第19講緊束縛方法課件

1——簡(jiǎn)單晶格原胞、只有一個(gè)原子——電子在第m個(gè)原子附近運(yùn)動(dòng)，其它原子的作用是微擾

電子的束縛態(tài)波函數(shù)電子在格矢處原子附近運(yùn)動(dòng)1——簡(jiǎn)單晶格原胞、只有一個(gè)原子——電子在第m個(gè)原子2

電子的束縛態(tài)波函數(shù)——格點(diǎn)的原子在處的勢(shì)場(chǎng)——電子第i個(gè)束縛態(tài)的波函數(shù)——電子第i個(gè)束縛態(tài)的能級(jí)2電子的束縛態(tài)波函數(shù)——格點(diǎn)的原子在3

晶體中電子的波函數(shù)滿足的薛定諤方程——晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)___所有原子的勢(shì)場(chǎng)之和——對(duì)方程進(jìn)行變換——微擾作用3晶體中電子的波函數(shù)滿足的薛4

微擾以后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

——晶體中有N個(gè)原子，有N個(gè)格點(diǎn)，環(huán)繞不同格點(diǎn)，有N個(gè)類似的波函數(shù)，它們具有相同的能量本征值i——微擾以后晶體中電子的波函數(shù)用N個(gè)原子軌道簡(jiǎn)并波函數(shù)的線性組合構(gòu)成原子軌道線性組合(LCAO)晶體中電子的波函數(shù)電子的薛定諤方程4微擾以后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——晶體中有N個(gè)原子，有N5——當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的重疊很小近似有——‘正交關(guān)系’電子的波函數(shù)5——當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的重疊很小近似有—6以左乘上面方程積分得到化簡(jiǎn)后得到——N種可能選取，方程是N個(gè)聯(lián)立方程中的一個(gè)方程6以左乘上面方程積分7變量替換勢(shì)場(chǎng)具有周期性——積分只取決與相對(duì)位置引入函數(shù)——表示方程中的積分項(xiàng)7變量替換勢(shì)場(chǎng)具有周期性——積分只取決與相對(duì)位置引入函數(shù)—8——周期性勢(shì)場(chǎng)減去原子的勢(shì)場(chǎng)，仍為負(fù)值8——周期性勢(shì)場(chǎng)減去原子的勢(shì)場(chǎng)，仍為負(fù)值9——關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組——am只由來決定方程的解——任意常數(shù)矢量9——關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組——am只由10對(duì)于確定的波函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)能量本征值10對(duì)于確定的波函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)能量本征值11

晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式改寫為——晶格周期性函數(shù)—簡(jiǎn)約波矢，取值限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)11晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式改寫為——12周期性邊界條件的取值有N個(gè)，每一個(gè)值對(duì)應(yīng)波函數(shù)晶體中電子波函數(shù)原子束縛態(tài)波函數(shù)——兩者存在么正變換12周期性邊界條件的取值有N個(gè)，每一個(gè)值對(duì)應(yīng)波函數(shù)13——N個(gè)波函數(shù)表示為能量本征值——對(duì)于原子的一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)，k有N個(gè)取值——原子結(jié)合成固體后，電子具有的能量形成一系列能帶13——N個(gè)波函數(shù)表示為能量本征值——對(duì)于原子的一個(gè)束14

簡(jiǎn)化處理

能量本征值——表示相距為兩個(gè)格點(diǎn)的波函數(shù)——當(dāng)兩個(gè)函數(shù)有一定重合時(shí)，積分不為零14簡(jiǎn)化處理能量本征值——表示相距為15——最完全的重疊其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢能量本征值15——最完全的重疊其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢能量本征值16例計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶

s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同具有相同的值表示為s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱能量本征值16例計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶17——簡(jiǎn)立方六個(gè)近鄰格點(diǎn)代入17——簡(jiǎn)立方六個(gè)近鄰格點(diǎn)代入18——第一布里淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量18——第一布里淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量19點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)能帶底和能帶頂——帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬19點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)能帶底和能帶頂——20在能帶底部在附近按泰勒級(jí)數(shù)展開將能帶底部電子的有效質(zhì)量20在能帶底部在21在能帶頂部在附近按泰勒級(jí)數(shù)展開將21在能帶頂部在22能帶頂部電子的有效質(zhì)量22能帶頂部電子的有效質(zhì)量232.原子能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)

