分析力學基礎-機械動力學課件

在空間：一個自由質點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質點在空間有3個自由度。

在平面：需要2個獨立參數(shù)，即質點有2個自由度。受到運動約束：質點自由度數(shù)將減少。完整約束：約束方程中不含速度項；穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時間t若具有n個質點的質點系，有s個完整約束方程：§1自由度和廣義坐標則：n個質點的質點系總自由度數(shù)為：描述質點系在空間位置的獨立參數(shù)，稱廣義坐標；完整系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)目等于自由度數(shù)目?！猎诳臻g：一個自由質點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質1由無重剛桿與小球構成平面擺，做定軸轉動，擺長為l，是具有1個質點的平面質點系，自由度為2，有1個約束方程：用一個獨立參數(shù)ψ表示。若質點限定在半球面上運動，球半徑為R，是具有1個質點的空間質點系，自由度數(shù)為3，有1個約束方程：自由度數(shù)為：通常用2個獨立參數(shù)ψ和θ表示自由度數(shù)為：×由無重剛桿與小球構成平面擺，做定軸轉動，擺長為l，是具有1個2用q1、q2、…qN表示質點系廣義坐標：對完整約束質點系，各質點坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。進行變分計算：設n個質點組成質點系受s個雙面約束×用q1、q2、…qN表示質點系廣義坐標：進行變分計算：設n個3為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。同理：×為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。同理：×4在虛位移原理中，以質點直角坐標的變分表示虛位移。這些虛位移通常不獨立，需要建立虛位移之間的關系。若直接用廣義坐標變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨立，虛位移原理可表示為簡潔形式?！?以廣義坐標表示的質點系平衡條件×在虛位移原理中，以質點直角坐標的變分表示虛位移?！?設：則：它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力δk為線位移，Qk

量綱是力的量綱；δk為角位移，Qk量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標都是獨立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質點系的平衡條件是所有的廣義力都等于零×設：則：它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義6質點系具有N個自由度，有N個廣義力，則有N個平衡方程是互相獨立的，可聯(lián)立求解質點系的平衡問題。大多數(shù)工程機構只有一個自由度，這只需要列出一個廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：法1.給質點系一個廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個廣義虛位移等于零。法2.×質點系具有N個自由度，有N個廣義力，則有N個平衡7質點系在勢力場中，質點系上的主動力都為有勢力，則勢能應為各質點坐標的函數(shù)，總勢能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件為質點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。×質點系在勢力場中，質點系上的主動力都為有勢力，則勢能應為各質8用廣義坐標表示質點系位置。在勢力場中，質點系勢能可表示為廣義坐標函數(shù)，總勢能為V為：廣義力為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件是勢能對于每個坐標的偏導數(shù)分別等于零。平衡條件為：法3:×用廣義坐標表示質點系位置。在勢力場中，質點系勢能可表示為廣義9例1復合擺機構，A、B點位置作用力F1,F2，F(xiàn).。用廣義坐標表示A、B點位置，求平衡時作用力F1,F2，F(xiàn)與ψ1，ψ2關系。解：方法1：1）取整個系統(tǒng)為研究對象，A,B2個質點具有4個自由度。兩個約束方程：該質點系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個獨立參數(shù)。表示2）用廣義坐標表示A,B×例1復合擺機構，A、B點位置作用力F1,F2，F(xiàn).10××11××12（4）虛位移原理：直接計算：×（4）虛位移原理：直接計算：×13××14方法2：不變，給虛位移×方法2：不變，給虛位移×15不變，給虛位移選題×不變，給虛位移選題×16

設有一質點系由n個質點組成，質點系中第i個質點質量為mi，作用在該質點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.如果假想地加上該質點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構成平衡力系。整個質點系應組成平衡力系，質點系具有理想約束.應用虛位移原理，得到：§3動力學普遍方程×

設有一質點系由n個質點組成，質點系中第i個質17在理想約束的條件下，質點系的各個質點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質點系的各個質點在任一瞬18例1圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整個系統(tǒng)為研究對象，（2）受力分析系統(tǒng)的主動力為：m1g、m2g

