導數的綜合運用（精練） 新高考 數學一輪復習專項 提升精講精練 （含答案解析）

4.5導數的綜合運用（精練）（提升版）題組一題組一零點個數1．（2022·山東·煙臺二中）已知函數．(1)討論的零點個數．(2)若有兩個不同的零點，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】(1)因為，所以1不是的零點．當，可變形為，令，則的零點個數即直線與圖象的交點個數．因為，，得，又，所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為，且當時，，所以當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，有兩個零點．(2)證明：由（1）知，當時，有兩個零點．設，則，由得，所以，即．令，則，易得在上單調遞減，在上單調遞增．要證，即證．因為，且在上單調遞增，所以只需證．因為，所以即證．令，則，所以在上單調遞減．因為，所以．因為，所以，故．2．（2022·河南·長葛市）已知函數，．(1)當a＝2時，求曲線在處的切線方程；(2)討論關于x的方程的實根個數．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【解析】(1)當a＝2時，，，則切線的斜率為，又，所以曲線在處的切線方程是，即．(2)即為，化簡得，令，則，令，則，令，得．當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減．①當時，，即，所以在R上單調遞減．又，所以有唯一零點0；②當時，，，所以存在，，又，令，，所以在上單調遞減，，即，所以存在，，xnm－0＋－單調遞減單調遞增單調遞減則，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由單調性可知，此時有且僅有三個零點0，，．綜上，當時，有唯一零點，方程有唯一的實根；當時，有且僅有三個零點，方程有3個實根．3．（2022·天津·二模）設函數為的導函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)討論零點的個數；(3)若有兩個極值點且，證明：.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．(2)答案見解析(3)證明見解析【解析】(1)解：因為，所以．

即，，則．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為．(2)解：由（1）得，．當時，，則在上無零點．當時，，則在上有一個零點．當時，，因為，，，所以，，，故在上有兩個零點．綜上，當時，在上無零點；當時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點．(3)證明：由（2）及有兩個極值點，且，可得，在上有兩個零點，且．所以，

兩式相減得，即．因為，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調遞增，所以，故．又，所以，故．題組二題組二已知零點個數求參1．（2022·河南濮陽·一模（文））已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)已知且關于x的方程只有一個實數解，求t的值．【答案】(1)當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．(2)2【解析】(1)的定義域為，，當時，，則函數在上單調遞增．當時，令，解得當時，，則在上單調遞減；當，，則在上單調遞增．(2)關于x的方程只有一個實數解，即只有唯一正實數解．設，則，令，，因為，，解得（舍去），，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增，所以的最小值為．要使得方程只有唯一實數解，若，則，即，得，因為，所以．設，恒成立，故在上單調遞減，至多有一解．又因為，所以，即，解得．若，由上得，，又，，，，令，在上，單增，故，即，故，即在各存在一個零點，不合題意.綜上：.2．（2022·山東日照·三模）已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)當時，討論的零點個數．【答案】(1)單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是(2)答案見解析【解析】(1)當時，，則，當時,恒成立，所以當時，單調遞減；當時單調遞增，即的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是．(2)由題意，函數，設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，又由，所以，令，可得，所以，其中，令，可得，令，則，可得時，單調遞減；時，單調遞增；所以，即時，恒成立；故時，單調遞減；時，單調遞增；所以﹐又由時，，當時，，函數的圖象，如圖所示，結合圖象可得：當時，無零點；當或時，一個零點；當時，兩個零點．3．（2022·四川成都·模擬預測（理））已知(1)當時，求的單調性；(2)討論的零點個數．