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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義兩種運算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.2.設P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q3.歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復數(shù)位于復平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.5.在復平面內(nèi),復數(shù)(,)對應向量(O為坐標原點),設,以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.166.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.37.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設,若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.8.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50509.設全集U=R,集合,則()A. B. C. D.10.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.111.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.12.若函數(shù)有且只有4個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)x,y滿足,則的最大值為____________.14.若復數(shù)(是虛數(shù)單位),則________15.已知數(shù)列的前項和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項的和為______.16.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導函數(shù),設,求的取值范圍,并求取到最小值時所對應的的值.18.(12分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點P在底面上的射影為的中點G,點E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.20.(12分)我國在2018年社保又出新的好消息,之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費時費力.社保改革后將簡化手續(xù),深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人,非流動人員90人,若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人,請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300(2)為了改進工作作風,提高效率,從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣,抽取12名流動人員召開座談會,其中3人要求交書面材料,3人中辦理的時間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87921.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程;(2)設點的極坐標為,直線與曲線的交點為,求的值.22.(10分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項.【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點睛】本題考查定義新運算,關(guān)鍵在于理解,運用新定義進行求值,屬于中檔題.2.C【解析】
解:因為P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C3.A【解析】
計算,得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故,表示的復數(shù)在第一象限.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的計算,意在考查學生的計算能力和理解能力.4.C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設,則有,又,所以,當且僅當時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題5.D【解析】
根據(jù)復數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點睛】本題考查了復數(shù)的新定義題目、同時考查了復數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.7.A【解析】
根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎(chǔ)題.8.C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學生邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以的圖象關(guān)于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.11.A【解析】
先利用向量坐標運算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.12.B【解析】
由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個零點即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時,有且只有2個零點即可令,則令,遞減,且遞增,且時,有且只有2個零點,只需故選:B【點睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】由題意,又,∴,即,∴的最大值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14.【解析】
直接根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.【詳解】,.【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應用.15.1【解析】
由得時,,兩式作差,可求得數(shù)列的通項公式,進一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項和為,,且滿足,①當時,,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以(首項不符合通項),故,所以:,故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應用,數(shù)列的前項和的公式,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應的的值為.【解析】
(1)當時,求的導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,利用導函數(shù),可得的范圍,再表達,構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時所對應的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當時,,所以:,時,,當時,,當,時,,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因為:時,,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因為:,(1),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當取到最小值時所對應的的值為;【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進而求證;(2)取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】(1)在等腰梯形中,點E在線段上,且,點E為上靠近C點的四等分點,,,,,點P在底面上的射影為的中點G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由(1)易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.19.(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當和時,的正負,進而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設,通過導函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當時,,在上單調(diào)遞減.②當時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當時,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設,則.當時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當時,沒有實根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當時,,所以有唯一實根,當時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.20.(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)題意,結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表,計算出的觀測值,即可進行判斷;(2)先計算出時間在和選取的人數(shù),再求出的可取值,根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列,結(jié)合分布列即可求得數(shù)學期望.【詳解】(1)因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人,非流動人員90人,所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下:辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需
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