離散型隨機變量的期望與方差2高品質版課件

隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差1若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…x1P1x2P2…xnPn++++…=若=a+b則E=a（E）+b則E=np若服從幾何分布，若~B(n,P)則E=1/p含義:隨機變量取值的平均水平若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…2例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9由上知Eξ1=Eξ2，標準:1射擊的平均水平------期望2射擊的穩(wěn)定性---------方差1射擊的平均水平------期望例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)3若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…若=a+b則D=a2D若~B(n,P)則D=npq(q=1-p)(x1-E)2P1…++++…=(x2-E)2P2(xn-E)2Pn方差標準差若服從幾何分布，則D=q/p2含義:反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度.

越小,穩(wěn)定性越高,波動越小.若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…4差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計算公式：2)計算公式：(2)若ξ~B（n,p）(3)若服從幾何分布則E=1/p(3)若服從幾何分布則D=q/p2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx15例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Dξ1=(8－9)2x0.2+(9－9)2x0.6+(10－9)2x0.2=0.4Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9Dξ2=(8－9)2x0.4+(9－9)2x0.2+(10－9)2x0.4=0.8由上知Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高所以選甲例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)61、已知隨機變量的分布列為-101P

=3+1E=

，D=

.E=

，D=

.1、已知隨機變量的分布列為-101P72、若隨機變量服從二項分布，且E=6，D=4,則此二項分布是

。設二項分布為~B(n,p),則E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/32、若隨機變量服從二項分布，設二項分布為~B(n,p)8例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個隨機變量的期望、方差與標準差例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/9例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個隨機變量的期望、方差與標準差變題:有n把看上去相同的鑰匙,其中只有一把能把大門的鎖打開,每把鑰匙試開后不能放回,求試開次數(shù)ξ的數(shù)學期望例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/10例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ。例2涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξ~B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算。解：ξ~B（200，1%）。因為Eξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取11例3設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4。關鍵還是掌握隨機變量的分布列

