基于直觀想象素養(yǎng)下的高中數學教學實踐與思考-以指數函數的圖象與性質為例

基于直觀想象素養(yǎng)下的高中數學教學實踐與思考-以“指數函數的圖象與性質”為例

Summary：《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀對高中生明確指出需要加強六大核心學科素養(yǎng)的培養(yǎng)——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。對于高一新生而言，數學無疑是復雜而抽象的。單純地講某一方面的學科素養(yǎng)的培養(yǎng)只會讓學生顯得枯燥無味，筆者希望通過學生易于操作的學習方式來引導啟發(fā)學生思考，潛移默化下加強學生的六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者發(fā)現(xiàn)，直觀想象在數學學科核心素養(yǎng)體系中具有重要的地位，它與其他數學學科核心素養(yǎng)密不可分，在實際教學中，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，在新的教育局勢下，基于學科核心素養(yǎng)培育的教學實踐對學生個體未來的可持續(xù)發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義，筆者將以“指數函數的圖象與性質”為例，以“直觀想象”能力素養(yǎng)作為主要對象，由點及面，最終全面落實數學核心素養(yǎng)，分享筆者在教學中的實踐與思考。Keys：直觀想象；核心素養(yǎng)；指數函數；教學實踐1.教學設計1.1教學內容解析本節(jié)選自人教A版高中數學必修第一冊第四章4.2.2指數函數的圖象與性質一節(jié)，該節(jié)課是在前面已經學習了冪函數的概念、圖象與性質的基礎上，通過直觀感知、類比觀察、操作確認、推理論證進行學習，促進學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模等素養(yǎng)的發(fā)展。教學重點：會畫指數函數的圖象、得出指數函數的性質。1.2教學目標解析1)學生能夠通過類比冪函數的研究過程，按照“概念——圖象——性質”的方向進行研究。落實邏輯推理素養(yǎng)；2)學生能運用描點法畫出具體指數函數的圖象；用圖象來研究指數函數的性質，落實直觀想象及數學抽象素養(yǎng)；3)學生能夠結合實例，體會從特殊到一般的研究問題的方法，體會學習數學的整體性。4)學生能夠利用指數函數的單調性解決數比較大小關系，落實數學運算素養(yǎng)；5)學生能夠通過數形結合，通過應用指數函數圖象解決實際問題，進一步由圖象理解指數函數的概念和性質，落實數學建模素養(yǎng)。1.3學生學情分析高一的學生已經經歷了函數的概念、性質的學習，以及冪函數的概念、圖象、性質的學習，學生有了一定的類比模仿能力，能夠自主通過列表、描點、連線畫圖，有一定的自主探究學習能力，所以本節(jié)課的學習主要采取小組合作探究的方式進行學習，但學生類比學習的經驗不夠豐富，較難主動從直觀圖形中提出問題的意識和能力，觀察也不夠全面，思維也不夠縝密，因此指數函數的圖象及性質的探索需要學生的合作與老師的適當引導。教學難點：指數函數性質的歸納及應用。突破難點的手段：教師需要在教學過程中善于發(fā)現(xiàn)學生的興奮點，從學生會畫的圖象出發(fā)，以問題導向，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，積極評價，不斷鼓勵他們說出觀察到的知識點，借助幾何直觀與動態(tài)演示，從學生已有的認知水平與基礎入手，在以學生學習為主體的前提下加以適當的引導。1.4教學實踐過程設計1)回歸舊知：指數函數的概念：一般的，函數叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域為R2)創(chuàng)設問題情境我們接下來要研究什么？你能類比冪函數的研究過程說一下研究函數的一般步驟和方法嗎？答：函數概念——函數圖象——函數性質”?！驹O計意圖】通過引導學生回顧以往研究函數圖象和性質的內容和方法，提出研究指數函數的圖像和性質的研究內容和研究方法，為接下來其他函數的學習奠定類比數學思想方法。3)課堂探索新知【小組合作探究一】：指數函數的圖象問題1：請用描點法畫出問題2：觀察右圖中的圖象，它們有什么關系？能否利用函數的圖象，畫出的圖象？結論：1.圖象關于y軸對稱；作函數的圖象關于y軸對稱所得的圖象為的圖象底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱?！