411 復數(shù)項級數(shù)和復數(shù)序列

第四章級數(shù)第一節(jié)級數(shù)和序列的基本性質1、復數(shù)項級數(shù)和復數(shù)序列：復數(shù)序列就是：z=a+ib,z=a+ib，…,z=a+ib，…在這里，七是復數(shù)，111222nnnnRez=a,Imz=b，一般簡單記為｛z｝。按照｛Iz1｝是有界或無界序列，nnnnnn我們也稱｛z｝為有界或無界序列。設z0是一個復常數(shù)。如果任給'>0，可以找到一個正數(shù)N，使得當n>N時Iz-z0I<e，那么我們說｛7〃｝收斂或有極限z0，或者說｛7〃｝是收斂序列，并且收斂于z0，記作如果序列｛zn｝不收斂令如果序列｛zn｝不收斂令z0-a+ibIa-a則稱｛'〃｝發(fā)散，或者說它是發(fā)散序列。/Z其中a和b是實數(shù)。由不等式I及Ib-bI<Iz-zI<Ia-aI+Ib-bInn0nn容易看出，limznn容易看出，limznnT+3lima-a,limb-b,nT+3nT+3因此，有下面的注解：注解1、序列｛zn｝收斂（于z0）的必要與充分條件是：序列｛an｝收斂（于a）以及序列｛bn｝收斂（于b）。注解2、復數(shù)序列也可以解釋為復平面上的點列，于是點列｛zn｝收斂于z0，或者說有極限點z0的定義用幾何語言可以敘述為:任給z0

的一個鄰域，相應地可以找到一個正整數(shù)N,使得當n>N時，氣在這個鄰域內。注解3、利用兩個實數(shù)序列的相應的結果，我們可以證明，兩個收斂復數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應極限的和、差積、商。復數(shù)項級數(shù)就是z+z+...+z+...12n或記必Zn

n=1Zn，其中Zn是復數(shù)。定義其部分和序列為:S=Z+Z+...+Z或記必Zn

n=1Zn，其中Zn是復數(shù)。定義其部分和序列為:如果序列｛b”｝收斂，那么我們說級數(shù)'z收斂；如果｛b”｝的/Z/L/Z.b2zb2z…b極限是b，那么說zn的和是b，或者說zn收斂于b，記作如果序列｛°〃｝發(fā)散，n=1如果序列｛°〃｝發(fā)散，n=1那么我們說級數(shù)發(fā)散。注解1、對于一個復數(shù)序列｛^n｝，我們可以作一個復數(shù)項級數(shù)如下

z+(z—z)+(z—z)+...+(z—z)+...12132nn—1則序列｛七｝的斂散性和此級數(shù)的斂散性相同。

注解2、級數(shù)'Z收斂于°的'—N定義可以敘述為:tn礦>0,3N>0,使得當〃>N時,有|…心，注解3、如果級數(shù)'Z收斂，那么tnlimz=lim(b—b)=0,nT+8nnT+8nn*1注解4、令=Rez,a—Rez,b=Imz,a—Reb,b=Imb，我們有nnnnn因此收斂-乙+iZbk—因此收斂-乙+iZbk—1k—1”收斂（于b）的必要與充分條件是：級數(shù)'a?intnZb（于a）以及級數(shù)匕，收斂（于b）。tn柯西收斂原理（復數(shù)項級數(shù)）：級數(shù)」J收斂必要與充分條件是：，，人g>0—「人十士u?rt任給，可以找到一個正整數(shù)N，使得當n>N，p=1,2,3,…時，1氣+1I+2+…&n+p1<￡

柯西收斂原理（復數(shù)序列）：序列｛Zn｝收斂必要與充分條件是：任給'>0，可以找到一個正整數(shù)N，使得當m及n>N，-I<e對于復數(shù)項級數(shù)J七，我們也引入絕對收斂的概念：如果級zI+...+1zI+...IzI+1二收斂，我們稱級數(shù)zn注解1、級數(shù)'柯西收斂原理（復數(shù)序列）：序列｛Zn｝收斂必要與充分條件是：任給'>0，可以找到一個正整數(shù)N，使得當m及n>N，-I<e對于復數(shù)項級數(shù)J七，我們也引入絕對收斂的概念：如果級zI+...+1zI+...IzI+1二收斂，我們稱級數(shù)zn注解1、級數(shù)'氣絕對收斂必要與充分條件是：級數(shù)'atnlb及“〃絕對收斂：事實上，有bZIa及Ekk=1絕對收斂。IbI衛(wèi)IzI=?iknk\kkk=1k=1k=1王IaI+ZIbI,一定收斂。注解2、若級數(shù)'zntn例、當1aI<1時，1+a+a2+…+an+…絕對收斂;并且有1+a+a2+...+an1