高數(shù)二期末復(fù)習(xí)

積1、計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分（參數(shù)方程2、金屬曲線(xiàn)的質(zhì)量（包括對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用3、 公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分（補(bǔ)線(xiàn)4、全微分方程的充要條件（選擇題5、計(jì)算對(duì)面積的曲面6、利用Gauss公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的閉曲面積上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一1L

(x,

y)

f

d2(t2(t)2(t12(x)bL

(x,

y)ds

f(x,(x)) dx3L

(x,

f(r()

,r()sin 例1.設(shè)均勻螺旋形彈簧Lz求它的質(zhì)心a2ka2k

Iz

Iz

(x2L

y2)ds

2a2 da2ka2a2ka2k0(2L

mL

a2ka2k a

costdt

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束a2a2ka

sintdta2ka2k

td

2ka2a2k

(0,0,kx

xds,

y

yds，z

LzdsL

L

Lds上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理1 在有向光滑弧L上連續(xù)L的參數(shù)方程為

xy y

(t)(t)

t:

(t),

(t)](t)Q[

(t)dbb

L:y

則

y(x)]

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束dd

L:x

x(

y為c，終y為則

Pdx

y]x(y)Q[x(

對(duì)空間光滑曲線(xiàn)弧

xyz

(t)(t)(t)

t:

P[(t),(t),(t)](t)

(t),

(t),

(t)]

(t),

(t),(t)](t)d上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)L，以弧長(zhǎng)為參數(shù)的參數(shù)方程為L(zhǎng)的切向量的方向余弦為

cos

dx,

dP(x,

d

Q(x,

y)d lP[x(s),0

y(s)]cosQ[x(s),

y(s)]cos

y)cos

Q(x,

y)cos

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四 公定理2.DL圍成,在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)則QP D

dxdyy

L

x

dxd

溝通了沿閉曲線(xiàn)的積分與二重積分之上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式

PdxdyPdx

QdxD

y 推論LDA

xdy

ydx例如

L:

absin

0

2

(ab

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.計(jì) 其中L為上圓 從O(0,0)到A(4,解為應(yīng)用 公式,添加輔助線(xiàn)區(qū)域?yàn)镈,于是

AO它與L原式 (x2L

3y)

(y2

x)d (x2

3y)dxy

(y2

x)d4

dxdy

4x2dx D0D

3

A上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條如果在區(qū)域 G1LPdx1

1

Pdx

在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)B注曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí)BAB

Qdy

A

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.設(shè)G是單連通域,在G

以下四個(gè)條件等價(jià)

L

與路徑無(wú)關(guān)沿GL

L

Qd

0.G

P

Pdx+Pdx+Q在G內(nèi)是某一函 du(x,y)

P

Qdy上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì) 其中L是

a為半徑的上半圓周解

P

Qy2

x, CL表明積分與路徑無(wú)關(guān)

A IAB(x y)dx(

ax2da

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解

BA,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈2ILBA(x

y)dx(y2

x)dy

(x2y)

x(y2x)d L

0dx

yx2

2a3 a a

A

公式I1

(x2L

3y)

x(y2

x)dL同例2如何計(jì)算下述積分I2

(x2L

y2)

x(y2

x)d上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.驗(yàn)證是某函數(shù)的全微分,并求證P

xy2,

Qx2y,

P

2xy

xu(xyduxy2dx

x2ydy

(x,y)x0x0x

0xydy2y

。。 yx2yd0

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5

xdy

ydx在右半平面x0)y(x,oy(x,o(x,0原函數(shù),并求出它證 P

,Q x2y2 x2y2P y2x2

(x2

y2

(x0

0

x dxy 0x2yxy上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 .計(jì)

xILx

yd

y2)d

ydxL

ydx L:

t:0 y asiny

D0dx

y 0d

2a2 0

sin2

td

a2上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束六、對(duì)面積的曲面積分計(jì) 定理4.f(xyz在上連續(xù)

Dxy

f

y,z)

存在

f(x, xyxy上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 1zx zy22第二步：求1zx zy22

Dxdxdx

x(y,

yzDyz，

(

y,z)dS

f[x(y,

y,

1x2

x2yzxzyzxz

yy(x,

(xzDxz

(

y,z)dS

f

y(x,z),

1y2

y2上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 計(jì)算(x

yz)ds,其中

yz

x2y

積分曲面：z

5y投影域D

{(

y)|x2

y2

dS

1

0(1)2dxdy

(x

yz)ds

(x22

y5

2

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部. Dxy

:x2y2

h2 xy xydS

1z2

z2

Dxy xd d

adxd

2

2a2h2a2h2

rd xy

2a

12

r2)a2h2a2h2上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束七、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)定理 設(shè)光滑曲是上的連續(xù)函數(shù),則

取上側(cè)R(x,

y,z)dxd

R(x,xyxy

y,z(x,

y))

dxd上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注如果積分曲面取下側(cè)

y,z)dx

y

R(x,

z(x,

)dxdxy xy

y,z)

P(x(y,z)

y,z)

ydyz yz

y,z)

zdx

Q

y(z,x),

)dzdzxzx上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

xyzdxd

其中x2

y2z2

思考下述解法是否正確根據(jù)對(duì)稱(chēng)性

xyzdxd 解把1x2y2z1x2y2z2oDxx11x2y1x2y2(x,y)

:x2y2xxy x

0,

y上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

xyzdxd

xyzdxd

xyzdxd11

Dxy

11x2y2

1x1x2y2z2oDxx1

)dxd

1x2y1x2y22

xy11r

dxd

Dxy

r2

rd 202

r3 d 1r1r1上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束九、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)

Qdzdx

Rdxd

Qcos

d上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

Qdzdx

Rdxd

Qcos

dA

n(cos

,cosdS

n

Ad

A

ndAn

A

An上的投影

An上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

(z

x)

ydz

zdxdy,z2oyx為旋轉(zhuǎn)拋物面介于z=0及z=2之間部分的下側(cè).z2oyx

(z

x)

yd

(z

x)cos

(z

dxd原式

(

x)(x)

zdxdcoscoscosx1x2y211x2y22上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束22將z2

1(x2

y2代入

1(x2xy4xy

y2)2

x(x)21(x22

y2)dxdxyxy

1(x2

y2)

2 220

cos2 22 22

2)rz2z2oyxrr上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束十、Gauss公 由分片光滑的閉曲面Σ圍成Px,yz)、Qx,yz、Rx,yz)在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則

Pdydz

(PcosQcos

是coscoscos是x,yz上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10設(shè)

2

y2

1z

上側(cè)I

(x3z

ydz

x2yzdzdx

x2z

dxdzzox111:z

(x,

Dxy

:x2y2I1

用柱坐 用極坐

(x2)dxd 20

rd0

cos2d上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o1o1