2）給系統(tǒng)虛位移s1和s2慣性力為：

×設m2重物下降的加速度為a2，設m1重物下降的加速度為a1。例1圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質量為m1的重物，繩子繞過定19代入加速度和虛位移關系得到：3）動力學普遍方程：

選題×代入加速度和虛位移關系得到：3）動力學普遍方程：選題×20o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質量皆為m，輪Ⅰ可繞O軸轉動，二輪相連繩鉛直時，輪Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對象（2）力分析：作用的主動力mg（3）設輪Ⅰ的角加速度為α1 輪Ⅱ的角加速度為α2輪Ⅰ慣性力偶：MIⅠ=J1α1輪ⅠI慣性力偶：MIⅡ=J2α2 慣性力：FI=maC×o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質量皆為m，輪Ⅰ可繞O214)加虛位移：輪Ⅰ：δψⅠ輪ⅠI：δψⅡI輪定軸轉動II輪平面運動取B為基點×4)加虛位移：I輪定軸轉動II輪平面運動×225)動力學普遍方程：×5)動力學普遍方程：×23由虛位移的任意性：

解得：選題×由虛位移的任意性：解得：選題×24§4第一類拉格朗日方程設n個質點組成質點系受s個雙面約束設：由動力學普遍定理：第一類拉格朗日方程ק4第一類拉格朗日方程設n個質點組成質點系受s個雙面約束25例3-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程?！晾?-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M126××27約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×28當系統(tǒng)各質點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關系不方便。動力學普遍方程用獨立的廣義坐標表示，可推導出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質點系的動力學問題。設一質點系由n個質點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標。設系統(tǒng)中第i個質點的質量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標和時間的函數(shù)：§5第二類拉格朗日方程×當系統(tǒng)各質點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關29由質點系普遍方程：

上式第一項又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×由質點系普遍方程：上式第一項又可以表示為：注意：這里不是30

代入上式第二項得:×代入上式第二項得:×31對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。所以廣義坐標的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標表示。 對廣義力做如下變換×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。321.證明：

進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導數(shù)

其中

是廣義坐標和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對求偏導數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導數(shù)其中是33對某qj求偏導數(shù)

將

對時間求導數(shù)得：2.證明：由此得證

×對某qj求偏導數(shù)將對時間求導數(shù)得：2.證明：由此得證34××35其中

上式稱為拉格朗日方程×其中

為系統(tǒng)的動能其中

為質點系的勢能其中

為系統(tǒng)的散逸函數(shù)其中

其中上式稱為拉格朗日方程×其中為系統(tǒng)的動能其中為質點系36列出系統(tǒng)的勢能、動能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可得到n自由度系統(tǒng)的運動方程×是n×n矩陣是n×1向量方程是由n個二階常微分方程組成的方程組列出系統(tǒng)的勢能、動能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可×是n×n37解：1）取系統(tǒng)為研究對象此系統(tǒng)具有一個自由度。以物塊平衡位置為原點，取x為廣義坐標如圖。2）以平衡位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為例6如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質量為m1的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點。A、B二輪皆為均質圓輪，半徑為R，質量為m2。彈簧剛度為k，質量不記。當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運動微分方程。0為平衡位置彈簧伸長量?！两猓豪?如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平382）運動分析；B輪角速度為A輪質心速度為A輪角速度為物塊速度為此系統(tǒng)的動能為：×2）運動分析；B輪角速度為A輪質心速度為A輪角速度為物393）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運動微分方程為得注意系統(tǒng)的動勢為：選題×3）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運動微分方程為得注意系統(tǒng)的動40例7如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個自由度。×例7如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質413）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)的動能為：選x1和為廣義坐標，則有：其中：×選x1和為廣義坐標，則有：其中：×42選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：×選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢43××44代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×45如果M2擺動很小，則可近似地認為且可忽略高階小量，上式可改寫為×如果M2擺動很小，則可近似地認為且可忽略高階小量，上式可改46解為：圓頻率為：

擺動周期如果m1遠大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動周期將趨近于普通單擺的周期：選題×解為：圓頻率為：

