等效應力與球應力狀態(tài)無關，是塑性力學中的重要力學參量。計算中是使用的絕對值。

等效應力又稱為有效應力或應力強度，用表示.九、平衡（或運運動）微分分方程◆平衡微分方方程：◆一個客客觀的彈性性力學問題題，在物體體體內任意意一點的應力分量量和體力分分量必定滿滿足這組方方程?！羟蠼鈶獞龅膯枂栴}是一個個靜不定問問題?！趔w力分分量指向同同坐標軸正正向一致取取正，反之之負。（2-44）（2-45）十、靜力邊界條條件◆一個客客觀的彈塑塑性力學問問題，在物物體邊界上上任意一點的應力力分量和面面力分量必必定滿足這這組方程。?！裘媪Ψ址至恐赶蛲鴺溯S正正向一致取取正，反之之取負。（2-46）（2-47）◆當邊界界面與某一一坐標軸相相垂直時，，應力分量量與相應的面力分分量直接對對應相等。。◆關于平平面問題的的應力邊界界條件（xoy平面）：（2-49）例2-7：圖2—16所示為一變變截面薄板板梁，板的厚度為為單位1，跨度為。。梁上表面面承受三角形形分布載荷荷作用，下下斜表面承承受均布切向向面力作用用，左端面面上作用的的面力詳細分分布情況不不清，但分分布面力的的合力為切向向集中力P，合力偶的的力偶矩為M。試確定此此問題上述述三邊界上上的應力邊界條件件。例2-7：解：左邊界：下邊界：據據圣文南原原理和平衡衡的原理得得：上邊界：（1）（2）（3）第三章變變形幾何何理論一、位移、、應變、幾幾何方程、、應應變狀狀態(tài)、應變變張量三、應變分分量轉換方方程四、主應變變、最大(最小)剪應變、體體積應變七、應變速速度、應變變增量、應應變莫爾圓圓六、應變協協調方程五、應變張張量的分解解、等效應應變二、位移邊邊界條件一、位移、、應變、應應變狀態(tài)、、幾何方程程、應變張張量1、位移分量量和相對位位移分量｛位移剛性位移：：反映物體體整體位置置的變動變形位移：：反映物體體的形狀和和尺寸發(fā)生生變化研究物體在在外力作用用下的變形形規(guī)律，只只需研究物物體內各點點的相對位置變變動情況，，即研究變變形位移。。通常物體內內各點的位位移應是點點的位置坐坐標函數，，參照oxyz坐標即為：：（3---1）◆位移函數應應是位置坐坐標的單值值連續(xù)函數數?！粑灰品至亢瘮挡荒苤敝苯颖砻魑镂矬w各點處處材料變形形的劇烈程程度，還需要要研究物體體內各點的的相對位移移。2、應變的概概念、幾幾何方程◆在物體內任任一點M處截取一單單元體，考考察其變形形（由平面面推廣到空空間）?！粼谛∽冃蔚牡那疤嵯陆ń兊牡母拍詈蛶讕缀畏匠?。。⑴應變的概念念◆考察單元體體在xy平面上投影影ABCD的變形?！舢斘⒎煮w變形并出現位移后，其在xoy平面上的投影ABCD就移至新的位置，如圖所示。