因為ξ所有可能取的值為0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p。則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)Dξ=是關于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結論。例3設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次12小結：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計算公式：2)計算公式：(2)若ξ~B（n,p）若服從幾何分布則E=1/p若服從幾何分布則D=q/p2小結：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx113隨著年歲的疊加，我們會漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因為昂頭的只是稗子，低頭的才是稻子；越是富有的人，越是高貴，因為真正的富裕是靈魂上的高貴以及精神世界的富足；越是優(yōu)秀的人，越是努力，因為優(yōu)秀從來不是與生俱來，從來不是一蹴而就。隨著滄桑的累積，我們也會慢慢懂得：成功的路，其實并不擁擠，因為能夠堅持到底的人實在太少；所有優(yōu)秀的人，其實就是活得很努力的人，所謂的勝利，其實最后就是自身價值觀的勝利。人到中年，突然間醒悟許多，總算明白：人生，只有將世間的路一一走遍，才能到盡頭；生活，只有將塵世況味種種嘗遍，才能熬出頭。這世間，從來沒有最好，只有更好。每天，總想要努力醒得比太陽還早，因為總覺得世間萬物，太陽是最能賜人力量和能量的。每當面對噴薄的日出，心中的太陽隨之冉冉騰起，生命之火熊熊燃燒，生活的熱情就會光芒四射。我真的難以想象，那些從來不早起的人，一生到底能夠看到幾回日升？那些從來沒有良好習慣的人，活到最后到底該是多么的遺憾與愧疚？曾國藩說：早晨不起，誤一天的事；幼時不學，誤一生的事。尼采也說：每一個不曾起舞的日子，都是對生命的辜負。光陰易逝，豈容我待？越是努力的人，越是沒有時間抱怨，越是沒有工夫頹喪。每當走在黎明的曙光里，看到那些兢兢業(yè)業(yè)清潔城市的“美容師”，我就會由衷地欣賞并在心底贊嘆他們，因為他們活得很努力很認真。每當看見那些奔跑在朝霞絢爛里的晨練者，我就會從心里為他們豎起大拇指，因為他們給自己力量的同時，也贈予他人能量。我總覺得：你可以不優(yōu)秀，但你必須有認真的態(tài)度；你可以不成功，但你必須努力。這個世界上，從來沒有誰比誰更優(yōu)秀，只有誰比誰更努力。我也始終認為：一個活得很努力的人，自帶光芒萬丈；一個人認真的樣子，比任何時候都要美好；一個能夠自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世間每一種的好，從來都只為懂得努力的人盛裝而來。有時候，我真的感覺，人生的另一個名字應該叫做努力，努力了就會無悔，努力了就會無愧；生活的另一種說法應該叫做煎熬，熬過了漫漫黑夜，天就亮了，熬過了蕭蕭冬日，春天就來了。人生不易，越努力越幸運；余生不長，越珍惜越精彩。人生，是一本太倉促的書，越認真越深刻；生命，是一條無名的河，越往前越深邃。愿你不要為已逝的年華嘆息，不要為前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的堅持總能奏響黎明的號角，所有的努力總能孕育碩果的盛駕光臨。愿你堅信越是成功的人越是不允許自己頹廢散漫，越是優(yōu)秀的人越是努力……生活中很多時候，我們遇到一些復雜的情況，會很容易被眼前的障礙所蒙蔽，找不到解決問題的方法。這時候，如果能從當前的環(huán)境脫離出來，從一個新角度去解決問題，也許就會柳暗花明。一個土豪，每次出門都擔心家中被盜，想買只狼狗栓門前護院，但又不想雇人喂狗浪費銀兩?？嗨剂季煤蠼K得一法：每次出門前把WiFi修改成無密碼，然后放心出門每次回來都能看到十幾個人捧著手機蹲在自家門口，從此無憂。護院，未必一定要養(yǎng)狗換個角度想問題，結果大不同。一位大爺?shù)讲耸袌鲑I菜，挑了3個西紅柿到到秤盤，攤主秤了下：“一斤半3塊7。”大爺：“做湯不用那么多?！比サ袅俗畲蟮奈骷t柿。攤主:“一斤二兩，3塊。”正當身邊人想提醒大爺注意秤時，大爺從容的掏出了七毛錢，拿起剛剛去掉的那個大的西紅柿，瀟灑地換種算法，獨辟蹊徑，你會發(fā)現(xiàn)解決問題的另一個方法。生活中，我們特別容易陷入非A即B的思維死角，但其實，遭遇兩難困境時換個角度思考，也許就會明白：路的旁邊還有路。一個魚塘新開張，釣費100塊。釣了一整天沒釣到魚，老板說凡是沒釣到的就送一只雞。很多人都去了，回來的時候每人拎著一只雞，大家都很高興！覺得老板很夠意思。后來，釣魚場看門大爺告訴大家，老板本來就是個養(yǎng)雞專業(yè)戶，這魚塘本來就沒魚。巧妙的去庫存，還讓顧客心甘情愿買單。新時代，做營銷，必須打破傳統(tǒng)思維。孩子不愿意做爸爸留的課外作業(yè)，于是爸爸靈機一動說：兒子，我來做作業(yè)，你來檢查如何？孩子高興的答應了，并且把爸爸的“作業(yè)”認真的檢查了一遍，還列出算式給爸爸講解了一遍不過他可能怎么也不明白為什么爸爸所有作業(yè)都做錯了。巧妙轉換角色，后退一步，有時候是另一種前進。一個博士群里有人提問：一滴水從很高很高的地方自由落體下來，砸到人會不會砸傷？或砸死？群里一下就熱鬧起來，各種公式，各種假設，各種阻力，重力，加速度的計算，足足討論了近一個小時后來，一個不小心進錯群的人默默問了一句：你們沒有淋過雨嗎人們常常容易被日常思維所禁錮，而忘卻了最簡單也是最直接的路有兩個年輕人，大學畢業(yè)后一起到廣州闖天下。隨著年歲的疊加，我們會漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因14隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差15若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…x1P1x2P2…xnPn++++…=若=a+b則E=a（E）+b則E=np若服從幾何分布，若~B(n,P)則E=1/p含義:隨機變量取值的平均水平若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…16例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9由上知Eξ1=Eξ2，標準:1射擊的平均水平------期望2射擊的穩(wěn)定性---------方差1射擊的平均水平------期望例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)17若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…若=a+b則D=a2D若~B(n,P)則D=npq(q=1-p)(x1-E)2P1…++++…=(x2-E)2P2(xn-E)2Pn方差標準差若服從幾何分布，則D=q/p2含義:反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度.

