2022年遼寧省丹東市中考數(shù)學試卷

第13頁（共13頁）2022年遼寧省丹東市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）﹣7的絕對值是（A）A．7 B．﹣7 C． D．﹣2．（3分）下列運算正確的是（C）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝a3b3 D．a(chǎn)8÷a2＝a43．（3分）如圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（B）A． B． C． D．4．（3分）四張不透明的卡片，正面標有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，除正面數(shù)字不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是（A）A． B． C． D．15．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（D）A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠06．（3分）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點，過點A作AC⊥l2，垂足為C，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（B）A．32° B．38° C．48° D．52°7．（3分）甲，乙，丙，丁四人進行射擊測試，每人10次射擊的平均成績恰好都是9.2環(huán)，方差分別是s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，在本次射擊測試中，這四個人成績最穩(wěn)定的是（A）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（D）A．6π B．2π C．π D．π9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，連接OE，△ABD的周長為12cm，則下列結(jié)論錯誤的是（C）A．OE∥AB B．四邊形ABCD是中心對稱圖形 C．△EOD的周長等于3cm D．若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是軸對稱圖形【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥AB，∴A選項結(jié)論正確，不符合題意；∵四邊形ABCD是中心對稱圖形，∴B選項結(jié)論正確，不符合題意；∵△ABD的周長為12cm，∴△EOD的周長等于6cm，∴C選項結(jié)論錯誤，符合題意；若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是矩形，是軸對稱圖形，∴D選項結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點C，其對稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，則點E（k，b）在第四象限；⑤點M是拋物線的頂點，若CM⊥AM，則a＝．其中正確的有（D）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸是直線x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＜0∵拋物線交y軸的負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正確，觀察圖象可知，當0＜x≤2時，y隨x的增大而減小，故③錯誤，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，∵b＜0，∴k＞0，此時E（k，b）在第四象限，故④正確．∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（5，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），過點M作MH⊥y軸于點H，設(shè)對稱軸交x軸于點K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴＝，∴＝，∴a2＝，∵a＞0，∴a＝，故⑤正確，故選：D．二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）11．（3分）美麗的丹東山清水秀，水資源豐富．2021年水資源總量約為12600000000立方米，數(shù)據(jù)12600000000用科學記數(shù)法表示為1.26×1010．12．（3分）因式分解：2a2+4a+2＝2（a+1）2．13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是m＞2.25．14．（3分）某書店與一所中學建立幫扶關(guān)系，連續(xù)6個月向該中學贈送書籍的數(shù)量（單位：本）分別為：200，300，400，200，500，550，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是350本．15．（3分）不等式組的解集為1.5＜x＜6．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分別以A，C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q，直線PQ與AC交于點D，則AD的長為2．17．（3分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點O是坐標原點，點C在y軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k＝﹣4．【解答】解：連接OB，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，∴AB⊥x軸，∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝＝，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+，∴S平行四邊形OABC＝2S△AOB＝|k|+3，∵平行四邊形OABC的面積是7，∴|k|＝4，∵在第四象限，∴k＝﹣4，故答案為：﹣4．18．（3分）如圖，四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AC上的動點（不與端點重合），且BE＝AF，BF與CE交于點P，延長BF交邊AD（或邊CD）于點G，連接OP，OG，則下列結(jié)論：①△ABF≌△BCE；②當BE＝2時，△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；③當BE＝4時，BE：CG＝2：1；④線段OP的最小值為2﹣2．其中正確的是①②．（請?zhí)顚懶蛱枺窘獯稹拷猓孩佟咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正確；②由①知：△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△COG＝2∴S四邊形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正確；③如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正確；④如圖2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等邊三角形△BCH，作△BCH的外接圓I，則點P在⊙I上運動，點O、P、I共線時，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最?。絆I﹣PI＝﹣2，故④不正確，故答案為：①②．三、解答題（第19題8分，第20題14分，共22分）19．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．解：原式＝﹣＝﹣＝，當x＝sin45°＝時，原式＝．20．（14分）為了解學生一周勞動情況，我市某校隨機調(diào)查了部分學生的一周累計勞動時間，將他們一周累計勞動時間t（單位：h）劃分為A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四個組，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查共抽取100人，條形統(tǒng)計圖中的m＝42；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求B組所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）已知該校有960名學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校一周累計勞動時間達到3小時及3小時以上的學生共有多少人？（4）學校準備從一周累計勞動時間較長的兩男兩女四名學生中，隨機抽取兩名學生為全校學生介紹勞動體會，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．解：（1）這次抽樣調(diào)查共抽取的人數(shù)有：28÷28%＝100（人），m＝100×42%＝42，故答案為：100，42；（2）B組所在扇形圓心角的度數(shù)是：360°×20%＝72°；B組的人數(shù)有：100×20%＝20（人），補全統(tǒng)計圖如下：（3）根據(jù)題意得：960×（42%+28%）＝672（人），答：估計該校一周累計勞動時間達到3小時及3小時以上的學生共有672人；（4）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)為8，所以抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生概率為＝．四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）為推動家鄉(xiāng)學?；@球運動的發(fā)展，某公司計劃出資12000元購買一批籃球贈送給家鄉(xiāng)的學校．實際購買時，每個籃球的價格比原價降低了20元，結(jié)果該公司出資10000元就購買了和原計劃一樣多的籃球，每個籃球的原價是多少元？解：設(shè)每個籃球的原價是x元，則每個籃球的實際價格是（x﹣20）元，根據(jù)題意，得＝．解得x＝120．經(jīng)檢驗x＝120是原方程的解．答：每個籃球的原價是120元．22．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點C，過點C作CD⊥BE，交BE的延長線于點D，連接CE．（1）請判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半徑．解：（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線．理由：連接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點J．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四邊形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝3，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半徑為．五、解答題（本題12分）23．（12分）如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，由題意,得EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB?sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．六、解答題（本題12分）24．（12分）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？解：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入,得，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價應定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．七、解答題（本題12分）25．（12分）已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E不與點B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），連接DG．（1）如圖1，當＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；（2）如圖2，當＝＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．解：（1）由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝，BE⊥DG，理由：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴設(shè)AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，點M是BG的中點，點N是CE的中點，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位線，∴MN∥BE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．八、解答題（本題14分）26．（14分）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)線段PE的長度為h，請用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過點P作PF⊥CE，垂足為F，當CF＝EF時，請求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關(guān)于直線CQ的對稱點O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2+x+3；（2）∵拋物線y＝x2+x+3與y軸交于點C，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點P的橫坐標為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，∵點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，∴0＜m＜6，∴h＝m2+m（0＜m＜6）；（3）如圖，過點E、F分別作EH⊥y軸于點H，F(xiàn)G⊥y軸于點G，∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝m2+m，∵PF⊥CE，∴∠EPF+∠PEF＝90°，∵PD⊥x軸，∴∠EBD+∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴＝，在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四邊形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH∥x軸，∴△CEH∽△CBO，∴＝，即＝，∴CE＝m，∵CF＝EF，∴EF＝CE＝m，∴m＝（m2+m），解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；（4）∵拋物線y＝x2+x+3，∴拋物線