——一個(gè)原子能級(jí)i對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶——能量較低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較窄——能量較高的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較寬232.原子能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)——一個(gè)原子能級(jí)i對(duì)應(yīng)一24——簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等等——由于p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊24——簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如25緊束縛討論中——只考慮不同原子、相同原子態(tài)之間的相互作用——不考慮不同原子態(tài)之間的作用——對(duì)于內(nèi)層電子能級(jí)和能帶有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系對(duì)于外層電子，能級(jí)和能帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜——一般的處理方法主要由幾個(gè)能量相近的原子態(tài)相互組合形成能帶略去其它較多原子態(tài)的影響25緊束縛討論中——只考慮不同原子、相同原子態(tài)之間的—26——分析同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——處理思路和方法將各原子態(tài)組成布洛赫和再將能帶中的電子態(tài)寫成布洛赫和的線性組合最后代入薛定諤方程求解組合系數(shù)和能量本征值——略去其它主量子數(shù)原子態(tài)的影響26——分析同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——處理27——各原子態(tài)組成布洛赫和——同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——能帶中的電子態(tài)——布洛赫和的線性組合27——各原子態(tài)組成布洛赫和——同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p28代入薛定諤方程求解組合系數(shù)能量本征值——能帶中的電子態(tài)28代入薛定諤方程求解組合系數(shù)能量本征值——能帶中的電子態(tài)29——復(fù)式格子

一個(gè)原胞中有l(wèi)個(gè)原子，原子的位置——原胞中不同原子的相對(duì)位移布洛赫和——表示不同的分格子，i表示不同的原子軌道29——復(fù)式格子一個(gè)原胞中有l(wèi)個(gè)原子，原子的位置——原30——具有金剛石結(jié)構(gòu)的Si，原胞中有4個(gè)A位和1個(gè)B位原子A位原子格子與B位原子格子的相對(duì)位移——坐標(biāo)原點(diǎn)選取在A位格子的格點(diǎn)上30——具有金剛石結(jié)構(gòu)的Si，原胞中有4個(gè)A位和1個(gè)B位原31Si晶體中3s和3p軌道相互雜化至少需要八個(gè)布洛赫和——Si的價(jià)帶和導(dǎo)帶是上面八個(gè)布洛赫和的線性組合

31Si晶體中3s和3p軌道相互雜化至少需要八個(gè)布洛赫和——32

Wannier函數(shù)

緊束縛近似中，能帶中電子波函數(shù)可以寫成布洛赫和對(duì)于任何能帶Wannier函數(shù)——一個(gè)能帶的Wannier函數(shù)是由同一個(gè)能帶的布洛赫函數(shù)所定義Wannier：旺尼爾or瓦尼爾or萬尼爾32Wannier函數(shù)緊束縛近似中，能帶中電子波函33——旺尼爾函數(shù)滿足正交關(guān)系

緊束縛作用——如果晶體中原子之間的間距增大，當(dāng)電子距離某一原子較近時(shí)，電子的行為類似于孤立原子時(shí)的情形電子波函數(shù)——這種情況下，旺尼爾函數(shù)也應(yīng)接近孤立原子的波函數(shù)33——旺尼爾函數(shù)滿足正交關(guān)系緊束縛作用——如果晶體34——簡(jiǎn)單晶格原胞、只有一個(gè)原子——電子在第m個(gè)原子附近運(yùn)動(dòng)，其它原子的作用是微擾

電子的束縛態(tài)波函數(shù)電子在格矢處原子附近運(yùn)動(dòng)1——簡(jiǎn)單晶格原胞、只有一個(gè)原子——電子在第m個(gè)原子35

電子的束縛態(tài)波函數(shù)——格點(diǎn)的原子在處的勢(shì)場(chǎng)——電子第i個(gè)束縛態(tài)的波函數(shù)——電子第i個(gè)束縛態(tài)的能級(jí)2電子的束縛態(tài)波函數(shù)——格點(diǎn)的原子在36

晶體中電子的波函數(shù)滿足的薛定諤方程——晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)___所有原子的勢(shì)場(chǎng)之和——對(duì)方程進(jìn)行變換——微擾作用3晶體中電子的波函數(shù)滿足的薛37