【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增；(2)當，0個零點；當或，1個零點；，2個零點【解析】，求出函數的導函數，即可得到函數的單調性，從而得到函數的圖象，數形結合即可得解；(1)因為，，所以，令，，所以在單增，且，當時，當時，所以當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增(2)解：因為令，易知在上單調遞增，且，故的零點轉化為即，當時無解，當時，令，，，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞增，所以的大致圖象如下：①當即時，與沒有交點，故函數有0個零點；②當或即或時，與有個交點，故函數有1個零點；③當即時，與有個交點，故函數有2個零點；綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；題組三題組三不等式恒（能）成立1（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知函數.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若當時，恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)因為，所以又，所以切線方程為，即(2)由知，因為所以，當時，，當時，，當時，構造函數，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故時，，因此當，單調遞減，當時，，單調遞增，故時，，因此綜上：2（2022·江西）函數的圖像與直線相切.(1)求實數a的值；(2)當時，，求實數m的取值范圍.【答案】(1)1；(2).【解析】(1)，設切點為，所以有，因為是切線，所以有，設，顯然當時，單調遞增，所以有，當時，，所以無實數根，因此當時，方程有唯一實數根，即，于是有，因此有；(2)令，則在恒成立.若，即時，當時，由得，所以在單調遞增，又，所以在恒成立；當時，所以.所以在恒成立.若即時，，則存在，使得在單調遞減，則當時，矛盾，舍綜上所述，的取值范圍時.3（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知函數，函數．(1)求函數的單調區(qū)間．(2)時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2).【解析】(1)解：，令，則，當且僅當，時等號成立，∴在上單調遞增，即在上單調遞增．∵，∴時，，時，，∴的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．(2)解：時，恒成立，，，，時，，∴在上單調遞增，∵，若，時，，∴在上單調遞增，∴時，，∴在上單調遞增，∴時，恒成立；若，∵，∴，∴，，，∴在有唯一解，設為，且，當時，，∴在上單調遞減，∴時，，∴在上單調遞減，∴與恒成立矛盾，舍去．綜上，實數的取值范圍是．4．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知函數（，且）(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若對、，使恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)【解析】(1)的定義域為,（，且）顯見，.①當時，，.若，則，，得.于是，.若，則，，得，于是，∴當時，,即在上單調遞增②當時，，若，則，，得.于是，若，則，，得，于是，∴當時，.即在上單調遞減綜上得，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)對、，使恒成立，即對，成立.由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，得為和中的較大者.，，設，（僅當時取等號）.∴在上單調遞增，在上也單調遞增.注意到∴當時，，；當時，①當時，即，得②當時，即（*）設，在上單調遞增.∴當時，.不等式（*）無解綜上所述，對、，使恒成立時，的取值范圍為5．（2022·北京八十中模擬預測）已知函數.(1)當時，求函數在處的切線方程；(2)求函數的單調區(qū)間；(3)若對任意，都有成立，求實數a的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)【解析】（1）由題設，且，則，所以，，故在處的切線方程為.(2)由且，當時，即在定義域上遞減；當時，在上，遞減，在上，遞增，綜上，時遞減；時在上遞減，上遞增.(3)由（2），時遞減且值域為，顯然存在；時，的極小值為，當，即時，在上遞減，上遞增，只需，可得；當，即時，在上遞增，則恒成立，滿足題設；綜上，a的取值范圍為.6．（2022·海南?？凇ざ＃┮阎瘮担?1)若，求的最小值；(2)若當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)1(2)【解析】(1)當時，，所以，易知單調遞增，且，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為．(2)設，由題意對任意恒成立．，若，則，則存在，使得當時，，所以在上單調遞減，故當時，，不符合題意．若，由知當時，，所以，當時，，因此在上單調遞增．又，所以當時，．綜上，的取值范圍是．7．（2022·山東煙臺·三模）已知函數（）.(1)證明：當時，函數存在唯一的極值點；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)函數的定義域為，.令，，則，因為，所以，，當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增，由.又當時，，所以，存在唯一的，使得，當時，，即，所以函數在上單調遞減，當時，，即，所以函數在上單調遞增.所以函數存在唯一的極值點.(2)不等式恒成立，即在上恒成立.令，，所以，所以在上單調遞增，又，則時有.所以，當時，恒成立，即，則有.令，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則在時取得最小值則（當且僅當時取等號）.