概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第四章

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)§4.3對于二維隨方差，還要量(X

,Y

),除要

X與Y的均值和X與Y之間的相互關(guān)系的數(shù)字特征?；貞浽诘诙?jié)中證明方差的性質(zhì)E(X

E(X

))(Y

E(Y

))

0D(X

Y

)

D(X

)

D(Y

)

2已看到如果X與Y獨立，則E(X

E(X

))(Y

E(Y

))

0于是意味著X與Y

不獨立,說明X與Y

存在一定的關(guān)系。用上式給出刻劃兩個隨

量間相互關(guān)系的一個重要數(shù)字特征：協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1.定義設(shè)有二維隨

量(X,Y),它的分量的數(shù)學(xué)期望為E(X),

E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，則稱它為X,Y的協(xié)方差，記為cov(X,Y),

即cov(

X

,Y

)

E(X

E(X

))(Y

E(Y

))

協(xié)方差的計算若(X

,Y

)為離散型，cov(

X

,Y

)

E[(

X

E(

X

))(Y

E(Y

))]

(

xi

E(

X

))(

y

j

E(Y

))piji1

j1若(X

,Y

)為連續(xù)型，cov(

X

,Y

)

E[(

X

E(

X

))(Y

E(Y

))]

(x

E(

X

))(

y

E(Y

))

f

(

x,

y)dxdy3cov(

X

,Y

)

E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)證明:cov(

X

,Y

)

E[(

X

E(

X

))(Y

E(Y

))]

E[

XY

E(

X

)

Y

E(Y

)

X

E(

X

)E(Y

)]

E(

XY

)

E(

X

)

E(Y

)

E(Y

)

E(

X

)

E(

X

)E(Y

)

E(

XY

)

E(

X

)

E(Y

)可見，若X與Y獨立，cov(X,Y)=

0.45協(xié)方差的性質(zhì)cov(

X

,Y

)

cov(Y

,

X

)

E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)cov(aX

,bY

)

ab

cov(

X

,Y

)cov(

X

Y

,

Z

)

cov(

X

,

Z

)

cov(Y

,

Z

)cov(

X

,

X

)

D(

X

)g(t)

0對任何實數(shù)t,4cov2

(

X

,Y

)

4D(

X

)D(Y

)

0即|

cov(

X

,Y

)

|2

D(

X

)D(Y

)6|

cov(

X

,Y

)

|2

D(

X

)D(Y

)—Cauchy-Schwarz不等式證明:

令g(t)

E[(Y

E(Y

))

t(

X

E(

X

))]2

D(Y

)

2t

cov(

X

,Y

)

t

2

D(

X

)D(X+Y)=

D(X)+D(Y)+

2Cov(X,Y)隨量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系n

ni1

i1i

jD(

Xi

)

D(

Xi

)

2

Cov(

Xi

,

X

j

)n

ni1

i1若X1,X2,…,Xn兩兩獨立，上式化為D(

Xi

)

D(

Xi

)協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：cov(kX,

kY)=k2cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).9定義:若D(X

)>0,

D(Y

)>0,稱D(

X

)

D(Y

)D(

X

)

D(Y

)

E

(

X

E(

X

))(Y

E(Y

)

cov(

X

,Y

)為X

,Y

的相關(guān)系數(shù)，記為XY

cov(

X

,Y

)

D(

X

)

D(Y

)若

XY

0,

稱

X

,Y

不相關(guān).無量綱的量在不致引起時，記XY

為

.相關(guān)系數(shù)的意義考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似Y，近似的誤差為e

E[Y

(a

bX

)]2

E(Y

2

)

a2

2abE(

X

)

b2

E(

X

2

)

2aE(Y

)

2bE(

XY

)e可以用來衡量慮a+bX近似表達Y的好壞程度，e的值越小,表示a+bX與Y的近似程度越好.問題:求a，b使e最小.令

2bE(

X

2)

2E(

XY

)

2aE(

X

)

0beae

2a

2bE(

X

)