⑴應變的概念念⑴應變的概念念沿x方向棱邊的線應變，，據據定義有：：也即：（略去高階階微量得：：）A點x，y方向所夾直直角的改變變量，即剪剪應變（角角應變）：：也即：⑴應變的概念念線應變→角應變→◆應變的符號號規(guī)則：表征某點某某方向伸長長變形的線線應變取正正，反之取取負；表征某點兩兩坐標軸正正方向所夾夾直角減少少的角應變變取正，反反之取負。。顯然：γxy=γyx。1.涉及受力物物體內某點點；2.涉及該點的的某一方向向；3.是一個無量量綱的物理理量。1、涉及受力力物體內某某一點；2、涉及過該該點的某兩兩相垂直方方向；3、是一個有有單位，無無量綱的物物理量。⑵幾何方程：：（3---2）該式表明了了一點處的的位移分量量和應變分分量所應滿滿足的關系系，稱為幾幾何方程，，也稱為柯柯西(Augustin-LouisCauchy)幾何關系。。其縮寫式式為：（3---7）3、應變狀態(tài)態(tài)、應變張張量==（3---6）受力物體內內某點處線線應變和剪剪應變的總總和，反映映和表征了了該點的變變形程度(狀態(tài))，稱之為應應變狀態(tài)。。一點的應變變狀態(tài)可用用二階張量量的形式來來表示，稱稱為應變張張量，用表表示，即即：◆由幾何方程程式可以看看出，當物物體內一點點的位移分分量完全確確定時，則則應變分量量亦已完全全確定，因因為應變是是位移的微微分形式。。但是當應應變分量完完全確定時時，位移分分量則不一一定能求解解出來，這這是由于物物體的位移移除了包含含有純變形形位移外外，，還可能包包括有剛性性位移。三、應變分分量轉換方方程⑴任意方向上上的線應變變計算：⑵應變分量轉轉換方程一點的應變變狀態(tài)是一一個二階對對稱張量，，則其分量量轉換方程程為：(3---12)(3---13)◆應變狀態(tài)與與應力狀態(tài)態(tài)都是二階階對稱張量量，因因此此在數學上上兩者所遵遵循的坐標標變換法則則是相相同同的。比較較公式3--12和2—9，知其分量量間對應關關系為：但且◆由于應變張量與與應力張量量兩者在數數學上遵循循相同的的坐標變換換法則，所所以可知主主應變、應應變主方方向、最大大（最?。┘魬Α?、應變張量量分解、、…等對應關系式式均可直接接導出。四、主應變變、應變主主方向、最最大（最小?。┘魬冏儭暨^物體內任任一點，一一定存在著著三個互相相垂直的平平面,在這些平面間剪剪應變?yōu)榱懔悖瑢⑵浞Q稱之為應變主平面面。◆應變主平面面的外法線線方向稱為為應變主方向向或應變主主軸。應變主軸彼此此正交?！魬冎鞣较蛏系木€應變就是主應變。一點應變狀態(tài)的主應變有三個即：◆當一點應變變狀態(tài)確定定是，其其主應變、、應變主方方向由下下式確定：：⑴主應變、應應變主方向向（3---18）（3---19）（3---22）◆應變不變量量：（3---23）◆理論上可證證明：三個個應變主軸軸是彼此垂垂直的?！衾碚撋弦话惆阏J為：應應力主方向向與應變主主方向彼此此對應相同。。通常簡稱稱為主方向向。(2)、最大（最最?。┘魬獞儭?/p>

