2022年中考數(shù)學(xué)壓軸大題押題附答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題.如圖1,在△48C中，NACB為銳角,點(diǎn)。為射線8c上一點(diǎn)，連接NO,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(1)如果 ZBAC=90°,①當(dāng)點(diǎn)O在線段8c上時(shí)(與點(diǎn)8不重合)，如圖2,線段CG8。所在直線的位置關(guān)系為「宜，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為②當(dāng)點(diǎn)O在線段8c的延長線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(2)如果/BWAC,N5/1C是銳角，點(diǎn)。在線段8c上，當(dāng)N/C8滿足什么條件時(shí)，CFJL8C(點(diǎn)C、尸不重合)，并說明理由.證明：（1）①正方形4CE/中，AD=AF,?：NBAC=NDAF=9Q°,:.NBAD=NCAF,y.,：AB^AC,:.△DABEdFAC,:.CF=BD,NB=NACF,：.ZACB+ZACF=90Q,BPCFLBD.②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ZOE尸得｛。=｛尸，ND4F=90度.VZ5/4C=90°,...ZDAF=NBAC,:.NDAB=NE4C,又,：AB=AC,：.4DAB"4FAC,

：.CF=BD,NACF=NABD.90°,AB=AC,：.ZABC=45°,/.Z/4CF=45",...NBCF=NACB+NACF=90度.即CFA.BD.（2）當(dāng)NZC8=45°時(shí)，CFLBD（如圖）.理由：過點(diǎn)4作/G_LZC交C8的延長線于點(diǎn)G,則/G4C=90°,；//C8=45°,4GC=90°-ZACB,：.ZJGC=90°-45°=45°,/.ZACB=ZAGC=45°,：.AC=AG,,.?/D4G=/用。（同角的余角相等），AD=AF,：.4GAD94CAF,：.ZACF=ZAGC=45°,NBCF=NACB+NACF=45"+45°=90°,BPCF±BC.2.如圖，。。的2.如圖，。。的直徑48=26,P是上(不與點(diǎn)4、8重合)的任一點(diǎn),上的兩點(diǎn)，若NAPD=NBPC,則稱NCPD為直徑48的“回旋角(1)若NBPC=NDPC=60°,則NCPO是直徑Z8的"回旋角”嗎？13(2)若麗的長為”，求“回旋角”NCPO的度數(shù)；(3)若直徑48的“回旋角”為120°,且△PC。的周長為24+1375,長.點(diǎn)C、。為。。并說明理由；直接寫出4P的解：NCPD是直徑48的“回旋角”，理由：VZCPD=Z5PC=60°,-60°=60°,，N4PD=180°-Z.CPD-ZSPC=180°-60°=60°,:.NBPC=NAPD,：.NCPD是直徑AB的“回旋角”；(2)如圖1,,.18=26,:.OC^OD=OA=\3,設(shè)NCW="°,13?麗的長為不，.7UTX1313 = 7T,180 4???〃=45,：.ZCOD=45°,作CE_L4B交。。于E,連接PE,:?/BPC=NOPE,?：NCPD為直徑AB的“回旋角”,：./APD=NBPC,：?/OPE=/APD,VZJPD+ZCPD+ZBPC=180°,???NOPE+NC尸。+N5PC=180°,:?點(diǎn)、D,P,E三點(diǎn)共線,/.ZCED=|ZCOD=22.5°,：.ZOPE=90°-22.5°=67.5°,:?/APD=NBPC=67.5°,：.ZCPD=45°,即：“回旋角”NCPO的度數(shù)為45°,（3）①當(dāng)點(diǎn)尸在半徑。1上時(shí)，如圖2,過點(diǎn)C作C凡LZ8交。。于尸，連接尸況:.PF=PC,同（2）的方法得，點(diǎn)D,P,廠在同一條直線上，?直徑43的“回旋角''為120°,：.ZAPD=ZBPC=30°,.,.ZCPF=60°,APCF是等邊三角形，:.NCFD=60°,連接OC,OD,：.ZCOD=\20°,過點(diǎn)。作OG_LC。于G,1:?CD=2DG,ZDOG=W/COD=60。,/.DG=ODsinADOG=13Xsin60°=ACD=13V3,VAPCZ）的周長為24+138，???PO+PC=24,■:PC=PF,:?PD+PF=DF=24,過。作OH上DF于H,???DH=*DF=12,在RtZ\O〃Q中，OH=、OD2-DH2=5,在RtZ\O〃尸中，NOPH=30°,：.OP=\0,：.AP=OA-。尸=3；②當(dāng)點(diǎn)P在半徑OB上時(shí)，同①的方法得，BP=3,：.AP=AB-BP=23,