越小,穩(wěn)定性越高,波動越小.若離散型隨機變量的概率分布是x1x2…18差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計算公式：2)計算公式：(2)若ξ~B（n,p）(3)若服從幾何分布則E=1/p(3)若服從幾何分布則D=q/p2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx119例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Dξ1=(8－9)2x0.2+(9－9)2x0.6+(10－9)2x0.2=0.4Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9Dξ2=(8－9)2x0.4+(9－9)2x0.2+(10－9)2x0.4=0.8由上知Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高所以選甲例:甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)201、已知隨機變量的分布列為-101P

=3+1E=

，D=

.E=

，D=

.1、已知隨機變量的分布列為-101P212、若隨機變量服從二項分布，且E=6，D=4,則此二項分布是

。設二項分布為~B(n,p),則E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/32、若隨機變量服從二項分布，設二項分布為~B(n,p)22例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個隨機變量的期望、方差與標準差例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/23例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個隨機變量的期望、方差與標準差變題:有n把看上去相同的鑰匙,其中只有一把能把大門的鎖打開,每把鑰匙試開后不能放回,求試開次數(shù)ξ的數(shù)學期望例：已知離散型隨機變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/24例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ。例2涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξ~B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算。解：ξ~B（200，1%）。因為Eξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取25例3設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4。關鍵還是掌握隨機變量的分布列

因為ξ所有可能取的值為0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p。則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)Dξ=是關于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結論。例3設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次26小結：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計算公式：2)計算公式：(2)若ξ~B（n,p）若服從幾何分布則E=1/p若服從幾何分布則D=q/p2小結：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx127隨著年歲的疊加，我們會漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因為昂頭的只是稗子，低頭的才是稻子；越是富有的人，越是高貴，因為真正的富裕是靈魂上的高貴以及精神世界的富足；越是優(yōu)秀的人，越是努力，因為優(yōu)秀從來不是與生俱來，從來不是一蹴而就。隨著滄桑的累積，我們也會慢慢懂得：成功的路，其實并不擁擠，因為能夠堅持到底的人實在太少；所有優(yōu)秀的人，其實就是活得很努力的人，所謂的勝利，其實最后就是自身價值觀的勝利。人到中年，突然間醒悟許多，總算明白：人生，只有將世間的路一一走遍，才能到盡頭；生活，只有將塵世況味種種嘗遍，才能熬出頭。這世間，從來沒有最好，只有更好。每天，總想要努力醒得比太陽還早，因為總覺得世間萬物，太陽是最能賜人力量和能量的。每當面對噴薄的日出，心中的太陽隨之冉冉騰起，生命之火熊熊燃燒，生活的熱情就會光芒四射。我真的難以想象，那些從來不早起的人，一生到底能夠看到幾回日升？那些從來沒有良好習慣的人，活到最后到底該是多么的遺憾與愧疚？曾國藩說：早晨不起，誤一天的事；幼時不學，誤一生的事。尼采也說：每一個不曾起舞的日子，都是對生命的辜負。光陰易逝，豈容我待？越是努力的人，越是沒有時間抱怨，越是沒有工夫頹喪。每當走在黎明的曙光里，看到那些兢兢業(yè)業(yè)清潔城市的“美容師”，我就會由衷地欣賞并在心底贊嘆他們，因為他們活得很努力很認真。每當看見那些奔跑在朝霞絢爛里的晨練者，我就會從心里為他們豎起大拇指，因為他們給自己力量的同時，也贈予他人能量。我總覺得：你可以不優(yōu)秀，但你必須有認真的態(tài)度；你可以不成功，但你必須努力。這個世界上，從來沒有誰比誰更優(yōu)秀，只有誰比誰更努力。我也始終認為：一個活得很努力的人，自帶光芒萬丈；一個人認真的樣子，比任何時候都要美好；一個能夠自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世間每一種的好，從來都只為懂得努力的人盛裝而來。有時候，我真的感覺，人生的另一個名字應該叫做努力，努力了就會無悔，努力了就會無愧；生活的另一種說法應該叫做煎熬，熬過了漫漫黑夜，天就亮了，熬過了蕭蕭冬日，春天就來了。人生不易，越努力越幸運；余生不長，越珍惜越精彩。人生，是一本太倉促的書，越認真越深刻；生命，是一條無名的河，越往前越深邃。愿你不