理論上可證明：當一點應變狀態(tài)確定時，該點的三個主應變一定也是三個實數根。并且按代數值排列：（3---24）（3---25）五、應變張張量的分解解、八面體體應變、等等效應變應變張量也也可分解為為應變球張張量和應變變偏張量，，即：（3---27）（3---28）（3---27）⑴應變張量的的分解⑵偏斜應變張張量.應變偏量不不變量◆應變偏張量量為：◆相應的應變變偏量不變變量為：(3---30）（3---29）⑶八面體應變變、等效應應變◆八面體應變變公式為：：◆等效應變?yōu)闉椋海?---34）（3---31）（3---32）六、變形連連續(xù)性條件件◆由幾何方程程可知，六六個獨立的的應變分量量是表征一一點應變狀態(tài)態(tài)的，彼此此間是不能能相互獨立立的。因此此，六個獨立的的應變分量量應滿足一一定的條件件——變形連續(xù)性條件。。三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立?！粢云矫鎲栴}題為例：（oxy平面）幾何方程3個位移分量2個若無附加條條件，則位移沒有單單值解。◆平面問題（（oxy平面）中，，位移分量量u、v、w都是坐標x、y的函數?！粢云矫鎲栴}題為例：（oxy平面）幾何方程3個位移分量2個◆以平面問題題為例：（oxy平面）幾何方程3個若無附加條條件，則位移沒有單單值解。位移分量2個◆以平面問題題為例：（oxy平面）幾何方程3個三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立。若無附加條條件，則位移沒有單單值解。位移分量2個◆以平面問題題為例：（oxy平面）幾何方程3個三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立。若無附加條條件，則位移沒有單單值解。位移分量2個幾何方程3個◆平面問題（（oxy平面）中，，位移分量量u、v、w都是坐標x、y的函數。三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立?！羝矫鎲栴}（（oxy平面）中，，位移分量量u、v、w都是坐標x、y的函數。若無附加條條件，則位移沒有單單值解。三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立。◆平面問題（（oxy平面）中，，位移分量量u、v、w都是坐標x、y的函數。位移分量2個若無附加條條件，則位移沒有單單值解。三個幾何方方程必須彼彼此協調，，同時成立立?！羝矫鎲栴}（（oxy平面）中，，位移分量量u、v、w都是坐標x、y的函數。。位移分量量2個若無附加加條件，，則位移沒有有單值解解。三個幾何何方程必必須彼此此協調，，同時成成立。幾何方程程3個位移分量量2個若無附加加條件，，則位移沒有有單值解解。三個幾何何方程必必須彼此此協調，，同時成成立?！糇冃芜B續(xù)續(xù)性條件件，亦稱稱應變協協調條件件（方程程）或相容條條件（方方程）。。導出如如下：（3--35）◆其數學意意義：要要求要求位移移函數在在其定義義域內為為單值連連續(xù)函數數，，其方程程就是位位移函數數的全微微分條件件?！羝湮锢硪庖饬x：就就是要保保證不違違反連續(xù)續(xù)性假設設，構成成物體體的介質在變形形前后是是連續(xù)的的，并且且物體內內每一點點的位移移必定是是確定的，即同同一點不不會產生生兩個或或兩個以以上的位位移。這這就是說說，相鄰點發(fā)生生微小位位移后，，仍為相相鄰點，，否則物物體在變變形后將將出現間隙或重重疊現象象?！糇冃芜B續(xù)續(xù)性條件件反映了真真實情況況下物體體內各點點應變之之間的協協調關系。。