選修節(jié)不等式證明的基本方法課件

選修4-5不等式選講第二節(jié)不等式證明的基本方法高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步選修4-5第二節(jié)高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件考綱點擊考綱點擊3．會用向量遞歸方法討論排序不等式．4．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)納法證

明一些簡單問題．5．會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx

(x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數(shù))，

了解當(dāng)n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立．6．會用上述不等式證明一些簡單問題．能夠利用平均值不

等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值．7．了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．3．會用向量遞歸方法討論排序不等式．選修節(jié)不等式證明的基本方法課件1．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.證明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.1．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.因為x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)，從而0≤|x1＋x2－1|<1.又x1≠x2，所以|x1－x2|>0，所以|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.因為x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)a－b＞0a－b＞02．綜合法從

出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，即“由因?qū)Ч钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法或順推法．3．分析法證明命題時，我們還常常從要證的

出發(fā)，逐步尋求使它成立的

，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(

、

或已證明的

、

等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法．已知條件結(jié)論充分條件定義公理定理性質(zhì)2．綜合法已知條件結(jié)論充分條件定義公理定理性質(zhì)4．反證法先假設(shè)要證的命題

，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的

，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)

的結(jié)論，以說明假設(shè)

，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法．5．放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值

或，

簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．不成立推理矛盾不正確放大縮小4．反證法不成立推理矛盾不正確放大縮小6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟(1)驗證：當(dāng)n取

時結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)

時命題成立，證明當(dāng)

時命題也成立．綜合(1)(2)可知，命題對于任意n≥n0，且n0，nN*都成立．第一個值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k＋16．?dāng)?shù)學(xué)歸納法第一個值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]1．當(dāng)被證明的不等式的兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，常采用作差比較法證明．作差比較法證明不等式的一般步驟：①作差：將不等式左右兩邊的式子看作整體進行作差．②變形：將差式進行變形，變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個數(shù)(式)的平方和等．③判號：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差正負號．④結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論．[悟一法]2.當(dāng)被證明的不等式（或變形后的不等式）的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時，一般使用作商比較法.作商比較法證明不等式的一般步驟①作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商.②變形：化簡商式到最簡形式.③判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，就是判斷商大于1或小于1或等于1.④結(jié)論.2.當(dāng)被證明的不等式（或變形后的不等式）的兩端都是正數(shù)選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]1．分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．2．利用綜合法證明不等式一般有兩種途徑：①從分析法找思路；②從“重要不等式”，特別是均值不等式找思路．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B.綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч甗悟一法]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件若本例已知中的q＝1，求證：f(1)與f(－1)中至少有一個不小于2.證明：∵q＝1，∴f(x)＝x2＋px＋1假設(shè)f(1)與f(－1)都小于2，則f(1)＋f(－1)<4.而f(1)＋f(－1)＝(2＋p)＋(2－p)＝4，出現(xiàn)矛盾，∴f(1)與f(－1)中至少有一個不小于2.

若本例已知中的q＝1，求證：[悟一法]1．反證法是間接證明問題的一種常用方法，其證明問題的一般步驟為(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立．(結(jié)論成立)[悟一法]2．適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題(1)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題；(2)關(guān)于唯一性、存在性的命題；

(3)結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題；(5)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．2．適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題[通一類]3．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的單調(diào)性得：f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．[通一類]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]1．用放縮法證明不等式的基本方法是：欲證A≥B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個或多個中間變量，使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用傳遞性，達到目的．[悟一法]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]使用柯西不等式的一般形式求最值時，關(guān)鍵是結(jié)合已知條件構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)值，變形為柯西不等式的形式．[悟一法]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時成立推證n＝k＋1時也成立，用上歸納假設(shè)后，可以采用分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法去證明，以前學(xué)過的證明不等式的方法都可以應(yīng)用．[悟一法]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[熱點分析]不等式的證明主要考查比較法與綜合法，而比較法多用作差比較，綜合法主要涉及基本不等式與不等式的性質(zhì)，題目難度不大，屬中檔題.2011年安徽高考以解答題的形式考查了作差比較法、綜合法及分析法在證明不等式中的綜合應(yīng)用，是高考命題的一個新方向．[熱點分析][考題印證][考題印證]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件點擊下圖片進入點擊下圖片進入選修4-5不等式選講第二節(jié)不等式證明的基本方法高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步選修4-5第二節(jié)高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件考綱點擊考綱點擊3．會用向量遞歸方法討論排序不等式．4．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)納法證