擺動周期如果m1遠大于m2，則M1的位47§6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時間t，從而（3－27）§6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以48為關于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標的函數(shù)，稱為廣義質量，容易證明（3－28）上式也稱為關于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢能V不含項，從而為關于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標的函數(shù)，稱為廣義49將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=502.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標，則稱該坐標為循環(huán)坐標，此時從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標51例3-9：圖表示一個均質圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉動，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開始沿槽下滑，同時使圓柱體繞軸線轉動，設小球質量為，圓柱體的質量為，半徑為R，不計摩擦。求：當小球下降的高度為h時，小球相對于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個均質圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉動，52解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因為系統(tǒng)所受的主動力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉角，和沿螺旋槽方向的弧坐標s為廣義坐標。取小球為動點，圓柱體為動系，利用點的速度合成公式，則小球的動能為圓柱體的動能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定53系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點為零勢能點。則系統(tǒng)勢能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時間t和廣義坐標，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個一次積分式系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊54將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，55由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉動的角速度為由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉動56平面機構自由度分析及應用舉例一、運動副的自由度和約束二、平面機構自由度計算公式三、機構可能運動條件及機構具有確定運 動條件四、計算機構自由度應注意的問題平面機構自由度分析及應用舉例一、運動副的自由度和約束57一、運動副的自由度和約束運動副對該兩構件獨立運動所加的限制稱為約束。約束數(shù)目等于被其限制的自由度數(shù)。

圖1.1.17平面構件未組成運動副前三個自由度一、運動副的自由度和約束運動副對該兩58圖1.1.18組成運動副后構件2相對運動自由度（一）轉動副：只能繞垂直于xoy平面的軸的相對轉動

（二）移動副：使其只能沿x軸方向移動。

（三）高副：可沿t-t方向獨立移動和繞過k點垂直于運動平面的軸的獨立轉動

圖1.1.18組成運動副后構件2相對運動自由度（一）轉動副59二、平面機構自由度計算公式式中F——平面機構的自由度；n——該機構的總構件數(shù)(包括機架),(n-1) 則為機構的活動構件數(shù)；PL——該機構中的低副（轉動副、移動副）數(shù)；PH——該機構中的高副數(shù)。二、平面機構自由度計算公式式中F——平面機構的自由度；60結論（一）機構可能運動的條件為：機構自由度數(shù)大于等于1。（二）機構具有確定運動的條件為：機構輸入的獨立運動數(shù)目等于機構的自由度數(shù)。三、機構可能運動條件及機構具有確定運動條件圖1.1.19機構自由度與確定運動結論（一）機構可能運動的條件為：機構自由度數(shù)大于等于161（一）復合鉸鏈

四、計算機構自由度時應注意的問題兩個以上構件同在一處以轉動副相聯(lián)接即構成復合鉸鏈。m個構件以復合鉸鏈聯(lián)接所構成的轉動副數(shù)為(m-1)個注意：復合鉸鏈只存在于轉動副中。

圖1.1.20復合鉸鏈（一）復合鉸鏈四、計算機構自由度時應注意的問題62機構的自由度與確定運動條件

圖1.1.21局部自由度（二）局部自由度機構中有些構件所具有的自由度只與該構件自身的局部運動有關，不影響其它構件的運動，即對整個機構的運動輸出無關，則稱這種自由度為局部自由度。機構的自由度與確定運動條件

圖1.1.21局部自由度（二63在機構自由度計算時，還需注意，在某些特定的幾何條件或結構條件下，某些運動副所引入的約束可能與其它運動副引入的約束是重復的，這種不起獨立約束作用的重復約束稱為虛約束。在計算機構自由度時，應將虛約束除去不計。常見的虛約束發(fā)生在以下場合：

（三）虛約束在機構自由度計算時，還需注意，在某些特定的幾何條件或結構條件64圖1.1.22兩構件或多個運動副滿足特定幾何條件時形成虛約束兩構件組成若干個轉動副，但其軸線互相重合；兩構件組成移動副，其導路互相平行或重合;1．兩構件間構成多個運動副圖1.1.22兩構件或多個運動副滿足特定幾何條件時形成虛約652．聯(lián)接構件與被聯(lián)接構件上聯(lián)接點的軌跡重合;