◆關于平面面問題，變形形連續(xù)性條件簡簡化為：（3--35）◆對于多連連域問題題，物體體變形除除滿足式式（2-94）（必要要條件））外，還要要補充條條件（充充分條件件）。一點的應應變狀態(tài)態(tài)可用應應變莫爾爾圓來表表示：七、應變變莫爾圓圓第四章彈彈性性變形、、塑性變變形、本本構方程程§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點塑性力學學的附加加假設§4-2常用簡化化力學模模型§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數§4-4屈服函數數、主應應力空間間、常用用屈服條條件§4-7塑性本構構方程簡簡介§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點塑性力學學的附加加假設◆彈塑性力力學研究究的問題題一般都都是靜不不定問題題。｛◆靜不定問題的解答1、靜力平衡分析——平衡微分方程2、幾何變形分析——幾何方程3、物理關系分析——物理方程◆此即彈塑塑性力學學分析解解決問題題的基本本思路。?！舯砻鞴腆w體材料產產生彈性性變形或或塑性變變形時應應力與應變，以以及應力力率與應應變率之之間關系系的物性性方程，，稱為本構方程程（關系系）。§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點、、塑性力學學的附加加假設（（續(xù)1）◆大量實驗驗證實，，固體受受力變形形時，應應力與應應變間的的關系是是相輔相相成的。。◆固體材料料在一定定條件下下，應力力與應變變之間各各自有著確定定的關系系，這一一關系反反映著固固體材料料的變形的客客觀特性性。§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點、、塑性力學學的附加加假設（（續(xù)2）⑴彈性變形形特點:①彈性變形形是可逆逆的。物物體在變變形過程程中，外外力所做做的功以能能量（應應變能））的形式式貯存在在物體內內，當卸卸載時，彈彈性應變變能將全全部釋放放出來，，物體的的變形得得以完全恢恢復；②無論材料料是處于于單向應應力狀態(tài)態(tài)，還是是復雜應應力態(tài)，，在線彈性性變形階階段，應應力和應應變成線線性比例例關系；；③對材料加加載或卸卸載，其其應力應應變曲線線路徑相相同。因此，應應力與應應變是一一一對應應的關系系。§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點、、塑性力學學的附加加假設（（續(xù)3）⑵塑性變形形特點:①塑性變形形不可恢恢復，所所以外力力功不可可逆，塑塑性變形形的產生生必定要耗散散能量（（稱耗散散能或形形變功））。②在塑性變變形階段段，其應應力應變變關系是是非線性性的。由由于本構構方程的非線線性，所所以不能能使用疊疊加原理理。又因因為加載載與卸載載的規(guī)律不同同，應應力與與應變之之間不再再存在一一一對應應的關系系，即應力與相相應的應應變不能能唯一地地確定，，而應當當考慮到到加載路路徑（或加載載歷史））。③在載荷作作用下，，變形體體有的部部分仍處處于彈性性狀態(tài)稱稱彈性區(qū)區(qū)，有的部分分已進入入了塑性性狀態(tài)稱稱塑性區(qū)區(qū)。在彈彈性區(qū)，，加載與與卸載都服從從廣義虎虎克定律律。但在在塑性區(qū)區(qū)，加載載過程服服從塑性性規(guī)律，而在在卸載過過程中則則服從彈彈性的虎虎克定律律。并且且隨著載載荷的變化，，兩區(qū)域域的分界界面也會會產生變變化。④依據屈服服條件，，判斷材材料是否否處于塑塑性變形形狀態(tài)。?！?-1彈性變形形與塑性性變形的的特點、、塑性力學學的附加加假設（（續(xù)4）◆具強化性性質的固固體材料料，隨著著塑性變變形的增增加，屈屈服極限在在一個方方向上提提高，而而在相反反的方向向上降低低的效應，，稱為包包辛格效效應?！