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文檔簡介
第五章等參元應用中的若干問題參考書目:清華第四、五章1、最小勢能解答的位移下限定理。用有限單元將連續(xù)介質離散化后,按位移法由最小勢能原理求出的位移近似解。其值小于精確解。應變能總勢能:最小勢能原理“若選擇的位移滿足位移連續(xù)及邊界條件,
則滿足平衡方程的一組位移使總勢能最小”即:即:結論:(1)對于任何一個給定的位移模式,按FEM離散后的力學模型剛度皆大于真實剛度。(2)當網(wǎng)格無限細分時,由下方收斂于精確解。2、Gauss積分階次的選擇被積函數(shù)為n-1次多項式在求積公式中,由于與的值無關,當取n個及n個,共有2n個未知數(shù),所以要求是2n-1次,能確定2n個未知數(shù),得到完全精確的積分值,故由Guass積分的意義看,當是2n-1次多項式,對n個積分點才是精確成立的。(1)分布體力三維:一次二次二次二維:(2)三角形分布面力:其中:(3)、單剛:可由以下近似方法做出判別:則:n必須隨單元所處的不同部位取不同的值。
實際選擇n的方法由位移下限定理,[k]值計算比實際大,由Guass積分精度,[k]的計算值隨n的減小而減小。故,采用較小的n,使上述兩方面的誤差抵消。3、四邊形形狀的限制為了使等參變換成立,,有以下結論:在整體坐標系下,曲邊四邊形的任意兩條邊,不能在單元上出現(xiàn)交點。(出現(xiàn)則意味)。一般要求四邊形的四個頂點在90°左右(接近矩形正方形)當單元上兩個結點非常接近,在二結附近的數(shù)值迅速減小,可能引起很大誤差,所以單元各邊線性尺寸不能相差太大:一般:長邊長≤3短邊長4、邊中結點的位置(1)邊中結點盡量處與兩角結點連線上。(2)盡量取在邊長的中點上可以證明,當x中結點取在1/4邊長處時,,意味著σ→∞,稱為奇異點,但在斷裂力學中,用奇異性構造奇異單元,以模擬縫端的奇異性。(5)利用過渡單元過渡元的母元(6)、采用等參元可達到以下3個目的1、改善計算精度,消除形函數(shù)誤差2、適應曲線邊界,減小幾何誤差3、提高成果的確定性,給出指定點應力,消除等參元成果的不確定性。(7)應力成果的修勻有限元成果屬c°連續(xù)性問題,即場變量(位移u、v)在交界邊上連續(xù),但其導數(shù)不連續(xù),即應力不連續(xù)。需對應力成果進行修勻,修勻方法主要有:1、單元平均或結點平均三角形元———單元平均其它元————結點平均2、總體應力磨平總體應力磨平,計算工作量
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