變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 知識(shí)點(diǎn)與題型歸納VIP

變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)與題型歸納變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)與題型歸納變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)與題型歸納資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)與題型歸納版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：●高考明方向1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)的導(dǎo)數(shù)．4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).★備考知考情由近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)分析可知，單獨(dú)考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的題目很少出現(xiàn)，主要是以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算為工具，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義為主，最常見的問題就是求過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系，以平行或垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，以及與曲線的切線相關(guān)的計(jì)算題．考查題型以選擇題、填空題為主，多為容易題和中等難度題，如2014廣東理科10、文科11.2014廣東理科10曲線在點(diǎn)處的切線方程為；2014廣東文科11曲線在點(diǎn)處的切線方程為；一、知識(shí)梳理《名師一號(hào)》P39知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0.(2)稱函數(shù)f′(x)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).注意:《名師一號(hào)》P40問題探究問題1f′(x)與f′(x0)有什么區(qū)別f′(x)是一個(gè)函數(shù)，f′(x0)是常數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值．例.《名師一號(hào)》P39對(duì)點(diǎn)自測(cè)11.判一判(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．()(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．()(3)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．()答案(1)×(2)×(3)√知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式及法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式注意：（補(bǔ)充）常量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則注意：（補(bǔ)充）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意:《名師一號(hào)》P40問題探究問題3對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，其基本原則是什么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算的形式，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形；對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會(huì)使求導(dǎo)過程繁瑣冗長(zhǎng)，且易出錯(cuò)，此時(shí)，可將解析式進(jìn)行合理變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)．但必須注意變形的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即即:導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)——曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,f(x0))處切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義——瞬時(shí)速度例.周練13-1一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是()A．7米/秒B．5米/秒C．6米/秒D．4米/秒注意:《名師一號(hào)》P40問題探究問題2過點(diǎn)P的切線與在點(diǎn)P處的切線有什么區(qū)別在點(diǎn)P處的切線，P是切點(diǎn)，而過點(diǎn)P的切線，P不一定是切點(diǎn)，后者包括前者．注意:《名師一號(hào)》P40問題探究問題2過點(diǎn)P的切線與在點(diǎn)P處的切線有什么區(qū)別在點(diǎn)P處的切線，P是切點(diǎn)，而過點(diǎn)P的切線，P不一定是切點(diǎn)，后者包括前者．二、例題分析：(一)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1.（補(bǔ)充）用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。注意：(補(bǔ)充)（1）能用導(dǎo)數(shù)定義求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（參看選修1-1課本）（2）求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法1）求函數(shù)的改變量2）求平均變化率3）求值例2.《名師一號(hào)》P40高頻考點(diǎn)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)；解析：(1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2.(2)方法1：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.方法2：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.(3)∵＝－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)sinx))′＝－eq\f(1,2)(sinx)′＝－eq\f(1,2)cosx.注意:《名師一號(hào)》P40高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的具體方法是：①遇到連乘積的形式，先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；②遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)；③遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)．2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要選擇恰當(dāng)?shù)闹虚g變量，分清復(fù)合關(guān)系．練習(xí)：1、設(shè)則（）A. B. C. D.