舭粮裥獙е轮虏牧衔锢砹W學性質具具有各向異性。?！粲捎谶@一一效應的的數學描述比較較復雜,一般塑性理論論（在本本教程）中都都忽略它它的影響。⑶包辛格效效應:§4-1彈性變形形與塑性性變形的的特點、、塑性力學學的附加加假設（（續(xù)5）⑷塑性力學學附加假假設:為研究塑塑性力學學需要，，對材料料提出如如下附加加假設：：①球應力引引起了全全部體變變（即體體積改變變量），，而不包包含畸變變（即形狀狀改變量量），體體變是彈彈性的。。因此，，球應力力不影響響屈服條件件；②偏斜應力力引起了了全部畸畸變，而而不包括括體變，，塑性變變形僅是是由應力偏偏量引起起的。因因此，在在塑性變變形過程程中材料料具有不不可壓縮性性（即體體積應變變?yōu)榱悖虎鄄豢紤]時時間因素素對材料料性質的的影響，，即認為為材料是是非粘性性的?！暨@些附加加假設都都是建立立在一些些金屬材材料的實實驗基礎上的，，前兩條條對巖土土材料不不適應。?！?-2常用簡化化力學模模型◆變形力學學模型是是在大量量實驗的的基礎上上，將各各種反映映材料力學學性質的的應力應應變曲線線，進行行分析歸歸類抽象象總結后提提出的。?！魧Σ煌牡墓腆w材材料，不不同的應應用領域域，可采采用不同同的變形體體力學模模型?！锎_定力學學模型時時應注意意：①必須符合合材料的的實際情情況；②模型的數數學表達達式應足足夠簡單單?！?-2常用簡化化力學模模型（續(xù)續(xù)1）不同的固固體材料料，力學學性質各各不相同同。即便便是同一一種固體體材料，，在不同同的物理理環(huán)境和和受力狀狀態(tài)中，，所測得得的反映映其力學學性質的的應力應應變曲線線也各不不相同。。盡管材料料力學性性質復雜雜多變，，但仍是是有規(guī)律律可循的的，也就就是說可可將各種種反映材材料力學學性質的的應力應應變曲線線，進行行分析歸歸類并加加以總結結，從而而提出相相應的變變形體力力學模型型?！?-2常用簡化化力學模模型（續(xù)續(xù)2）在確定力力學模型型時，要要特別注注意使所所選取的的力學模模型必須須符合材材料的實實際情況況，這是是非常重重要的，，因為只只有這樣樣才能使使計算結結果反映映結構或或構件中中的真實實應力及及應力狀狀態(tài)。另另一方面面要注意意所選取取的力學學模型的的數學表表達式應應足夠簡簡單，以以便在求求解具體體問題時時，不出出現過大大的數學學上的困困難。關關于彈塑塑性力學學中常用用的簡化化力學模模型分析析如下：：§4-2常用簡化化力學模模型（續(xù)續(xù)3）◆理想彈塑塑性力學學模型理想彈塑塑性力學學模型亦稱稱為彈性性完全塑性力學學模型，，該模型抓住了了韌性材材料的主主要變形形特征。。其表達達式為：：（4-2）§4-2常用簡化化力學模模型（續(xù)續(xù)4）◆理想想線線性性強強化化彈彈塑塑性性力力學學模模型型理想想線線性性強強化化彈彈塑塑性性力力學學模模型型亦亦稱稱為為彈彈塑塑性性線線性性強強化化材材料料或或雙雙線線性性強強化化模模型型。。其其數數學學表表達達式式為為：：§4-2常用用簡簡化化力力學學模模型型（（續(xù)續(xù)5）◆理想想剛剛塑塑性性力力學學模模型型理想想剛剛塑塑性性力力學學模模型型亦亦稱稱剛剛性性完完全全塑塑性性力力學學模模型型，，特特別別適適宜宜于于塑塑性性極極限限載載荷荷的的分分析析。。其其表表達達式式為為:（4--4）§4-2常用用簡簡化化力力學學模模型型（（續(xù)續(xù)6）◆理想想線線性性強強化化剛剛塑塑性性力力學學模模型型理想想線線性性強強化化剛剛塑塑性性力力學學模模型型，，其其應應力力應應變變關關系系的的數數學學表表達達式式為為：：（4--5）§4-2常用用簡簡化化力力學學模模型型（（續(xù)續(xù)7）◆冪強強化化力力學學模模型型