2E(Y

)

00D(

X

)解得

b

Cov(

X

,Y

)a0

E(Y

)

b0

E(

X

)00XY

(1

2

)D(Y

)

b

X

)]2

}將a0，b0代入e，則最小誤差為min

E{[Y

(a

bX

)]2

}

E{[Y

(aa,b說明:當(dāng)

|

XY

|較大時,e較小,表明X與Y的線性聯(lián)系較緊密.當(dāng)

|

XY

|較小時,X與Y線性相關(guān)程度較差.(1).

|

|

1)D(Y

)

0

E{[Y

(a

b

X

)]2

}

(1

20

0

XY |

XY

|

1相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)

1存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，注:

1時,

X與Y完之間具有線性關(guān)系.XY

=

1

P(Y=aX+b)=1(a>0)這時稱X與Y完全正相關(guān)；XY

=

-1

P(Y=aX+b)=1(a<0)這時稱X與Y完全負相關(guān)。完全正相關(guān)和完全負相關(guān)統(tǒng)稱為完全相關(guān)，當(dāng)X與Y完全相關(guān)時，(X,Y)可能取的值以概率1地集中在一條直線上。p

q1

0p

qX

1

0

YP

P例1.已知X

,Y

的聯(lián)合分布為YpijX

1

010p00q0

<

p

<1p

+

q

=

1求

cov

(X

,Y

),

XY解:1

0p

qX

YP1516D(

X

)D(Y

)cov(

X

,Y

)E(

X

)

p,

E(Y

)

p,D(

X

)

pq,

D(Y

)

pq,E(

XY

)

p,cov(

X

,Y

)

E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)

pq,XY

1.17

例2.

設(shè)

(

X

,Y

)

~

N

(

1,

1

,2,2

,),

求

XY2

2解:

cov(

X

,Y

)

(x

1

)(

y

2

)

f

(x,

y)dxdydsdtstet

2212

1

2

(s

t

)2

1

2(1

)

2y2

t

令x1

s1dudt2u

212

t2(1

2

)

2

t(

t

u)e2

1

2

1

21

2令s

t

ut

e

dtdueu21

22

t22(1

2

)2

1

21

2

定理：若

(

X

,Y

)

~

N

(

1,

1

,

2,

2

,

),2

2則X

,Y

相互獨立X

,Y

不相關(guān)18

1

2

因此，

XY

0XYX,Y

不相關(guān)cov(

X

,Y

)

0E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)D(

X

Y

)

D(

X

)

D(Y

)關(guān)鍵點：XYcov(

X

,Y

)

E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)D(

X

)

D(Y

)

D(

X

)

D(Y

)

D(

X

Y

)

D(

X

)

D(Y

)

2

cov(

X19

,Y

)不相關(guān)的充分必要條件20X,Y

不相關(guān)隨量X,Y

獨立與X,Y

不相關(guān)的關(guān)系X,Y

相互獨立若X,Y

服從二維正態(tài)分布，X,Y

相互獨立

X,Y

不相關(guān)(證明:X,Y

相互獨立E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)X,Y

不相關(guān)

)21例3.設(shè)~U(0,2),X=cos

,Y=cos(

+

),

是給定的常數(shù)，求XY解:

1

,0

t

2

,其他f

(t)

200dt

0,cos(tE(Y

)

dt

0,cos

t

E(

X

)

12

)

122222cos121220dt

cos(t)

cos(t

)

E(

XY

)

2cov(

X

,Y

)

1

cos022022dt

,E(Y

)

dt

,cos

t

E(

X

)

1

12

2cos

(t

)

1

12

22222D(Y

)

1

,D(

X

)

1

,XY

cos由E(

X

2

)

2E(Y

2

)

2E(

X

)

E(Y

)

0,D(

X

)

D(Y

)

2cov(U

,V

)

(a2

b2

)

2例4

設(shè)X

,Y

相互獨立，且都服從N

(0,

2),

U=aX+bY,V=

aX-bY,a,b

為常數(shù)，且都不為零，求UV解:cov(U

,V

)