驹O計意圖】學生擁有一定的自主作圖能力，但缺乏探索的思路，以問題導向的方式指引學生通過特殊指數函數的圖象，觀察并歸納出指數函數圖象的特點，從特殊圖象歸納出底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱，并進行嚴謹的數學證明，因為點（x，y）與點（-x，y）關于y軸對稱，所以函數上任意一點關于軸對稱的點都在函數的圖象上，根據這種對稱性，就可以利用一個函數的圖象，畫出另一個函數的圖象，比如利用函數的圖象，作關于軸對稱即可畫出的圖象。使學生體驗從特殊到一般的數學思想，感受學習數學的嚴謹性與整體性，發(fā)展學生直觀想象與邏輯推理能力?！拘〗M合作探究二】：指數函數的性質問題3：我們要研究指數函數的性質，能否直接由上面的兩種特殊的指數函數的圖象來直接歸納指數函數的圖象？答案：不能，特殊性不能推出一般性，但是可以通過特殊的實例來猜想指數函數的一般性質。問題4：探索指數函數的性質，我們需要借助幾何畫板來畫出指數函數的圖象，請同學們觀察的取值的不同，它所對應的圖象的形狀是什么樣子的？可分為幾類？學生通過直觀觀察可以看到指數函數的圖形大致可分為兩類，一類是單調遞增且的取值是在的時候，一類是單調遞減且是在的時候。由此可初步讓學生先直觀畫出畫出兩類指數函數圖象。追問：（1）當時，指數函數的圖象位置、公共點、變化趨勢、定義域、值域和單調性如何？當時，指數函數的情況又如何？比較與指數函數的圖象和性質，看看它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？將探索的結果填入下表?！驹O計意圖】學生通過觀察幾何畫板所畫的圖，隨著的不同取值，直觀地比較不同指數函數的圖象，歸納它們的共同特征，并數形結合地抽象出指數函數的性質。發(fā)展學生數學抽象、數學建模和邏輯推理核心素養(yǎng)?！拘〗M合作探究三】：指數函數的性質應用例1：比較下列各題中兩個值的大小.；(2)；(3)學生小組進行討論，部分學生能很快觀察到(1)中兩個數的共同特點是同底不同指，由于有先前冪函數中利用單調性比較大小關系的做題前提，部分學生很快就能通過類比分析得出的結果，但是學生的解題格式還不夠嚴謹，在引發(fā)學生分析結束后，老師需要給予例題示范過程，加強做數學的嚴謹性與邏輯性，隨之再由學生完成(2)題，而對于（3），學生會發(fā)現(xiàn)沒辦法直接用指數函數的單調性直接判斷，需要老師引導學生通過直觀畫圖。分別畫出兩個圖象，并在圖象上分別標出自變量為0.3和3.1時所對應的兩個函數值和的位置，引導學生直觀觀察這兩個數的大小關系，并從圖象的角度提煉出可以利用函數y=和y=的單調性，以及“當時，”這條性質把它們的大小關系聯(lián)系起來。從而得出判斷不同底不同指的兩個數的方法?！驹O計意圖】此環(huán)節(jié)是學生學習了指數函數性質后的第一次對性質的應用，為了加強學生的自主探究性，需要給足學生思考的空間，并鼓勵引導學生學會分析，并且加強對數學嚴謹性和邏輯性的培養(yǎng)，通過具體圖象直觀深刻掌握用構造函數法解決同底不同指的兩個數比較大小及用搭橋比較法解決不同底不同指的兩個數比較大小。進一步深化指數函數的單調性的應用。練習：比較下列各題中兩個值的大小（2）（3）【設計意圖】促進學生對函數單調性的認識，并學會辨析在比較兩個數的大小中是選用指數函數的單調性還是冪函數的單調性進行判斷。從而拓寬比較兩個數大小關系的知識體系與方法。例2：如圖4.2-7.某城市人口呈指數增長.（1）根據圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）；（2）該城市人口從80萬人開始，經過20年會增長到多少萬人?分析：（1）因為該城市人口呈指數增長，而同指數函數的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當的點計算倍增期.（2）要計算20年后的人口數，關鍵是要找到20年與倍增期的數量關系.解：（1）觀察圖4.2-7.發(fā)現(xiàn)該城市人口經過20年約為10萬人，經過40年約為20萬人，即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，所以該城市人口每翻一-番所需的時間約為20年.（2）因為倍增期為20年，所以每經過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經過20年，該城市人口大約會增長到160萬人.【設計意圖】例2是針對指數函數的實際應用題，體現(xiàn)了指數函數與實際生活緊密結合的特點，體驗數學來自于生活，又服務于生活。使學生學習“有用的數學”。4)課后小組深化合作探究活動問題1：底數大小問題的探究老師將幾何畫板的具體操作教會學生，讓學生借助幾何畫板，在同一坐標系下畫出的圖象，并觀察指數函數的圖象與底數的關系？并歸納出指數函數的底數大小如何根據圖象判斷？結論：當時，隨著的增大，的圖象越靠近軸。當時，隨著的減少，的圖象越靠近軸。