為了避免在處的變化，有時可以采用冪強化力學模型。當表達式中冪強化系數n分別取0或1時，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應力應變關系表達式為：（4--6）§4-3彈性性本本構構方方程程、、彈彈性性應應變變能能函函數數大量的試驗研究結果表明，在許多工程材料的彈性范圍內，單向的應力與應變之間存在著線性關系。若取過某點的x方向為單軸向力方向，則簡單拉(壓)時的虎克定律為：

由于這種關系反映出來的材料變形屬性，應不隨應力狀態(tài)的不同而變化，因而人們認為，對于各種復雜應力狀態(tài)也應有性質相同的關系，故可將上述應力應變線性比例關系推廣到一般情況，即在彈性變形過程中，任一點的每一應力分量都是六個獨立的應變分量的線性函數；反之亦然。這種形式的應力應變關系，稱為廣義虎克定律或彈性本構方程，表達為數學形式則為：

§4-3彈性性本本構構方方程程、、彈彈性性應應變變能能函函數數（（續(xù)續(xù)1）式中中Cmn稱為為彈彈性性常常數數，，與與位位置置坐坐標標無無關關。。（4-8）⑴廣義義虎虎克克定定律律一一般般表表達達式式：：假設設物物體體中中沒沒有有初初應應力力，，對對于于均勻勻的的理理想想彈彈性性體體的的應應力力應應變變關關系系下下：：◆廣義義虎虎克克定定律律張張量量表表達達式式：：（4-9）◆廣義義虎虎克克定定律律式式（（4-8）中中36個彈彈性性常常數數是是否否彼彼此此無關關？？◆彈性性常常數數針針對對各各種種不不同同的的研研究究對對象象；；它它們們之之間間的的關關系是是什什么么？？◆式（（4-8）若若采采用用矩矩陣陣表表達達式式,則為：{σ}=[D]{ε}{σ}稱為應力力列陣；；{ε}稱為應變變列陣；；[D]稱為彈性矩陣。?！?-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)2）⑵彈性應變變能函數數:◆彈性體的的實功原原理：若對于于靜荷載載作用下下產生彈彈性變形形過程中不計能能量耗散散，則據據功能原原理：產產生此變變形的外外力在加加載過程中所所作的功功將以一一種能量量的形式式被積累累在物體體內，此此能量稱為彈性應變變能，或稱彈性變形形能。并且物物體的彈彈性應變變能在數值值上等于于外力功功。這就就是實功原理理，也稱變形能原原理。若彈性應應變能用用U表示，外外力功用用We表示，則則有：（4--10）若以Wi表示內力力功，則則有：（4--11）（a）且：§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)3）⑶、彈性體中中的內力力功和應應變能：：物體內代代表一點點的微分分體，在在變形時時存在有有剛性位位移與變變形位移移兩部分分。但由由于內力力是平衡衡力系，，在微分分體的剛剛體（性性）位移移上不作作功，則則只須討討論應力力對微分分體引起起應變所所作的內內力功（（亦稱形形變功））?！?-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)4）首先考察察單元體體上外法法線與x軸相平行行的微截截面上拉拉力（或或壓力））所作的的功如圖圖4-8(a)所示。同理可得得：于是拉力所作的內力功為：同理可得得：§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)5）則彈性體體由零應應變狀態(tài)態(tài)加載至至某一應應變狀態(tài)態(tài)的的過程中中，彈性性體整個個體積的的內力功功為：（4—12）于是從零零應變狀狀態(tài)到達達某一應應變狀態(tài)態(tài)的過程程中，積積累在彈彈性體單單位體積積內的應應變能為為：

（4—14）

（4—13）§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)6）（4—13）⑷、彈性勢勢能函數數:有勢力在在勢力場場（彈性性體）中中，由于于質點位位置的改改變（變變形）有做做功的能能力，這這種能稱稱為勢能。這種勢勢能顯然然就是上上述應變能。。勢能是質質點坐標標的連續(xù)續(xù)函數，，故我們們把應變變能亦稱稱為應變能函數，或彈性勢能能函數。對于理想想彈性體體，在每每一確定定的應變變狀態(tài)下下，都具具有確定定的應變值值。彈性勢能能函數與應變過過程無關關。在加加、卸載載的過程程中：

（b）§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)7）上式表明明：應力分量量等于彈彈性勢函函數對相相應的應應變分量量的一階階偏導數。。適用于一一般彈性性體。其縮寫式式為：彈性勢能函數是坐標的單值連續(xù)函數，故必為全微分，即：

（4—19）

§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)8）（4—17）

（4—18）

⑸、彈性常常數間的的關系:①、極端各向向異性體體:對極端各各向異性性體，獨獨立的彈彈性常數數只有21個。變形過程程中，積積累在單單位體積積內的應應變能為為：（4—21）

