衡水獨家秘籍2019高中期末復習專題三函數(shù)單調性判斷與證明

衡水獨家秘笈之2019高中期末復習專題三函數(shù)單一性的判斷與證明【方法綜述】1．函數(shù)的單一性（1）.增函數(shù)：若關于定義域I內的某個區(qū)間DDI上的隨意兩個自變量x1、x2，當x1x2時，都有fx1fx2，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若關于定義域I內的某個區(qū)間DDI上的隨意兩個自變量x1、x2，當x1x2時，都有fx1fx2，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是減函數(shù).復合函數(shù)單一性的結論：y＝f(t)遞加遞減t＝g(x)遞加遞減遞加遞減y＝[()]遞加遞減遞減遞加fgx以上規(guī)律可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”．可是要注意：單一區(qū)間一定注意定義域；要確立t＝g(x)(常稱內層函數(shù))的值域，不然沒法確立f(t)(常稱外層函數(shù))的單一性．用定義證明函數(shù)單一性中的變形策略由定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單一性，其步驟為：取值→作差→變形→定號．此中變形是最重點的一步，合理變形是正確判斷f(x1)－f(x2)的符號的重點所在．常有變形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下邊舉例說明.例1.求證：函數(shù)f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是減函數(shù)．證明：設x，x是(－∞，2]上的隨意兩個實數(shù)，且x＜x，則f(x)－f(x212121211222(x1－x2)(x1＋x2－4)．因為x1＜x2≤2，因此x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函數(shù)f(x)在(－∞，2]上是減函數(shù)．評注因式分解是變形的常用策略，但一定注意，分解時必定要完全，這樣才利于判斷f(x1)－f(x2)的符號．1例2.求證：函數(shù)f(x)＝x3＋1在R上是增函數(shù)．證明：設x1，x2是R上的隨意兩個實數(shù)，且x1＜x2，3則f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2－13x1－x2(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＝(x1－x2)x2232.x1＋＋x224x2232因為x1＜x2，因此x1－x2＜0，x1＋2＋4x2＞0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．評注此題極易在(x－x)(x22處“止步”而致誤．而實質受騙我們不可以直接判1121222＋x1x2．斷x12＋x2的符號，又不可以因式分解時，采納配方則會“峰回路轉”1例3.已知函數(shù)f(x)＝x＋x，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)．證明：設x，x是區(qū)間(0,1]上的隨意兩個實數(shù)，且x＜x，則f(x)－f(x)＝x＋－x212121211x11－x2121－1＝(x12)x2－x1＝(x－x)＋x1x2－x＋x1x2112－1＝(x1－x2)1－＝(x1－x2)xx.x1x2x1x2因為x1＜x2，且x1，x2∈(0,1]，因此x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函數(shù)f(x)在(0,1]上是減函數(shù)．1評注相同，我們能夠證明f(x)＝x＋x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)．例4.已知函數(shù)f(x)＝x－1，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)．證明：設x1，x2是區(qū)間[1，＋∞)上的隨意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝x1－1x2－1＝x1－x2.x1－1＋x2－1因為x＜x，且x，x∈[1，＋∞)，1212因此x1－x2＜0，x1－1＋x2－1＞0.2因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．評注關于根式函數(shù)常采納分子或分母有理化變形手段以達到判斷f(x)－f(x)符號的目12的.1例5.求函數(shù)y＝x＋12的單一區(qū)間．解：函數(shù)y＝12的定義域為(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，x＋121設t＝(x＋1)，則y＝t(t>0)．當x∈(－∞，－1)時，t是x的減函數(shù)，y是t的減函數(shù)，因此(－∞，－1)是y＝12的遞加區(qū)間；x＋1當x∈(－1，＋∞)時，t是x的增函數(shù)，y是t的減函數(shù)，因此(－1，＋∞)是y＝12的遞減區(qū)間．x＋1綜上知，函數(shù)1的遞加區(qū)間為(－∞，－1)，遞減區(qū)間為(－1，＋∞)．y＝21例6.求y＝x2－2x－3的單一區(qū)間．解：由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，21令t＝x－2x－3(t≠0)，則y＝t，1因為y＝t在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數(shù)，而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上為減函數(shù)，1在(1,3)，(3，＋∞)上是增函數(shù)，因此函數(shù)y＝x2－2x－3的遞加區(qū)間為(－∞，－1)，(－1,1)，遞減區(qū)間為(1,3)，(3，＋∞).【針對訓練】1．