練習：已知的圖象如右圖所示，請將按照從小到大排序_____________________問題2：平移問題通過幾何畫板演示，觀察如何由的圖象快速畫出及的圖象？結論：向右（左）平移的單位可得到的圖象；向上（下）平移的單位可得到的圖象；練習：下列哪個是的圖象（）問題3：定點問題的探究已知函數過定點，則過什么定點？結論：只需令底數的指數為0，即可得到定點，即過定點練習：函數的圖象恒過定點（）B.C.D.【設計意圖】通過設置課后探究活動，借助幾何畫板等現(xiàn)代媒體技術，提高學生課后探究的自主性，延伸課堂知識，使學生的學習平臺不僅僅局限于課堂，更進一步加深學生對指數函數性質的理解與應用。更深層次提升學生的直觀想象素養(yǎng)，從而更進一步提升學生的數學抽象、邏輯推理與數學運算核心素養(yǎng)。2.教學實踐思考基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學設計與實踐，以適合學生自主探究的環(huán)節(jié)，以問題層層導入的方式啟發(fā)引導學生獨立思考，通過類比分析，經歷從特殊到一般、從直觀到抽象的思維過程，學生們充分參與到知識的形成過程中，學習效果顯著，學習積極性增強，真正實現(xiàn)以培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)，并以此帶動學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)的培育。2.1教學目標導向明確，指向核心素養(yǎng)的培養(yǎng)教學目標明確清晰，為教師的教和學生的學提供了清晰的方向指引，既重視了數學知識與技能的落實，又強調了數學思想方法的滲透以及落實學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，符合新課程標準學科核心素養(yǎng)的育人價值。2.2問題導學指向明確，豐富學生活動經驗整一節(jié)課的每個環(huán)節(jié)都是通過問題引領的方式，一步步指引學生有梯度地對每一知識點進行自主探究，結合學生的“數學現(xiàn)實”，根據他們已有的數學活動經驗，合理設置問題導入情境，設計探究環(huán)節(jié)，注重指數函數的圖象及性質的歸納的思維過程的引導，不斷豐富學生的活動經驗。2.3教學內容設計有效，注重思維過程的形成教師在鉆研教材的時候，需要對教材做合理的處理，知識的產生過程需要順其自然，也就是每一個環(huán)節(jié)都需要順理成章，不能生搬硬套。學生學習過程過渡自然，才能對所學的知識更加深刻。比如在本節(jié)課的學習中，需要畫出指數函數的圖象，學生是先畫出了兩種特殊函數的圖象，學生更容易從圖象上直觀觀察到這兩個函數是關于軸對稱的，而并非觀察到一般指數函數的圖象變化趨勢，因此，在活動探究一最終指向的知識內容是底數互為倒數的兩個指數函數圖象關于軸對稱這一思維過程的產生。隨后再通過幾何畫板對的不同取值進行圖象的動畫演示，學生才能直觀觀察到指數函數的圖象變化趨勢分為兩類。進一步順理成章得出指數函數的一般圖象及相關性質。教師就應該基于教材，設計“思維過程的教學”，以恰時、恰點的問題引導學生的思維活動，努力使學生經歷完整的“獲得具體對象的圖象特征——指數函數的一般圖象——研究性質——應用拓展”過程，在這個過程不斷培養(yǎng)學生的數學思維能力，進一步提升數學核心素養(yǎng)。2.4借助直觀手段提煉課后研究課題，延伸知識獲取平臺課堂的時間是有限的，但是知識的學習是無止境的，如果學生獲取知識的平臺只局限于課堂與老師的教與學，學生的數學思維能力與核心素養(yǎng)不能很好地得到進一步提升。教師需要在課堂的學習內容之中提煉研究課題，借助多媒體等直觀手段，讓學生利用課后以小組合作的形式完成課題的探究，深化課堂知識的理解，使學生知識的獲取平臺更加多樣化。更進一步地提升學生的思維能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者覺得基于直觀想象能夠改變原有事物的抽象狀態(tài)，使之具體化、形象化，使學生在進行數學的學習中不再只是面臨著復雜的數學符號，而是通過簡單直觀的圖形，加強了數學問題的可視化程度，并且也可以通過直觀想象推動數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析素養(yǎng)的培養(yǎng)。所以筆者會繼續(xù)鉆研教材，將直觀想象落到實處，促進學生數學核心素養(yǎng)的提升。[本文是廣州市教育科學規(guī)劃2019年度課題“直觀想象素養(yǎng)下的高中數學教學實踐研究”（課題編號:201912008）階段性研究成果。]【Reference】史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準(2017年版)解讀[