E(UV

)

E(U

)E(V

)

a2

E(

X

2

)

b2

E(Y

2

)

aE(

X

)

bE(Y

)aE(

X

)

bE(Y

)23而D(U

)

a2

D(

X

)

b2

D(Y

)

(a2

b2

)

2D(V

)

a2

D(

X

)

b2

D(Y

)

(a2

b2

)

2故UVa2

b2

a

b2

22425例5.設(shè)(X

,Y

)~

N

(1,4;

1,4;

0.5),Z=X+Y,

求

XZ解:E(

X

)

E(Y

)

1,

D(

X

)

D(Y

)

4,2XY

1

,

cov(

X

,Y

)

2cov(

X

,

Z

)

cov(

X

,

X

)

cov(

X

,Y

)

6D(Z

)

D(

X

Y

)

D(

X

)

D(Y

)

2

cov(

X

,Y

)

122

12

26

3XZ

XY=1/2,

求例6：設(shè)XN(0,4),

YP(2),E(X+Y)2

.注意到D(

X

)

D(Y

)cov(

X

,Y

)

XY解:由題設(shè)知:EX=0,D(X)=4,

EY=2,

D(Y)=2,XY

=1/2,

而E(X+Y)2

=[E(X+Y)]2+D(X+Y)=[EX+EY)]2+D(X)+D(Y)+2cov(X,

Y)把條件代入即得

E(X+Y)2

=10

2

226,21設(shè)

和

YX是隨

量

若

(,

k

),

kXE1.定義存在,

稱它為

的

kX階原點矩,簡稱

k

階矩.若

E{[

X

E

(

X

)]k

},

k

2,3,存在,稱它為X

的k

階中心矩.若

E

(

X

kY

l

),

k l

1,,2,存在,

稱它為

X

和

Y

的k

l

階混合矩.若

E{[

X

E

(

X

)]k

[Y

E

(Y

)]l

},

k

,

l

1,2,存在,

稱它為

X

和

Y

的

k

l

階混合中心矩.§4.4矩，協(xié)方差矩陣2.說明)(是XX的E一階原)是,CoXvY((2)

隨 量

X

的數(shù)學(xué)期望點矩,方差為二階中心矩,協(xié)方差與Y

的二階混合中心矩;(1)以上數(shù)字特征都是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望;(3)在實際應(yīng)用中,高于4

階的矩很少使用.三階中心矩

{[

(

XE)]X3

}E主要用來衡量隨量的分布是否有偏.四階中心矩

E{[

X

E

(

X

)]4}

主要用來衡量隨量的分布在均值附近的陡峭程度如何.例1.設(shè)X服從N(,

2)，求的2階,3階原點矩以及3階,4階中心矩。

E(

X

3

)

x32

E(

X

2

)

D(

X

)

E2

(23

3

32y12

22

(

x

)2ef

(

x)

解:X的密度為2930E(

X

EX

)3

E(

X

)3

e

2

dy

0

;e

dx

y22

(y)32

(x

)32

2(

x

)2E(

X

EX

)4

E(

X

)4e

2

dy

y2e

dx

2

(y)42

(x

)42

2(

x

)22

42

3

4

e

2

dy

3

4

.y22

(3y2

)e

2

dy

y3e

y2

y2

y23.協(xié)方差矩陣設(shè)

n

維隨

量

21

XXn

)X的,,,(二階混合中心矩cij

Cov(

X

i

,

X

j

)

E{[

X

i

E(

X

i

)][

X

j

E(

X

j

)]都存在,則稱矩陣nn

c

c

c

n1

n2c2n

C

c21c1n

c11i j

21n,,,,c12c22量的

協(xié)方差矩陣

.為n

維隨協(xié)方差矩陣為例如

二維隨XX21),的(

c21

c22

量

c11

c12

C

其中

c11

E

{[

X

1

E

(

X

1

)]

},2

E

(

X