整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件

整體分析

及總體剛度矩陣的性質(zhì)整體分析

及總體剛度矩陣的性質(zhì)1整體分析

圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)1、4、6共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點(diǎn)載荷。整體分析的四個(gè)步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。

單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃嚕旅?，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)12整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件3整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件4整體分析

1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和12個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。整體分析1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)5整體分析

2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。

建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn)1、4、6的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零：建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。3、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。6整體剛度矩陣的形式

整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞?、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單元?jiǎng)傟囍?，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，單元e在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力（由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷Ri，

12i

3412i

Ri34整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：12i348整體剛度矩陣的形式2、整體剛度矩陣的集成方法具體集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃?，然后將其中的每個(gè)子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。整體剛度矩陣的形式2、整體剛度矩陣的集成方法9整體剛度矩陣的形式

結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍?，把?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。整體剛度矩陣的形式結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各10整體剛度矩陣的形式

以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)于總碼5,2,4，因此子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣為：而相應(yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋ɑ蚬?jié)點(diǎn)力表達(dá)式）：整體剛度矩陣的形式以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)11整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠?據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：整理可得，整體平衡方程：整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠?2整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：

1）其中[K]為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：A、將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣。B、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。2）為節(jié)點(diǎn)載荷向量，為節(jié)點(diǎn)位移向量。整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：13整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件142.整體剛度矩陣的特點(diǎn)

在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。1、對(duì)稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。2.整體剛度矩陣的特點(diǎn)15整體剛度矩陣的特點(diǎn)

2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。節(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。節(jié)點(diǎn)5只與周圍的16整體剛度矩陣的特點(diǎn)

2、稀疏性。

一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過九個(gè)，如果網(wǎng)格中有200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。利用矩陣[K]的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)17整體剛度矩陣的特點(diǎn)

3、帶形分布規(guī)律。上圖中，矩陣[K]的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中(包括對(duì)角線元素在內(nèi))，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：半帶寬d=(相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)*2上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4，故d=(4+1)*2=10利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。

整體剛度矩陣的特點(diǎn)3、帶形分布規(guī)律。18整體剛度矩陣的特點(diǎn)

圖(a)中的矩陣[K]為n行n列矩陣，半帶寬為d。半帶存貯時(shí)從[K]中取出上半帶元素，按圖(b)中的矩陣的排列方式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n*d，存貯量與[K]中元素總數(shù)之比為d/n，d值越小，則存貯量約省。矩陣[K]矩陣對(duì)角線第1列r行r行r列45度斜線r行s列r行s-r+1列元素元素整體剛度矩陣的特點(diǎn)圖(a)中的矩陣[K]為n行n列矩19整體剛度矩陣的特點(diǎn)

同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點(diǎn)編碼，則相應(yīng)的半帶寬d也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)編碼，相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值分別為4、6、8，半帶寬分別為10、14、18。因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。整體剛度矩陣的特點(diǎn)同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點(diǎn)編碼20整體分析

及總體剛度矩陣的性質(zhì)整體分析

及總體剛度矩陣的性質(zhì)21整體分析

圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)1、4、6共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點(diǎn)載荷。整體分析的四個(gè)步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。

單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)122整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件23整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件24整體分析

1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和12個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。整體分析1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)25整體分析

2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。

建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn)1、4、6的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零：建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。3、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。26整體剛度矩陣的形式

整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞?、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單元?jiǎng)傟囍?，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，單元e在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力（由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?7整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷Ri，

12i

3412i

Ri34整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：12i3428整體剛度矩陣的形式2、整體剛度矩陣的集成方法具體集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃?，然后將其中的每個(gè)子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。整體剛度矩陣的形式2、整體剛度矩陣的集成方法29整體剛度矩陣的形式

結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍校压?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。整體剛度矩陣的形式結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各30整體剛度矩陣的形式

以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)于總碼5,2,4，因此子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣為：而相應(yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋ɑ蚬?jié)點(diǎn)力表達(dá)式）：整體剛度矩陣的形式以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)31整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠?據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：整理可得，整體平衡方程：整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠?2整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：

1）其中[K]為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：A、將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣。B、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。2）為節(jié)點(diǎn)載荷向量，為節(jié)點(diǎn)位移向量。整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：33整體及總體剛度矩陣的性質(zhì)概述課件342.整體剛度矩陣的特點(diǎn)

在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。1、對(duì)稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。2.整體剛度矩陣的特點(diǎn)35整體剛度矩陣的特點(diǎn)

2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。節(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。節(jié)點(diǎn)5只與周圍的36整體剛度矩陣的特點(diǎn)

2、稀疏性。

一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過九個(gè)，如果網(wǎng)格中有200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。利用矩陣[K]的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。整體剛度矩陣的特點(diǎn)