矩陣分析課件-第四章-矩陣分解

對(duì)稱矩陣，二次型第8節(jié)Hermite變矩陣、Hermite二次齊式對(duì)稱矩陣，二次型第8節(jié)Hermite變矩陣、Hermit1矩陣分析課件-第四章-矩陣分解2定理8.1：

若A是n階復(fù)矩陣，則，（1）A是Hermite矩陣的充要條件是對(duì)任意，是實(shí)數(shù)。（2）A是Hermite矩陣的充要條件是對(duì)任意，是Hermite矩陣。定理8.1：若A是n階復(fù)矩陣，則，（1）A是Hermite3定理8.3：

若A是n階復(fù)矩陣，則A是n階Hermite矩陣的充要條件是存在酉矩陣U，使得，定理8.2：

若A是n階實(shí)矩陣，則A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣的充要條件是存在正交矩陣Q，使得，定理8.3：若A是n階復(fù)矩陣，則A是n階Hermite矩陣4Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）Hermite二次齊式的標(biāo)準(zhǔn)型：定理8.5,8.6對(duì)角矩陣Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）Hermite二5第9節(jié)正定Hermite二次齊式、正定Hermite矩陣第9節(jié)正定Hermite二次齊式、正定Hermite矩6Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）正定的矩陣A正定的正定的矩陣A半正定的負(fù)定的矩陣A負(fù)定的負(fù)半定的矩陣A負(fù)半定的非奇異線性變換不改變二次齊式的正定性，也就是相似矩陣具有相同的正定性Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）正定的矩陣A正定7與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們有定理9.1:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的

(1)是正定的.(2)對(duì)于任何n階可逆矩陣P都有為正定矩陣.(3)A的n個(gè)特征值都大于零.(4)存在n階可逆矩陣P使得(5)存在n階可逆矩陣Q使得(6)存在正線上三角矩陣R使得,且此分解是唯一的.與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們8定理9.3:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的:

(1)是半正定的(2)對(duì)于任何n階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)A的n個(gè)特征值全是非負(fù)的存在n階可逆矩陣使得(5)存在秩為r的n階矩陣Q使得定理9.3:對(duì)于給定的Hermite二次形(2)9矩陣分析課件-第四章-矩陣分解10第四章矩陣分解第四章矩陣分解11矩陣分解矩陣的滿秩分解正交三角分解奇異值分解極分解譜分解矩陣分解矩陣的滿秩分解124.1矩陣的滿秩分解4.1矩陣的滿秩分解13定理1.1：設(shè)，則存在，使得證明：（1）因?yàn)锳的秩是r，所以有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，可以設(shè)A的前r列向量是線性無(wú)關(guān)的。行初等變換定理1.1：設(shè)，則存在14定理1.1：設(shè)，則存在，使得證明：（2)若A的前r列向量是線性相關(guān)的，那么可以做相應(yīng)的列初等變換使其前r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)。定理1.1：設(shè)，則存在15例題1.1,1.2例題1.1,1.216矩陣的滿秩分解是不唯一的，但是它們之間滿足：定理1.2：若均為A的滿秩分解，那么矩陣的滿秩分解是不唯一的，但是它們之間滿足：定理1.2：若174.2矩陣的正交分解（UR、QR分解）4.2矩陣的正交分解（UR、QR分解）18定理2.1：設(shè)，則A可以唯一的分解為主對(duì)角線元素為正的證明：正交化單位化定理2.1：設(shè)，則A19單位化單位化20酉矩陣正線上矩陣單位矩陣酉矩陣正線上矩陣單位矩陣21定理2.2：設(shè)，則A可以唯一的分解為推論2.2：設(shè)，則A可以唯一的分解為推論2.3：設(shè)，則A可以分解為定理2.2：設(shè)，則A22例題2.1例題2.1234.3矩陣的奇異值分解4.3矩陣的奇異值分解24引理3.1：對(duì)任一矩陣A，均有同解方程證明：引理3.1：對(duì)任一矩陣A，均有同解方程證明：25引理3.2：對(duì)任一矩陣A，

