廣東省江門(mén)市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（解析版）

PAGEPAGE27第頁(yè)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期第2次學(xué)段考試高二級(jí)數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線(xiàn)的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線(xiàn)和的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.重合2.數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為（）A. B. C. D.3.已知兩點(diǎn)，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.C. D.4.若點(diǎn)P在橢圓上，，分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且，則的面積為（）．A. B.3 C.4 D.15.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(xiàn)（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線(xiàn)的接收天線(xiàn)，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線(xiàn)的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m6.已知直三棱柱中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，直線(xiàn)過(guò)，兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.或2 D.28.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若方程表示的曲線(xiàn)為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則曲線(xiàn)為橢圓 B.若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則或C.曲線(xiàn)不可能是圓 D.若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值11.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（）A.公共弦所在直線(xiàn)方程為B.過(guò)上任意一點(diǎn)P作圓切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為C.公共弦的長(zhǎng)為D圓與圓C關(guān)于直線(xiàn)12.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F的直線(xiàn)l與C相交于兩點(diǎn)，若的最小值為6，則（）A.拋物線(xiàn)的方程為 B.MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值為4C. D.當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角為時(shí)，三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線(xiàn)：上，則圓的方程為_(kāi)__________.14.設(shè)，向量，，，且，，則的值為_(kāi)_____________.15.過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)__________.16.己知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，若斜率為的直線(xiàn)l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，公差分別為，，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）數(shù)列是不是等差數(shù)列？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，的公差都等于3，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.18.如圖，在四棱雉中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，四邊形是矩形，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.19.如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)．（1）求圓C方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?20.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且，求m的值.21.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，.（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的夾角的余弦值最大？22.已知，，點(diǎn)滿(mǎn)足，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）求斜率取值范圍；2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期第2次學(xué)段考試高二級(jí)數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線(xiàn)的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線(xiàn)和的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.重合【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率公式，結(jié)合兩直線(xiàn)位置關(guān)系與斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)的斜率為：，又因?yàn)?，所以?xún)芍本€(xiàn)垂直，故選：B2.數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得的值.【詳解】由題意可得，，，.故選：C.3.已知兩點(diǎn)，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求出.【詳解】如圖，要使直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則應(yīng)滿(mǎn)足或，因?yàn)?，，所以?故選：A4.若點(diǎn)P在橢圓上，，分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且，則的面積為（）．A. B.3 C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】利用橢圓定義得到，再利用余弦定理得到，兩者聯(lián)立解出，再利用三角形面積公式求出面積即可.【詳解】解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，．所以，又由，所以，即．因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，即，兩式相減，約分可得，所以．故選：A．5.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(xiàn)（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線(xiàn)的接收天線(xiàn)，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線(xiàn)的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線(xiàn)的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線(xiàn)的頂點(diǎn)（即拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上．設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，解得，因此，該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.6.已知直三棱柱中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示，即可知異面直線(xiàn)與所成角為（或其補(bǔ)角），再解三角形即可求出．【詳解】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，由題意得，易知該四棱柱為長(zhǎng)方體，，異面直線(xiàn)與所成角為（或其補(bǔ)角），，，，∴.故選：C.7.設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，直線(xiàn)過(guò)，兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.或2 D.2【答案】D【解析】【分析】寫(xiě)出直線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，以及之間的關(guān)系列方程求出雙曲線(xiàn)的離心率，再根據(jù)分類(lèi)討論，確定雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】解：由題意在雙曲線(xiàn)中，，半焦距為，直線(xiàn)過(guò)，兩點(diǎn)∴在中，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，∴解得：∵∴當(dāng)時(shí)，解得：，舍去，當(dāng)時(shí)，解得：，符合題意，綜上，，故選：D.8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若方程表示的曲線(xiàn)為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則曲線(xiàn)為橢圓 B.若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則或C.曲線(xiàn)不可能是圓 D.若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線(xiàn)方程的特征逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，此時(shí)曲線(xiàn)為圓，故A錯(cuò)，對(duì)于B,若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則，即或，故B對(duì)，對(duì)于C,若曲線(xiàn)為圓，則即，故曲線(xiàn)可能是圓，故C錯(cuò)，對(duì)于D,曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則，解得，故D對(duì).故選：BD.10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【解析】【分析】利用求出可判斷ABC，對(duì)配方后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足上式，所以，對(duì)于A，由于，，所以不是遞增數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，，，所以，所以不是等差數(shù)列，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以C正確，對(duì)于D，，因?yàn)?，所以?dāng)或4時(shí)，取得最大值，所以D正確，故選：CD.11.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（）A.