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文檔簡介

§3.4泰勒公式泰勒公式幾個常用函數(shù)的泰勒公式泰勒公式的應用一、泰勒公式（如下圖）以直代曲不足:1、精確度不高；2、誤差不能估計.本節(jié)研究以下兩個問題:(1)是否可選取一簡單曲線

n次代數(shù)多項式即以簡單曲線逼近復雜曲線?(2)逼近的誤差是否可給出一個明確的表達式?設y=f(x)在x0

處有直至n

階的導數(shù),下面考慮尋找一n

次代數(shù)多項式Pn(x),使它在x0

處較好地逼近f(x)

分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交則由即稱多項式為函數(shù)在點處關(guān)于的泰勒多項式.（唯一確定）例求函數(shù)y=ln(1+x)的關(guān)于x

冪的n

次泰勒多項式解取x0=0,下面計算稱為函數(shù)在點處的n階泰勒公式.也是用n次多項式來近似函數(shù)的截斷誤差.余項為佩亞諾型余項,拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項證明:注意:3.拉格朗日型余項主要用于證明命題，皮亞諾型余項主要用于求極限.麥克勞林(Maclaurin)公式二、幾個常用的n

階泰勒公式(在x0=0處)(1)f(x)=sinx取n=2m,則有其中ξ介于0與x

之間(2)f(x)=cosx取n=2m+1,則有其中ξ介于0與x

之間

(3)f(x)=ex其中ξ介于0與x

之間(4)f(x)=ln(1+x)其中ξ介于0與x

之間(5)f(x)=(1+x)α,

αR所以有其中ξ介于0與x

之間

（1）（2）（3）（4）（5）帶佩亞諾型余項的泰勒公式解：在注：（1）若求處的泰勒公式；（2）特別注意是求哪一點處的泰勒公式；（3）對于拉格朗日型余項，沒有特別的技巧，只能硬做；如例3中則解：三、泰勒公式的應用1.利用帶皮亞諾型余項的泰勒公式求極限例1求下列函數(shù)的極限（1）解：（1）原式（2）解（2）原式（3）解（3）原式例計算解因為(2)在無窮小階的估計中的應用例當a,b

為何值時,量x(a+bcosx)sinx

是x

的5階無窮小?解為使之為5階無窮小,充要條件是:解得:所以當時,原式為5階的無窮小例試確定常數(shù)a

和b,使當x

0時為x

盡可能高的無窮小,并求此階數(shù)解

又

解得所以,當時,函數(shù)f(x)為7階的無窮小(3)在近似計算中的應用其中ξ介于x0

與x

之間.例計算e的值,準確到10-6解先確定n

為多大時才能保證精度.

令x=1得(ξ介于0與1之間)n

階泰勒公式,有

利用ex

的取n=10,則有(4)在一些證明題中的應用例如果在(a,b)內(nèi)

證明:對(a,b)內(nèi)的任意n

個點有不等式證明令則對每一xi,利用泰勒公式有由推得所以,得到常用不等式例設f(x)在[0,1]上二階可導,且滿足其中a,b為非負常數(shù),證明:對任意c(0,1)有解任取c(

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