令，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則在時取得最小值則（當且僅當時取等號）.因為，當時，，（當且僅當時取等號）.令，當時，，所以即在上單調遞增，且，，所以，使，即，即，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，.所以，的取值范圍為.8．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））已知函數，.(1)求函數的單調遞增區(qū)間；(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)定義域為，即解得所以在單調遞增(2)對任意，不等式恒成立，即恒成立，分離參數得.令，則．當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以，即，故a的取值范圍是.題組四題組四證明不等式1．（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數，．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若方程的根為、，且，求證：．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；(2)證明見解析【解析】(1)解：因為，，所以定義域為，，所以在上單調遞減，即的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；(2)證明：，，當時，當時所以在上是單調遞減，在上單調遞增，則，當時，，所以，且，當時，，所以，即，設直線與的交點的橫坐標為，則，下面證明當時，，設，，則，當時，，當時，，所以在上是減函數，在上增函數，又因為，，所以當時，，，故當時，，設直線與的交點的橫坐標為，則，所以，得證．2．（2022·山東·模擬預測）已知函數，其中.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)當時，①證明：；②方程有兩個實根，且，求證：.【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為(2)①證明見解析；②證明見解析【解析】(1)解：函數的定義域為，函數的導數，解得，所以當時，此時，函數單調遞減區(qū)間為，所以當時，此時，函數單調遞增區(qū)間為，所以函數單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.(2)當時，①要證不等式成立，即證明成立.即證明成立.令當時，此時，當時，此時，所以在單調遞減，在單調遞增所以最小值為，恒成立，即恒成立得證.②由①得恒成立，即直線始終在曲線下方或有唯一切點，又結合（1）可知單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，所以當時取最小值，且當時，；當時，；當時，.所以方程有兩個實根，則，且.由直線與聯立解得交點的橫坐標，顯然因此，要證，只要證即可即證，即證即可又因為，所以只要證令恒成立所以在單調遞增，即所以得證，原命題得證.3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．(1)求的最小值，并證明方程有三個不等實根；(2)設(1)中方程的三根分別為，，且，證明：．【答案】(1)最小值為，證明見解析；(2)證明見解析．【解析】(1)∵，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故的最小值為．設，則方程變形為f(m)=m，即f(m)-m=0，令，，則，由得．因此，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．由于，故，又由，由零點存在定理，存在，使得，∴有兩個零點1和，方程f(m)=m有兩個根和，則如圖，時，因為，故方程有一個根，下面考慮解的個數，其中，設，結合的單調性可得：在上為減函數，在上為增函數，而，，，故在上有且只有一個零點，，設，故，故即，而，故在上有且只有一個零點，故有兩個不同的根、且，即方程共有三個不等實根；(2)由(1)知，且滿足，，令，，則，令，則．當時，，單調遞減，又∵，∴當時，，，單調遞減，∵，∴，即．∵，∴，又∵，∴．∵，，而在單調遞減，∴．即，故，原命題得證．4．（2022·湖南·長沙一中一模）已知函數．（）在處的切線l方程為．(1)求a，b，并證明函數的圖象總在切線l的上方（除切點外）；(2)若方程有兩個實數根，．且．證明：．【答案】(1)；證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)解：將代入切線方程，有，所以，所以，又，所以，若，則，與予盾，故，．∴，，，設在處的切線方程為，令，即，所以，當時，，當時，設，，故函數在上單調遞增，又，所以當時，，當時，，綜合得函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，故，即函數的圖象總在切線的上方（除切點外）．(2)解：由（1）知，設的根為，則，又函數單調遞減，故，故，設在處的切線方程為，因為，，所以，所以．令，，當時，，當時，設，則，故函數在上單調遞增，又，所以當時，，當時，，綜合得函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即．設的根為，則，又函數單調遞增，故，故，又，所以．5．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數（，e為自然對數的底數）．(1)求函數的極值；(2)若方程在區(qū)間內有兩個不相等的實數根，證明：．【答案】(1)見解析(2)證