§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)9）（4—20）

②、正交各向向異性體體:正交各向向異性體體：過物體內內一點具具有三個個互相正正交的彈彈性對稱稱面，在每每個對稱稱面兩側側的對稱稱方向上上彈性性性質相同同，但在在三個互相正交交方向的的彈性性性質彼此此不同。?！?-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)10）應變能的值只取決于彈性常數及最終的應變狀態(tài)，應該與坐標軸的指向無關。正交各向向異性體體獨立的的彈性常常數只有有9個。則其相應應的應力力應變關關系為：：其單位體體積應變變能為：：（4—22）

（4—23）

§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)11）有一類正正交各向向異性體體，其特特點是在在平行于于某一平平面的所所有各個個方向(即所謂橫橫向)都具有相相同的彈彈性，我我們將這這類正交交異性體體稱為橫橫觀各向向同性體體。許多多成層的的巖石就就屬于這這一類。。③、橫觀各向同性性體:§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)12）（4—24）（4—25）§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)13）對比材料料力學的的公式，，則式(4-25)可寫成：：（4—26）由于在平面內各向同性，故由材料力學的證明知：（4—27）對于橫觀各向向同性體體，獨立立的彈性性常數只只有5個，它們是：：?！?-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)14）④、各向向同性體體:所謂各向同性性體：是是指過物物體內一一點沿任任何方向向上的物物理力學性質均均相同的的物體。。其獨立立的彈性性常數只只有兩個個。各向同性性體兩個獨立的彈彈性常數數通常取取為：彈性模量量E和泊桑比比υ★各向同性性彈性體體的本構構方程:（4—28）（4—29）A.用應力表表達應變變的廣義義虎克定定律:B.用應變表表達應力力的廣義義虎克定定律：上式中λ稱為拉梅梅常數。。（4—33）

§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)15）剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比三者間的關系為：（4—30）（4—33）C．用球應應力與應應力偏量量表示的的廣義虎虎克定律律：（4—38）此式說明明各向同同性彈性性體的本本構方程程也可表表示為：：應變球球張量與與應力球球張量成成正比，，應變偏偏張量與與應力偏偏張量成成正比。。§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)16）若將式(4-31)中各彈性性系數代代人式(4-23)，即可得得各向同同性體的應應變比能能為：