圖1.1.23軌跡重合形成虛約束 圖1.1.24兩構件上某兩點距離不變形成虛約束3．在機構整個運動過程中，兩構件上某兩點之間的距離始終不變。2．聯(lián)接構件與被聯(lián)接構件上聯(lián)接點的軌跡重合;

圖1.1.266機構的自由度與確定運動條件圖1.1.25對運動不起作用的對稱部分形成虛約束4．機構中對運動不起作用的對稱部分機構的自由度與確定運動條件圖1.1.25對運動不起作用的67例題1.1.3試計算如圖所示大篩機構的自由度。分析：該機構具有5個活動構件，有7個轉動副，即低副，沒有高副。于是機構自由度為例題1.1.3試計算如圖所示大篩機構的自由度。分析：68第四章多自由度機械動力學利用拉格朗日方程分析問題思路：選定系統(tǒng)的廣義坐標列出系統(tǒng)動能、勢能和廣義力表達式代入拉格朗日方程列出運動微分方程求解微分方程第四章多自由度機械動力學利用拉格朗日方程分析問題思路：選69二自由度系統(tǒng)，廣義坐標設為q1、q2選定系統(tǒng)的廣義坐標若不考慮重力，且無其它有勢力的作用，二自由度系統(tǒng)，廣義坐標設為q1、q2選定系統(tǒng)的廣義坐標若不考70動能列出系統(tǒng)動能、勢能和廣義力表達式動能列出系統(tǒng)動能、勢能和廣義力表達式71廣義力代入拉格朗日方程列出運動微分方程如系統(tǒng)能直接寫出主動力功率與廣義速度的關系式廣義力代入拉格朗日方程列出運動微分方程如72降階處理求解微分方程（二階非線性微分方程）四階龍格—庫塔法降階處理求解微分方程（二階非線性微分方程）四階龍格—庫塔法73分析力學基礎--機械動力學課件74四元一階微分方程組。應用龍格—庫塔法四元一階微分方程組。應用龍格—庫塔法75由初始條件和四階龍格—庫塔法的遞推公式可求得廣義坐標值和廣義速度值由初始條件和四階龍格—庫塔法的遞推公式可求得廣義坐標值和廣義76已知各輪齒數(shù)以及轉動慣量，固聯(lián)的行星輪2.3齒輪組的質量為m23，設作用在輪1、4和系桿H上的力矩分別為M1、M4、MH，試求差動輪系在力矩下的運動為分方程。已知各輪齒數(shù)以及轉動慣量，固聯(lián)的行星77二自由度機械手的動力學問題二自由度機械手的動力學問題78廣義位移θ1，θ2廣義位移θ1，θ279分析力學基礎--機械動力學課件80分析力學基礎--機械動力學課件81分析力學基礎--機械動力學課件82兩臂轉角的運動規(guī)律應保證加速度連續(xù)兩臂轉角的運動規(guī)律應保證加速度連續(xù)83第五章含間隙機構的動力學問題考慮運動副間隙影響的連桿機構動力學問題凸輪機構和間歇機構中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象第五章含間隙機構的動力學問題考慮運動副間隙影響的連桿機構動力845.1考慮運動副間隙影響的連桿機構動力學問題含間隙剛體機構動力學分析方法5.1考慮運動副間隙影響的連桿機構動力學問題含間隙剛體機構動851、三狀態(tài)運動模型拉格朗日方程1、三狀態(tài)運動模型拉格朗日方程86分析力學基礎--機械動力學課件87接觸狀態(tài)接觸狀態(tài)88自由狀態(tài)自由狀態(tài)89碰撞過程碰撞過程902、二狀態(tài)運動模型推到機構動力學方程牛頓力學2、二狀態(tài)運動模型推到機構動力學方程牛頓力學91分析力學基礎--機械動力學課件92牛頓力學建立各構件的力平衡方程牛頓力學建立各構件的力平衡方程933、連續(xù)接觸模型推到機構動力學方程將間隙視為一個無質量剛性桿，稱為間隙桿3、連續(xù)接觸模型推到機構動力學方程將間隙視為一個無質量剛性桿945.2凸輪機構和間隙機構中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象5.2凸輪機構和間隙機構中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象95分析力學基礎--機械動力學課件96在空間：一個自由質點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質點在空間有3個自由度。