即：滿足條件的4尸的長為3或23.3.如圖，在RtZXZBC中，ZJCB=90°,以斜邊N8上的中線CO為直徑作。O,與BC交于點(diǎn)M,與43的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過M作垂足為M(1)求證：MN是。。的切線；(2)若的直徑為5,sinB=S，求E。的長.【解答】（1）證明：連接。Vf,如圖1,?：OC=OM,：?4OCM=4OMC,在RtZ\X8C中，CQ是斜邊上的中線,：?CD=%B=BD,:"DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：?OM〃BD,■:MN工BD,,.?0M過O,是。。的切線;（2）解：連接。M,CE, 國2是。。的直徑，/.ZC￡D=90°,NDMC=90°,即。A/_L8C,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,.?.A/為8c的中點(diǎn)，3VsinB=引. 4..cosB=耳,在RtZ^BA/Q中，BM=BDsB=4,:?BC=2BM=8,42在RtAC￡15中，BE=BC?cosB=拳32 7：.ED=BE-BD=苦-5=4.已知/MPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)兒B,。。的半徑為八（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)Z,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N/1C8的度數(shù)；（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形4PBe為菱形，N4P8的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含，的式子表示）.

圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接04,OB,圖1'：PA,尸8為。。的切線，:.NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO^ZPBO+ZAOB=360°,???NZP8+N4O6=180°,VZJP5=80°,???408=100°,ZACB=50°；(2)如圖2,當(dāng)乙4尸8=60°時(shí)，四邊形彳尸8。是菱形,連接。Z,OB,圖2由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,???/力尸8=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=/APB,?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，.??PC經(jīng)過圓心，■：PA,P8為。。的切線，：.PA=PB,NAPC=NBPC=3Q°,又,：PC=PC,:AAPCq4BPCCSAS）,：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.^APC=ZACP^30°,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,二四邊形AP8C是菱形；;。。的半徑為r,：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-//尸。=60°,.?.油的長度=6哈筋=介，ioUJ，陰影部分的周長=總+尸。+而=倔+/+察=（V3+l+^）r..如圖，以為。。的切線，PBC為。。的割線，4DL0P于點(diǎn)D,△4力C的外接圓與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為￡證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD.'：OA±AP,AD±OP,，由射影定理可得：PA2=PD-PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割線定理可得P/=PB-PC,:.PB?PC=PD?PO,:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…(10分):?/PDB=/PCO=/OBC=/ODC,/PBD=/COD,：?APBDsRCOD,PDBD...(15^-):.BD-CD=PD-OD=AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+9Q°=NODC+90°=ZADC,:.△BDAs^ADC,:.NBAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圓的切線，：.NBAE=NACB..如圖，點(diǎn)4為y軸正半軸上?點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，過點(diǎn)4任作直線交拋物線y=|x2于尸，0兩點(diǎn).(1)求證：NABP=NABQ；(2)若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,1),且NP8Q=60°,試求所有滿足條件的直線P。的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)尸，。作y軸的垂線，垂足分別為GD.設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,t）,則點(diǎn)5的坐標(biāo)為（0,-t）.設(shè)直線尸。的函數(shù)解析式為并設(shè)尸，0的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（x。，由y=kx+ty=1x2,2?得石/—kx—t=0,于是%p%q=—1t,即t=—1xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2BC yp+￡ /2+t ^xp2—-Xp(xp-XQ) xP=- =2 —2 2 —2 =——BD y(?+t jXQ2+t -XQ2--XpXQ §XQ(XQ—Xp) Xq—e,PC xn?，BC PC又因?yàn)橐?所以一=—.QD xQBD QD因?yàn)镹8CP=N8￡>2=90°,所以ABCPs^BDQ,故尸=N4B0；（2）解：設(shè)PC=a,DQ=b,不妨設(shè)a》b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=片,所以AC=Ha-2,AD=2-V3Z）.因?yàn)镻C〃OQ,所以△ZCPs/\/O0.工f，PCACSl,