公共弦所在直線(xiàn)方程為B.過(guò)上任意一點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為C.公共弦的長(zhǎng)為D.圓與圓C關(guān)于直線(xiàn)【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；B選項(xiàng)，設(shè)上任意一點(diǎn)P為，設(shè)切點(diǎn)為，則，即可求出切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值；C選項(xiàng)，求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；D選項(xiàng)，求出直線(xiàn)的斜率和中點(diǎn)即可驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)閳A：和圓的交點(diǎn)為A，B，作差得，所以圓與圓的公共弦AB所在的直線(xiàn)方程為，故A正確；設(shè)上任意一點(diǎn)P為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，當(dāng)時(shí)，.所以B正確.圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓的圓心為，半徑.圓心到直線(xiàn)的距離，圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心若圓與圓C關(guān)于直線(xiàn)，則則關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，的中點(diǎn)為在直線(xiàn)上，所以圓與圓C關(guān)于直線(xiàn).故選：ABD.12.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F的直線(xiàn)l與C相交于兩點(diǎn)，若的最小值為6，則（）A.拋物線(xiàn)的方程為 B.MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值為4C. D.當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角為時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】首先分斜率存在和斜率不存在兩種情況分別進(jìn)行討論，可知當(dāng)直線(xiàn)垂直軸且過(guò)焦點(diǎn)時(shí)最短，然后根據(jù)的最小值為的條件，求出值，然后利用拋物線(xiàn)的方程逐一驗(yàn)證選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，即MN過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且垂直x軸，，，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，可得①，由韋達(dá)定理由拋物線(xiàn)的定義，可得，綜合以上兩種情況可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即MN過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且垂直x軸，取得最小值，的最小值為6，，即，拋物線(xiàn)的方程為，故A選項(xiàng)正確，易知，當(dāng)垂直于軸時(shí)，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最小，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最小值為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)斜率不存在時(shí)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角為時(shí)，可得將，代入①中，可得，解得兩根為，由拋物線(xiàn)得的定義可得，，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線(xiàn)：上，則圓的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由圓的性質(zhì)可得：的垂直平分線(xiàn)方程與直線(xiàn)聯(lián)立方程組求得圓心為，用兩點(diǎn)之間距離公式求得，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)?，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率，因此線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程是：，即．圓心的坐標(biāo)是方程組的解．解此方程組得：，所以圓心的坐標(biāo)是．圓的半徑長(zhǎng)，所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為:14.設(shè)，向量，，，且，，則的值為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，向量，，，，解得，又，，解得，則故答案為：.15.過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)__________.【答案】5【解析】【分析】由已知可得，直線(xiàn)的方程為.代入拋物線(xiàn)方程后，根據(jù)韋達(dá)定理可求得，進(jìn)而推得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可解出距離.【詳解】設(shè)，，中點(diǎn).由已知可得，直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)可得，將該式代入拋物線(xiàn)方程可得，，.由韋達(dá)定理可得，，又，，所以.因?yàn)?，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，，所以.因?yàn)椋瑨佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.所以，到的距離為.故答案：5.16.己知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，若斜率為的直線(xiàn)l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】先由得到F為的重心，再利用點(diǎn)差法求得之間的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】設(shè)，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為，由，知F為的重心，故，即，解得，又M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，則，又P、Q為橢圓C上兩點(diǎn)，則，兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得，則解得或（故舍去）則，則離心率.故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，公差分別為，，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）數(shù)列是不是等差數(shù)列？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，的公差都等于3，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【答案】（1）數(shù)列等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析；（2），前項(xiàng)和為.【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意得，然后利用等差數(shù)列的定義判斷即可；（2）由（1）結(jié)合已知可得數(shù)列的首項(xiàng)為8，公差為15，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，公差分別為，，所以，，因?yàn)?，所以為常?shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，由?）可知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，因?yàn)?，的公差都等?，所以數(shù)列的公差為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.18.如圖，在四棱雉中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行可證線(xiàn)面平行.（2）利用向量法即可求得線(xiàn)面角的正弦值.（3）利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)為，連接，由已知∥，，∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，平面，平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】如圖取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.所以，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，故令，則則記直線(xiàn)與平面所成角為，，所以故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【小問(wèn)3詳解】在直角三角形中，可知同理在直角三角形中，可知，在直角三角形中，可知在直角三角形中，可知，在直角三角形中，可知在三角形中，可知，所以三角形為.點(diǎn)到平面的距離為.所以，解得點(diǎn)到平面的距離為.19.如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)．（1）求圓C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?【答案】（1）；（2）該船有觸礁的危險(xiǎn)．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點(diǎn)，又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，設(shè)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．【小問(wèn)2詳解】因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線(xiàn)所在直線(xiàn)l的斜率為1，直線(xiàn)l的方程為，由（1）知，圓C的圓心為，半徑，則圓心C到直線(xiàn)l的距離，則，所以該船有觸礁的危險(xiǎn).20.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且，求m的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得求出，從而可求得橢圓的方程，（2）設(shè)，，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，由可得，代入進(jìn)而可求出的值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為.由題意得解得.所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由得.由，解得.設(shè)，，則，所以，，因?yàn)椋?，則，則，則，解得：或.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則不滿(mǎn)足.所以.21.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，.（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的夾角的余弦值最大？【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，面與面所成的二面角的余弦值最大【解析】【分析】（1）