在平面：需要2個獨立參數(shù)，即質點有2個自由度。受到運動約束：質點自由度數(shù)將減少。完整約束：約束方程中不含速度項；穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時間t若具有n個質點的質點系，有s個完整約束方程：§1自由度和廣義坐標則：n個質點的質點系總自由度數(shù)為：描述質點系在空間位置的獨立參數(shù)，稱廣義坐標；完整系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)目等于自由度數(shù)目。×在空間：一個自由質點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質97由無重剛桿與小球構成平面擺，做定軸轉動，擺長為l，是具有1個質點的平面質點系，自由度為2，有1個約束方程：用一個獨立參數(shù)ψ表示。若質點限定在半球面上運動，球半徑為R，是具有1個質點的空間質點系，自由度數(shù)為3，有1個約束方程：自由度數(shù)為：通常用2個獨立參數(shù)ψ和θ表示自由度數(shù)為：×由無重剛桿與小球構成平面擺，做定軸轉動，擺長為l，是具有1個98用q1、q2、…qN表示質點系廣義坐標：對完整約束質點系，各質點坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。進行變分計算：設n個質點組成質點系受s個雙面約束×用q1、q2、…qN表示質點系廣義坐標：進行變分計算：設n個99為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。同理：×為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。同理：×100在虛位移原理中，以質點直角坐標的變分表示虛位移。這些虛位移通常不獨立，需要建立虛位移之間的關系。若直接用廣義坐標變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨立，虛位移原理可表示為簡潔形式?！?以廣義坐標表示的質點系平衡條件×在虛位移原理中，以質點直角坐標的變分表示虛位移?！?01設：則：它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力δk為線位移，Qk

量綱是力的量綱；δk為角位移，Qk量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標都是獨立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質點系的平衡條件是所有的廣義力都等于零×設：則：它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義102質點系具有N個自由度，有N個廣義力，則有N個平衡方程是互相獨立的，可聯(lián)立求解質點系的平衡問題。大多數(shù)工程機構只有一個自由度，這只需要列出一個廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：法1.給質點系一個廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個廣義虛位移等于零。法2.×質點系具有N個自由度，有N個廣義力，則有N個平衡103質點系在勢力場中，質點系上的主動力都為有勢力，則勢能應為各質點坐標的函數(shù)，總勢能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件為質點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。×質點系在勢力場中，質點系上的主動力都為有勢力，則勢能應為各質104用廣義坐標表示質點系位置。在勢力場中，質點系勢能可表示為廣義坐標函數(shù)，總勢能為V為：廣義力為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件是勢能對于每個坐標的偏導數(shù)分別等于零。平衡條件為：法3:×用廣義坐標表示質點系位置。在勢力場中，質點系勢能可表示為廣義105例1復合擺機構，A、B點位置作用力F1,F2，F(xiàn).。用廣義坐標表示A、B點位置，求平衡時作用力F1,F2，F(xiàn)與ψ1，ψ2關系。解：方法1：1）取整個系統(tǒng)為研究對象，A,B2個質點具有4個自由度。兩個約束方程：該質點系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個獨立參數(shù)。表示2）用廣義坐標表示A,B×例1復合擺機構，A、B點位置作用力F1,F2，F(xiàn).106××107××108（4）虛位移原理：直接計算：×（4）虛位移原理：直接計算：×109××110方法2：不變，給虛位移×方法2：不變，給虛位移×111不變，給虛位移選題×不變，給虛位移選題×112