（4—34）

體積彈性性模量K剪切彈性性模量G>0彈性模量量E>0拉梅常數數λ>0§4-3彈性本構構方程、、彈性應應變能函函數（續(xù)續(xù)17）泊桑比0<

<0.5例4—1當泊松松比υ=0.5時，為為什么么表示示材料料不可可壓縮縮性，，即體積積不變變。此此時的的剪切切彈性性模量量G與拉壓壓彈性性模量量E有什么關系系？解：設υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，體積應變:說明材材料體體積不不變，，即材材料有有不可可壓縮縮性。。又由由式（（4—30），得:§4-3彈性本本構方方程、、彈性性應變變能函函數（（續(xù)18）§4-3彈性本本構方方程、、彈性性應變變能函函數（（續(xù)19）A、球應應力（（平均均正應應力））引起起了單單元體體全部部體變變而不不包括括畸變；；體變變是彈彈性的的。B、偏應應力引引起了了單元元體全全部畸畸變而而不包包括體體變。。塑性性變形形僅是由應應力偏偏量引引起的的。事實上上，由由于應應力狀狀態(tài)中中發(fā)生生體變變的球球應力力始終終存在在、發(fā)發(fā)生彈彈性畸畸變的的偏應應力也也始終終存在在，因因此整整個變變形階階段彈彈性變變形是是始終終存在在的。。當應應力超超過屈屈服極極限而而發(fā)生生塑性性變形形時，，始終終還伴伴隨著著彈性性變形形，故故而這這個變變形階階段稱稱為彈塑性性階段段。上述的的兩點點討論論有助助于我我們對對塑性性變形形的研研究，，★應應力張張量和和應變變張量量分解解的物物理意意義：：§4-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件1、屈服服函數數:判斷材材料是是處于于彈性性狀態(tài)態(tài)還是是已經經進入入到塑塑性狀狀態(tài)，，進行行這一一判斷斷所依依據的的準則則就稱稱為屈服條條件，，又稱稱塑性性條件件。當材料處于簡單應力狀態(tài)時，當應力達到屈服極限材料便處于塑性狀態(tài)。即便是對那些應力應變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限。提出問問題:在復雜雜應力力狀態(tài)態(tài)下材材料的的屈服服條件件如何何確立立呢？？一點的的應力力狀態(tài)態(tài)通常常是由由六個個獨立立的應應力分分量所所確定定。作作為判判斷材材料是是否進進入塑塑性狀狀態(tài)的的標準準，應應該考考慮到到所有有這些些應力力分量量的貢貢獻。。固體材材料破破壞的的基本本類型型只有有兩類類：（1）材料料屈服服流動動、強強化，，產生生較大大的塑塑性變變形，，最終導導致剪剪切斷斷裂；；（2）材料料幾乎乎不產產生塑塑性變變形，，就導導致脆脆性斷斷裂；；§4-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件（續(xù)續(xù)1）§4-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件（續(xù)續(xù)2)★對于同同一種種材料料，無無論它它處于于何種種應力力狀態(tài)態(tài)，當當導致它產產生某某種破破壞的的這一一共同同的因因素達達到某某一個個極限值時時，材材料就就會產產生相相應的的破壞壞。★因此，，我們們希望望通過過材料料的簡簡單力力學試試驗來來確定定這個個因素的的極限限值。?！锶藗兏鶕牟牧掀破茐牡牡默F象象，總總結材材料破破壞的的規(guī)律律逐漸認識識到：：不管管固體體材料料產生生破壞壞（脆脆性斷斷裂或或塑性屈服服→剪切斷斷裂））的表表面現現象多多么復復雜，，對應應某種破壞壞形式式都具具有共共同的的某一一決定定強度度的因因素。?，F在的的問題題就是是：考考慮如如何根根據簡簡單受受力狀狀態(tài)的的試驗結結果（（上述述極限限值）），去去建立立材料料在復復雜應應力狀狀態(tài)下（（即與與所有有的應應力分分量都都相關關的））判別別材料料變形形狀態(tài)的的關系系——屈服條條件。在一般般情況況下，，屈服服條件件與所所考慮慮的應應力狀狀態(tài)有有關，，或者者說屈屈服條條件是是該點點六個個獨立立的應應力分分量的的函數數，即即為：：（4—40）上式中的稱為屈服函數。

§4-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件（續(xù)續(xù)3）§4-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件（續(xù)續(xù)4）2、主應應力空空間：：（4—41）對于各各向同同性材材料來來說，，坐標標軸的的轉動動不應應當影影響材材料的的屈服服。因因而可可以取取三個個應力力主軸軸為坐坐標軸軸。此此時，，屈服服函數數式（（4—40）可改改寫為為：若球應應力狀狀態(tài)只只引起起彈性性體積積變化化，而而不影影響材材料的的屈服服。則則可認認為屈屈服函函數為為：（4—42）因此，，屈服服函數數就轉轉化為為用應應力偏偏量表表示的的函數數，而而且可可以在在主應應力所構成成的空空間，，即主主應力力空間間來討討論。。主應力力空間間是一個個三維維空間間，物物體中中任意意一點點的應應力狀狀態(tài)都都可以以用主主應力力空間間中相相應點點的坐坐標矢矢量來來表示示，如如圖所所示。。因此此，我我們在在這一一主應應力空空間內內可以以形象象地給給出屈屈服函函數的的幾何何圖象象，而而直觀觀的幾幾何圖圖形將將有助助于我我們對對屈服服面的的認識識?！?-4屈服函函數、、主應應力空空間、、常用用屈服服條件件（續(xù)續(xù)5）§