【答案】D2、（2009安徽卷文）設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D解:，選D.注意：對(duì)解析式中含有多個(gè)字母的函數(shù)求導(dǎo)，明確自變量是關(guān)鍵！例3.《名師一號(hào)》P39對(duì)點(diǎn)自測(cè)3已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，則f′(2)＝________.解析由題意，得f′(x)＝2x＋3f∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f注意：導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)，不是變量.練習(xí)：1、周練13-5已知，則等于（）2 B. C． 42、(2009湖北卷理)已知函數(shù)則的值為.解：因?yàn)樗怨世?.（補(bǔ)充）（1）周練13-12若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，則不等式f(x)>0的解集是________;答案：{x|x>－1，且x≠2}由題可設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,2b＝－6，,c＝0，,d＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，,c＝0，,d＝4.))∴f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋x2－4(x2－1)＝x2(x＋1)－4(x－1)(x＋1)＝(x＋1)(x－2)2，∴f(x)>0的解為x>－1，且x≠2.（2）周練13-7定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f′(x)·x<f(x)，且f(2)＝0，則eq\f(fx,x)>0的解集為()A．(0,2)B．(0,2)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．?答案：A[eq\f(fx,x)]′＝eq\f(f′x·x－fx,x2)<0，∴eq\f(fx,x)為減函數(shù)，∵f(2)＝0，∴eq\f(f2,2)＝0.∴eq\f(fx,x)>0的解為0<x<2.注意：導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)算法則的逆向使用—-務(wù)必準(zhǔn)確熟練掌握公式及明確其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)!（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1.《名師一號(hào)》P40高頻考點(diǎn)例2(1)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0B．1C．2D．3(2)(2014·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，－5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________．解析：(1)∵y＝ax－ln(x＋1)，∴y′＝a－eq\f(1,x＋1).∴y′|x＝0＝a－1＝2，得a＝3.(2)由曲線y＝ax2＋eq\f(b,x)過點(diǎn)P(2，－5)．得4a＋eq\f(b,2)＝－5.①又y′＝2ax－eq\f(b,x2)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以a＋b＝－3.例2.《名師一號(hào)》P41特色專題典例若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，則a的值是()A．1\f(1,64)C．1或eq\f(1,64)D．1或－eq\f(1,64)【錯(cuò)解】∵點(diǎn)O(0,0)在曲線f(x)＝x3－3x2＋2x上，∴直線l與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)O.則k＝f′(0)＝2，直線l的方程為y＝2x.又直線l與曲線y＝x2＋a相切，∴x2＋a－2x＝0滿足Δ＝4－4a＝0，a＝1.選A.【錯(cuò)因】(1)片面理解“過點(diǎn)O(0,0)的直線與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．這里有兩種可能：一是點(diǎn)O是切點(diǎn)；二是點(diǎn)O不是切點(diǎn)，但曲線經(jīng)過點(diǎn)O，解析中忽視后面情況．(2)本題還易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：一是當(dāng)點(diǎn)O(0,0)不是切點(diǎn)，無法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義溝通起來；二是盲目設(shè)直線l的方程，導(dǎo)致解題復(fù)雜化，求解受阻．【規(guī)范解答】易知點(diǎn)O(0,0)在曲線f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)當(dāng)O(0,0)是切點(diǎn)時(shí)，同上面解法．(2)當(dāng)O(0,0)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，且k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.②由①②聯(lián)立，得x0＝eq\f(3,2)(x0＝0舍)，所以k＝－eq\f(1,4)，∴所求切線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))得x2＋eq\f(1,4)x＋a＝0.依題意，Δ＝eq\f(1,16)－4a＝0，∴a＝eq\f(1,64).綜上，a＝1或a＝eq\f(1,64).【答案】C三次函數(shù)的切線.gsp注意：(補(bǔ)充)1、對(duì)于二次函數(shù)過點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)一定是切點(diǎn)，不在曲線上一定不是切點(diǎn)。而對(duì)于三次函數(shù)過點(diǎn)，無論點(diǎn)在不在曲線上都不一定是切點(diǎn)，要切記。2、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（1）已知曲線的切點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線的切線方程的步驟：1)求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；2)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；3)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的導(dǎo)數(shù)不存在，就是切線與y軸平行或不存在；f′(x0)>0，切線與x軸正向夾角為銳角；f′(x0)<0，切線與x軸正向夾角為鈍角；f′(x0)＝0，切線與x軸平行．（2）(補(bǔ)充)過曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)，求曲線的切線方程的步驟：1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；2)求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；3)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、《名師一號(hào)》P40高頻考點(diǎn)例2規(guī)律方法有關(guān)導(dǎo)數(shù)幾何意義的題目一般有兩類：一類是求曲線的切線方程，這類題目要注意審好題，看到底是在某點(diǎn)處的切線還是過某點(diǎn)的