設有一質點系由n個質點組成，質點系中第i個質點質量為mi，作用在該質點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.如果假想地加上該質點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構成平衡力系。整個質點系應組成平衡力系，質點系具有理想約束.應用虛位移原理，得到：§3動力學普遍方程×

設有一質點系由n個質點組成，質點系中第i個質113在理想約束的條件下，質點系的各個質點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質點系的各個質點在任一瞬114例1圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整個系統(tǒng)為研究對象，（2）受力分析系統(tǒng)的主動力為：m1g、m2g

2）給系統(tǒng)虛位移s1和s2慣性力為：

×設m2重物下降的加速度為a2，設m1重物下降的加速度為a1。例1圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質量為m1的重物，繩子繞過定115代入加速度和虛位移關系得到：3）動力學普遍方程：

選題×代入加速度和虛位移關系得到：3）動力學普遍方程：選題×116o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質量皆為m，輪Ⅰ可繞O軸轉動，二輪相連繩鉛直時，輪Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對象（2）力分析：作用的主動力mg（3）設輪Ⅰ的角加速度為α1 輪Ⅱ的角加速度為α2輪Ⅰ慣性力偶：MIⅠ=J1α1輪ⅠI慣性力偶：MIⅡ=J2α2 慣性力：FI=maC×o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質量皆為m，輪Ⅰ可繞O1174)加虛位移：輪Ⅰ：δψⅠ輪ⅠI：δψⅡI輪定軸轉動II輪平面運動取B為基點×4)加虛位移：I輪定軸轉動II輪平面運動×1185)動力學普遍方程：×5)動力學普遍方程：×119由虛位移的任意性：

解得：選題×由虛位移的任意性：解得：選題×120§4第一類拉格朗日方程設n個質點組成質點系受s個雙面約束設：由動力學普遍定理：第一類拉格朗日方程ק4第一類拉格朗日方程設n個質點組成質點系受s個雙面約束121例3-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程?！晾?-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1122××123約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×124當系統(tǒng)各質點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關系不方便。動力學普遍方程用獨立的廣義坐標表示，可推導出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質點系的動力學問題。設一質點系由n個質點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標。設系統(tǒng)中第i個質點的質量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標和時間的函數(shù)：§5第二類拉格朗日方程×當系統(tǒng)各質點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關125由質點系普遍方程：

上式第一項又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×由質點系普遍方程：上式第一項又可以表示為：注意：這里不是126

代入上式第二項得:×代入上式第二項得:×127對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。所以廣義坐標的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標表示。 對廣義力做如下變換×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。1281.證明：

進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導數(shù)

其中

是廣義坐標和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對求偏導數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導數(shù)其中是129對某qj求偏導數(shù)

將

對時間求導數(shù)得：2.證明：由此得證

×對某qj求偏導數(shù)將對時間求導數(shù)得：2.證明：由此得證130××131其中

上式稱為拉格朗日方程×其中

為系統(tǒng)的動能其中

為質點系的勢能其中

為系統(tǒng)的散逸函數(shù)其中

其中上式稱為拉格朗日方程×其中為系統(tǒng)的動能其中為質點系132列出系統(tǒng)的勢能、動能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可得到n自由度系統(tǒng)的運動方程×是n×n矩陣是n×1向量方程是由n個二階常微分方程組成的方程組列出系統(tǒng)的勢能、動能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可×是n×n133解：1）取系統(tǒng)為研究對象此系統(tǒng)具有一個自由度。以物塊平衡位置為原點，取x為廣義坐標如圖。2）以平衡位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為例6如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質量為m1的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點。A、B二輪皆為均質圓輪，半徑為R，質量為m2。彈簧剛度為k，質量不記。當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運動微分方程。0為平衡位置彈簧伸長量?！两猓豪?如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平1342）運動分析；B輪角速度為A輪質心速度為A輪角速度為物塊速度為此系統(tǒng)的動能為：×2）運動分析；B輪角速度為A輪質心速度為A輪角速度為物1353）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運動微分方程為得注意系統(tǒng)的動勢為：選題×3）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運動微分方程為得注意系統(tǒng)的動136例7如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個自由度?！晾?如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質1373）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)的動能為：選x1和為廣義坐標，則有：其中：×選x1和為廣義坐標，則有：其中：×138選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：×選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢139××140代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×141如果M2擺動很小，則可近似地認為且可忽略高階小量，上式可改寫為×如果M2擺動很小，則可近似地認為且可忽略高階小量，上式可改142解為：圓頻率為：