以下四個函數(shù)中，在∞上為減函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】3關于選項A,函數(shù)的圖像的對稱軸為張口向上，因此函數(shù)在∞上為減函數(shù).因此選項A是正確的.關于選項B,在在∞上為增函數(shù)，因此選項B是錯誤的.關于選項C,在在∞上為增函數(shù)，因此選項C是錯誤的.關于選項D,,當x=0時，沒存心義，因此選項D是錯誤的.故答案為：A.以下四個函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是( )A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3x1C．f(x)＝－x＋1D．f(x)＝－|x|【答案】C32【分析】當x>0時，f(x)＝3－x為減函數(shù)；當x∈0，時，f(x)＝x－3x為減函數(shù)；當2321x∈2，＋∞時，f(x)＝x－3x為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－x＋1為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－|x|為減函數(shù)．3．若函數(shù)yax與yb在0,上都是減函數(shù)，則fxax2bx在0,上x是（）A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．先增后減D．先減后增【答案】B【分析】由函數(shù)yax與yb在0,上都是減函數(shù),可得a0,b0.則一元二次函數(shù)xfxax2bx在0,上為減函數(shù).應選B.4.定義在R上的函數(shù)fxa，b，總有fafb對隨意兩個不相等實數(shù)a0建立，b則必有（）A.f(x)在R上是增函數(shù)B.f(x)在R上是減函數(shù)C.函數(shù)f(x)是先增添后減少D.函數(shù)f(x)是先減少后增添【答案】A【分析】若abfafbfafb建立，由增函數(shù)的定義知，則由題意ab0知，必定有該函數(shù)fx在R上是增函數(shù)；同理若ab，則必定有fafb建立，即該函數(shù)4fx在R上是增函數(shù).因此函數(shù)fx在R上是增函數(shù).故應選A.5.已知，那么()A.在區(qū)間上單一遞加B.在上單一遞加C.在上單一遞加D.在上單一遞加【答案】D【分析】，在記，則當時，單一遞加，且）而在）不擁有單一性，故A錯誤；當時，不擁有單一性，故B錯誤；當時，單一遞加，且）而在）不擁有單一性，故C錯誤；當，時，單一遞減，且）而在）單一遞減，依據(jù)“同增異減”知，D正確.應選：Dax試議論函數(shù)f(x)＝x－1(a≠0)在(－1,1)上的單一性．【答案】看法析【分析】設－1<x1<x2<1，x－1＋11f(x)＝ax－1＝a1＋x－1，11f(x1)－f(x2)＝a1＋1－a1＋2x－1x－1＝ax2－x1.因為－1<x1<x2<1，1－12xx－1因此x－x>0，x－1<0，x－1<0，2112故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞加．綜上，當a>0時，f(x)在(－1,1)上單一遞減；當a<0時，f(x)在(－1,1)上單一遞加．a(chǎn)7.已知a>0，函數(shù)f(x)＝x＋x(x>0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，a]上是減函數(shù)，在[a，＋∞)上是增函數(shù)．【答案】看法析.5aaaa【分析】隨意取x1>x2>0，則f(x1)－f(x2)＝x1＋x1－x2＋x2＝(x1－x2)＋x1－x2＝(x121aax－x＝(x1－x2)1－.－x2)＋12xx12a當a≥x1>x2>0時，x1－x2>0,1－x1x2<0，有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，a此時，函數(shù)f(x)＝x＋x(a>0)在(0，a]上為減函數(shù)；a當x1>x2≥a時，x1－x2>0,1－x1x2>0，有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，a此時，函數(shù)f(x)＝x＋x(a>0)在[a，＋∞)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋a(a>0)在(0，a]上為減函數(shù)，在[a，＋∞)上為增函數(shù)．x8.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1），（，）．（1）求函數(shù)的分析式；（2）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單一性并用定義證明；【答案】（1）.（2）看法析.【分析】（1）由f(x)的圖象過A、B，則，解得．∴（x≠0）．（2）證明：設隨意x1，x2∈，且x1<x2．（0，）∴.由x，x∈，得xx>0，xx+2>0．12（0，）1212由x1<x2，得．∴，即．6∴函數(shù)在上為減函數(shù)．（0，）9.已知函數(shù)在上知足，且，.（1）求，的值；（2）判斷的單一性并證明；【答案】(1)；(2)單一遞加，證明看法析；(3).【分析】（1）令，即可獲得，再令，可得，令即可求得；（2）單一遞加，證明：任取且，則，，因為，因此，因此在上單一遞加.10.已知定義在區(qū)間∞上的函數(shù)知足，且當時，.1）求的值；2）證明：為單一增函數(shù)；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）看法析（3）最小值為﹣2，最大值為3．【分析】試題剖析：（1）利用賦值法進行求（）的值；2）依據(jù)函數(shù)的單一性的定義判斷（）在（，∞）上的單一性，并證明．3）依據(jù)函數(shù)單一性的性質，并利用賦值法可得函數(shù)的最值．試題分析：（1）∵函數(shù)f（x）知足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）證明：（2）設x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，則＞1，∴f（）＞0