選修2-1雙曲線的幾何性質(zhì)課時作業(yè)

選修2-1雙曲線的幾何性質(zhì)課時作業(yè)選修2-1雙曲線的幾何性質(zhì)課時作業(yè)選修2-1雙曲線的幾何性質(zhì)課時作業(yè)資料僅供參考文件編號：2022年4月選修2-1雙曲線的幾何性質(zhì)課時作業(yè)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：課時作業(yè)12雙曲線的幾何性質(zhì)時間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(每小題5分，共30分)1．在下列各對雙曲線中，既有相同的離心率又有相同的漸近線的是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1和eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1和x2－eq\f(y2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1和x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－y2＝1和eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1【答案】A【解析】A中離心率都為eq\f(2\r(3),3)，漸近線都為y＝±eq\f(\r(3),3)x.2．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線標準方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解．∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，∴c＝5＝eq\r(a2＋b2).①又雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，且P(2,1)在漸近線上，∴eq\f(2b,a)＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2eq\r(5)，b＝eq\r(5)，故應(yīng)選A.3．中心在坐標原點，離心率為eq\f(5,3)的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(5,4)x B．y＝±eq\f(4,5)xC．y＝±eq\f(4,3)x D．y＝±eq\f(3,4)x【答案】D【解析】∵eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(25,9)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,9)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，∴它的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(3,4)x.4．F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P是雙曲線右支上一點，且△F1PF2是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A．1＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．3－eq\r(2) D．3＋eq\r(2)【答案】A【解析】由△PF1F2為等腰直角三角形，又|PF1|≠|(zhì)PF2|，故必有|F1F2|＝|PF即2c＝eq\f(b2,a)，從而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±eq\r(2)，∵e>1，∴e＝1＋eq\r(2).5．(2014·全國新課標Ⅰ理)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到CA.eq\r(3) B．3C.eq\r(3)m D．3m【答案】A【解析】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和點到直線的距離．由已知可得c＝eq\r(3m＋3)，不妨設(shè)焦點坐標為F(eq\r(3m＋3)，0)，雙曲線漸近線方程設(shè)為x＋eq\r(m)y＝0，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|\r(3m＋3)|,\r(1＋m))＝eq\r(3).解決本題要首先將方程化為標準方程后得到c以及雙曲線的漸近線方程，同時要注意條件m>0.6．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點．若P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(10) D.eq\r(10)【答案】C【解析】由題意，可知雙曲線兩焦點的坐標分別為F1(－eq\r(10)，0)、F2(eq\r(10)，0)．設(shè)點P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(10)－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(10)－x，－y)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))))＝eq\r(2x2＋y2＋20)＝2eq\r(10).二、填空題(每小題10分，共30分)7．(2014·北京理)設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(2,2)，且與eq\f(y2,4)－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為____________；漸近線方程為____________．【答案】eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1y＝±2x【解析】本題考查了雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)．雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的漸近線為y＝±2x，故C的漸近線為y＝±2x，設(shè)C：eq\f(y2,4)－x2＝m，并將點(2,2)代入C的方程，解得m＝－3，故C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.∴漸近線方程為y＝±2x.8．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(eq\r(3)，y0)在該雙曲線上，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝________.【答案】0【解析】∵y＝x為漸近線，∴b2＝2，即雙曲線方程為x2－y2＝2.當x＝eq\r(3)時，yeq\o\al(2,0)＝1，∴雙曲線的半焦距為2，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－2－eq\r(3)，－y0)·(2－eq\r(3)，－y0)＝－1＋yeq\o\al(2,0)＝－1＋1＝0.9．如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點，若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是________．【答案】2【解析】設(shè)橢圓長軸長為2a，則雙曲線實半軸長為eq\f(2a,4)＝eq\f(a,2)，所以離心率的比值eq\f(e1,e2)＝eq\f(\f(c,\f(a,2)),\f(c,a))＝2.三、解答題(本題共3小題，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10．(13分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．(1)求此雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面積．【解析】(1)因為e＝eq\r(2)，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因為過點(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)易知F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，所以kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，所以kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)，因為點(3，m)在雙曲線上，所以9－m2＝6，所以m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4eq\r(3)，F(xiàn)1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|m|＝6.11．(13分)斜率為2的直線l的雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1上截得的弦長為4，求直線l的方程．【分析】已知直線l的斜率為2，求直線l的方程，可設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，然后利用弦長為4，求出m即可．【解析】設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,3)－\f(y2,2)＝1，))得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(6,5)m，x1x2＝eq\f(3,10)(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[eq\f(36,25)m2－4×eq\f(3,10)(m2＋2)]．又∵|AB|＝4，∴eq\f(36,5)m2－6(m2＋2)＝16，即3m2＝70.∴m＝±eq\f(\r(210),3).∴直線l的方程為y＝2x±eq\f(\r(210),3).12．(14分)如圖所示，已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，是否存在被點(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由．【分析】易知點B(1,1)在雙曲線外部，不妨假定符合題意的直線存在，那么弦的兩個端點應(yīng)分別在雙曲線的左、右兩支上，其所在直線的傾斜角也不可能是90°.【解析】方法一：不存在．理由如下：假設(shè)存在被B(1,1)平分的弦，且該弦所在的直線方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).∵B(1,1)是弦的中點，且x1＋x2＝eq\f(2kk－1,k2－2)，∴eq\f(kk－1,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).∴假設(shè)不成立．∴不存在被點B(1,1)平分的弦．方法二：不存在．理由如下：假設(shè)存在被點B(1,1)平分的弦，該弦為MN，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1.②))①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直線MN的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\