擺動周期如果m1遠大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動周期將趨近于普通單擺的周期：選題×解為：圓頻率為：

擺動周期如果m1遠大于m2，則M1的位143§6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時間t，從而（3－27）§6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以144為關于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標的函數(shù)，稱為廣義質量，容易證明（3－28）上式也稱為關于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢能V不含項，從而為關于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標的函數(shù)，稱為廣義145將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=1462.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標，則稱該坐標為循環(huán)坐標，此時從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標147例3-9：圖表示一個均質圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉動，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開始沿槽下滑，同時使圓柱體繞軸線轉動，設小球質量為，圓柱體的質量為，半徑為R，不計摩擦。求：當小球下降的高度為h時，小球相對于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個均質圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉動，148解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因為系統(tǒng)所受的主動力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉角，和沿螺旋槽方向的弧坐標s為廣義坐標。取小球為動點，圓柱體為動系，利用點的速度合成公式，則小球的動能為圓柱體的動能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定149系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點為零勢能點。則系統(tǒng)勢能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時間t和廣義坐標，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個一次積分式系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊150將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，151由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉動的角速度為由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉動152平面機構自由度分析及應用舉例一、運動副的自由度和約束二、平面機構自由度計算公式三、機構可能運動條件及機構具有確定運 動條件四、計算機構自由度應注意的問題平面機構自由度分析及應用舉例一、運動副的自由度和約束153一、運動副的自由度和約束運動副對該兩構件獨立運動所加的限制稱為約束。約束數(shù)目等于被其限制的自由度數(shù)。

圖1.1.17平面構件未組成運動副前三個自由度一、運動副的自由度和約束運動副對該兩154圖1.1.18組成運動副后構件2相對運動自由度（一）轉動副：只能繞垂直于xoy平面的軸的相對轉動

（二）移動副：使其只能沿x軸方向移動。

（三）高副：可沿t-t方向獨立移動和繞過k點垂直于運動平面的軸的獨立轉動

圖1.1.18組成運動副后構件2相對運動自由度（一）轉動副155二、平面機構自由度計算公式式中F——平面機構的自由度；n——該機構的總構件數(shù)(包括機架),(n-1) 則為機構的活動構件數(shù)；PL——該機構中的低副（轉動副、移動副）數(shù)；PH——該機構中的高副數(shù)。二、平面機構自由度計算公式式中F——平面機構的自由度；156結論（一）機構可能運動的條件為：機構自由度數(shù)大于等于1。（二）機構具有確定運動的條件為：機構輸入的獨立運動數(shù)目等于機構的自由度數(shù)。三、機構可能運動條件及機構具有確定運動條件圖1.1.19機構自由度與確定運動結論（一）機構可能運動的條件為：機構自由度數(shù)大于等于1157（一）復合鉸鏈

四、計算機構自由度時應注意的問題兩個以上構件同在一處以轉動副相聯(lián)接即構成復合鉸鏈。m個構件以復合鉸鏈聯(lián)接所構成的轉動副數(shù)為(m-1)個注意：復合鉸鏈只存在于轉動副中。

圖1.1.20復合鉸鏈（一）復合鉸鏈四、計算機構自由度時應注意的問題158機構的自由度與確定運動條件

圖1.1.21局部自由度（二）局部自由度機構中有些構件所具有的自由度只與該構件自身的局部運動有關，不影響其它構件的運動，即對整個機構的運動輸出無關，則稱這種自由度為局部自由度。機構的自由度與確定運動條件

圖1.1.21局部自由度（二159在機構自由度計算時，還需注意，在某些特定的幾何條件或結構條件下，某些運動副所引入的約束可能與其它運動副引入的約束是重復的，這種不起獨立約束作用的重復約束稱為虛約束