微擾以后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

——晶體中有N個(gè)原子，有N個(gè)格點(diǎn)，環(huán)繞不同格點(diǎn)，有N個(gè)類似的波函數(shù)，它們具有相同的能量本征值i——微擾以后晶體中電子的波函數(shù)用N個(gè)原子軌道簡(jiǎn)并波函數(shù)的線性組合構(gòu)成原子軌道線性組合(LCAO)晶體中電子的波函數(shù)電子的薛定諤方程4微擾以后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——晶體中有N個(gè)原子，有N38——當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的重疊很小近似有——‘正交關(guān)系’電子的波函數(shù)5——當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的重疊很小近似有—39以左乘上面方程積分得到化簡(jiǎn)后得到——N種可能選取，方程是N個(gè)聯(lián)立方程中的一個(gè)方程6以左乘上面方程積分40變量替換勢(shì)場(chǎng)具有周期性——積分只取決與相對(duì)位置引入函數(shù)——表示方程中的積分項(xiàng)7變量替換勢(shì)場(chǎng)具有周期性——積分只取決與相對(duì)位置引入函數(shù)—41——周期性勢(shì)場(chǎng)減去原子的勢(shì)場(chǎng)，仍為負(fù)值8——周期性勢(shì)場(chǎng)減去原子的勢(shì)場(chǎng)，仍為負(fù)值42——關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組——am只由來決定方程的解——任意常數(shù)矢量9——關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組——am只由43對(duì)于確定的波函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)能量本征值10對(duì)于確定的波函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)能量本征值44

晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式改寫為——晶格周期性函數(shù)—簡(jiǎn)約波矢，取值限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)11晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式改寫為——45周期性邊界條件的取值有N個(gè)，每一個(gè)值對(duì)應(yīng)波函數(shù)晶體中電子波函數(shù)原子束縛態(tài)波函數(shù)——兩者存在么正變換12周期性邊界條件的取值有N個(gè)，每一個(gè)值對(duì)應(yīng)波函數(shù)46——N個(gè)波函數(shù)表示為能量本征值——對(duì)于原子的一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)，k有N個(gè)取值——原子結(jié)合成固體后，電子具有的能量形成一系列能帶13——N個(gè)波函數(shù)表示為能量本征值——對(duì)于原子的一個(gè)束47

簡(jiǎn)化處理

能量本征值——表示相距為兩個(gè)格點(diǎn)的波函數(shù)——當(dāng)兩個(gè)函數(shù)有一定重合時(shí)，積分不為零14簡(jiǎn)化處理能量本征值——表示相距為48——最完全的重疊其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢能量本征值15——最完全的重疊其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢能量本征值49例計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶

s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同具有相同的值表示為s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱能量本征值16例計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶50——簡(jiǎn)立方六個(gè)近鄰格點(diǎn)代入17——簡(jiǎn)立方六個(gè)近鄰格點(diǎn)代入51——第一布里淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量18——第一布里淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量52點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)能帶底和能帶頂——帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬19點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)能帶底和能帶頂——53在能帶底部在附近按泰勒級(jí)數(shù)展開將能帶底部電子的有效質(zhì)量20在能帶底部在54在能帶頂部在附近按泰勒級(jí)數(shù)展開將21在能帶頂部在55能帶頂部電子的有效質(zhì)量22能帶頂部電子的有效質(zhì)量562.原子能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)

——一個(gè)原子能級(jí)i對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶——能量較低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較窄——能量較高的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較寬232.原子能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)——一個(gè)原子能級(jí)i對(duì)應(yīng)一57——簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等等——由于p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊24——簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如58緊束縛討論中——只考慮不同原子、相同原子態(tài)之間的相互作用——不考慮不同原子態(tài)之間的作用——對(duì)于內(nèi)層電子能級(jí)和能帶有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系對(duì)于外層電子，能級(jí)和能帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜——一般的處理方法主要由幾個(gè)能量相近的原子態(tài)相互組合形成能帶略去其它較多原子態(tài)的影響25緊束縛討論中——只考慮不同原子、相同原子態(tài)之間的—59——分析同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——處理思路和方法將各原子態(tài)組成布洛赫和再將能帶中的電子態(tài)寫成布洛赫和的線性組合最后代入薛定諤方程求解組合系數(shù)和能量本征值——略去其它主量子數(shù)原子態(tài)的影響26——分析同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——處理60——各原子態(tài)組成布洛赫和——同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用——能帶中的電子態(tài)——布洛赫和的線性組合27——各原子態(tài)組成布洛赫和——同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p61代入薛定諤