均是半正定Hermite矩陣引理3.2：對(duì)任一矩陣A，26定理3.1：對(duì)任一矩陣，則證明：定理3.1：對(duì)任一矩陣，則27定義3.1：對(duì)任一矩陣，稱為矩陣A的正奇異值，簡(jiǎn)稱奇異值。例3.1定義3.1：對(duì)任一矩陣，稱28定理3.2:若矩陣A是正規(guī)矩陣，則A的奇異值是A的非零特征值的模。定理3.2:若矩陣A是正規(guī)矩陣，則A的奇異值是A的非零特征29定理3.3：對(duì)任一矩陣，是A的r個(gè)正奇異值，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，滿足證明：定理3.3：對(duì)任一矩陣，30矩陣分析課件-第四章-矩陣分解31對(duì)稱矩陣，二次型第8節(jié)Hermite變矩陣、Hermite二次齊式對(duì)稱矩陣，二次型第8節(jié)Hermite變矩陣、Hermit32矩陣分析課件-第四章-矩陣分解33定理8.1：

若A是n階復(fù)矩陣，則，（1）A是Hermite矩陣的充要條件是對(duì)任意，是實(shí)數(shù)。（2）A是Hermite矩陣的充要條件是對(duì)任意，是Hermite矩陣。定理8.1：若A是n階復(fù)矩陣，則，（1）A是Hermite34定理8.3：

若A是n階復(fù)矩陣，則A是n階Hermite矩陣的充要條件是存在酉矩陣U，使得，定理8.2：

若A是n階實(shí)矩陣，則A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣的充要條件是存在正交矩陣Q，使得，定理8.3：若A是n階復(fù)矩陣，則A是n階Hermite矩陣35Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）Hermite二次齊式的標(biāo)準(zhǔn)型：定理8.5,8.6對(duì)角矩陣Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）Hermite二36第9節(jié)正定Hermite二次齊式、正定Hermite矩陣第9節(jié)正定Hermite二次齊式、正定Hermite矩37Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）正定的矩陣A正定的正定的矩陣A半正定的負(fù)定的矩陣A負(fù)定的負(fù)半定的矩陣A負(fù)半定的非奇異線性變換不改變二次齊式的正定性，也就是相似矩陣具有相同的正定性Hermite二次齊式，實(shí)二次齊式（二次型）正定的矩陣A正定38與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們有定理9.1:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的

(1)是正定的.(2)對(duì)于任何n階可逆矩陣P都有為正定矩陣.(3)A的n個(gè)特征值都大于零.(4)存在n階可逆矩陣P使得(5)存在n階可逆矩陣Q使得(6)存在正線上三角矩陣R使得,且此分解是唯一的.與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們39定理9.3:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的:

(1)是半正定的(2)對(duì)于任何n階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)A的n個(gè)特征值全是非負(fù)的存在n階可逆矩陣使得(5)存在秩為r的n階矩陣Q使得定理9.3:對(duì)于給定的Hermite二次形(2)40矩陣分析課件-第四章-矩陣分解41第四章矩陣分解第四章矩陣分解42矩陣分解矩陣的滿秩分解正交三角分解奇異值分解極分解譜分解矩陣分解矩陣的滿秩分解434.1矩陣的滿秩分解4.1矩陣的滿秩分解44定理1.1：設(shè)，則存在，使得證明：（1）因?yàn)锳的秩是r，所以有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，可以設(shè)A的前r列向量是線性無(wú)關(guān)的。行初等變換定理1.1：設(shè)，則存在45定理1.1：設(shè)，則存在，使得證明：（2)若A的前r列向量是線性相關(guān)的，那么可以做相應(yīng)的列初等變換使其前r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)。定理1.1：設(shè)，則存在46例題1.1,1.2例題1.1,1.247矩陣的滿秩分解是不唯一的，但是它們之間滿足：定理1.2：若均為A的滿秩分解，那么矩陣的滿秩分解是不唯一的，但是它們之間滿足：定理1.2：若484.2矩陣的正交分解（UR、QR分解）4.2矩陣的正交分解（UR、QR分解）49定理2.1：設(shè)，則A可以唯一的分解為主對(duì)角線元素為正的證明：正交化單位化定理2.1：設(shè)，則A50單位化單位化51酉矩陣正線上矩陣單位矩陣酉矩陣正線上矩陣單位矩陣52定理2.2：設(shè)，則A可以唯一的分解為推論2.2：設(shè)，則A可以唯一的分解為推論2.3：設(shè)，則A可以分解為定理2.2：設(shè)，則A53例題2.1例題2.1544.3矩陣的奇異值分解4.3矩陣的奇異值分解55引理3.1：對(duì)任一矩陣A，均有同解方程證明：引理3.1：對(duì)任一矩陣A，均有同解方程證明：56引理3.2：對(duì)任一矩陣A，

均是半正定Hermite矩陣引理3.2：對(duì)任一矩陣A，57定理3.1：對(duì)任一矩陣，則證明：定理3.1：對(duì)任一矩陣，則58定義3.1：對(duì)任一矩陣，稱為矩陣A