明一些簡單問題．5．會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx

(x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數(shù))，

了解當(dāng)n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立．6．會用上述不等式證明一些簡單問題．能夠利用平均值不

等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值．7．了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．3．會用向量遞歸方法討論排序不等式．選修節(jié)不等式證明的基本方法課件1．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.證明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.1．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.因為x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)，從而0≤|x1＋x2－1|<1.又x1≠x2，所以|x1－x2|>0，所以|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.因為x1，x2∈(0,1)，所以x1＋x2－1∈(－1,1)a－b＞0a－b＞02．綜合法從

出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，即“由因?qū)Ч钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法或順推法．3．分析法證明命題時，我們還常常從要證的

出發(fā)，逐步尋求使它成立的

，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(

、

或已證明的

、

等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法．已知條件結(jié)論充分條件定義公理定理性質(zhì)2．綜合法已知條件結(jié)論充分條件定義公理定理性質(zhì)4．反證法先假設(shè)要證的命題

，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的

，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)

的結(jié)論，以說明假設(shè)

，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法．5．放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值

或，

簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．不成立推理矛盾不正確放大縮小4．反證法不成立推理矛盾不正確放大縮小6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟(1)驗證：當(dāng)n取

時結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)

時命題成立，證明當(dāng)

時命題也成立．綜合(1)(2)可知，命題對于任意n≥n0，且n0，nN*都成立．第一個值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k＋16．?dāng)?shù)學(xué)歸納法第一個值n0(例如n0＝1,2等)n＝kn＝k選修節(jié)不等式證明的基本方法課件選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]1．當(dāng)被證明的不等式的兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，常采用作差比較法證明．作差比較法證明不等式的一般步驟：①作差：將不等式左右兩邊的式子看作整體進行作差．②變形：將差式進行變形，變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個數(shù)(式)的平方和等．③判號：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差正負號．④結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論．[悟一法]2.當(dāng)被證明的不等式（或變形后的不等式）的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時，一般使用作商比較法.作商比較法證明不等式的一般步驟①作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商.②變形：化簡商式到最簡形式.③判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，就是判斷商大于1或小于1或等于1.④結(jié)論.2.當(dāng)被證明的不等式（或變形后的不等式）的兩端都是正數(shù)選修節(jié)不等式證明的基本方法課件[悟一法]1．分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．2．利用綜合法證明不等式一般有兩種途徑：①從分析法找思路；②從“重要不等式”，特別是均值不等式找思路．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B.綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч甗悟一法]選修節(jié)不等式證明的基本方法課件若本例已知中的q＝1，求證：f(1)與f(－1)中至少有一個不小于2.證明：∵q＝1，∴f(x)＝x2＋px＋1假設(shè)f(1)與f(－1)都小于2，則f(1)＋f(－1)<4.而f(1)＋f(－1)＝(2＋p)＋(2－p)＝4，出現(xiàn)矛盾，∴f(1)與f(－1)中至少有一個不小于2.

若本例已知中的q＝1，求證：[悟一法]1．反證法是間接證明問題的一種常用方法，其證明問題的一般步驟為(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立．(結(jié)論成立)[悟一法]2．適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題(1)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題；(2)關(guān)于唯一性、存在性的命題；

(3)結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題；(5)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．2．適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題[通一類]3．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判