均值不等式及其應(yīng)用同步練習(xí)

均值不等式及其應(yīng)用一、選擇題1．已知，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是()A． B． C． D．2．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=ab，則ab的最小值為（）A．1 B． C．2 D．43．若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．4．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．35．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則2x+y的最小值為（）A．9 B．7 C．5 D．36．若正實(shí)數(shù)滿足，則（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值7．已知關(guān)于、的方程組：（其中、）無解，則必有（）A． B． C． D．8．若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．設(shè)，，均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于2二、填空題10．若，，，則的最大值為__________．11．若，則的最小值為______．12．若矩形的長和寬分別為，其對(duì)角線的長為5，則該矩形的周長的最大值為______________.13．若，且，則的最小值為_______．三、解答題14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值.設(shè)都是正數(shù)，且，求的最小值．16.已知，求證：..某單位建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為30，房屋正面每平方米造價(jià)為1500元，房屋側(cè)面每平方米造價(jià)為900元，屋頂造價(jià)為5800元，墻高為3米，且不計(jì)算背面和地面的費(fèi)用，問怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？18．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，滿足？并說明理由．．19．設(shè)a>0，b>0，且證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．答案與解析一、選擇題1．已知，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選B2．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=ab，則ab的最小值為（）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，故ab的最小值為4，故選：D．3．若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，選C.4．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．3【答案】A【解析】由題意，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則2x+y的最小值為（）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】A【解析】?jī)蓚€(gè)正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故選A．6．若正實(shí)數(shù)滿足，則（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.7．已知關(guān)于、的方程組：（其中、）無解，則必有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由方程組得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b無解.所以當(dāng)ab=1,且a,b不同時(shí)為1，其中、，∴，即.故選:B8．若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)本題正確選項(xiàng)：9．設(shè)，，均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于2【答案】D【解析】假設(shè)，，均小于，則，又因?yàn)椋?，，故，這與矛盾，故假設(shè)不正確，即，，至少有一個(gè)不小于．故選D．二、填空題10．若，，，則的最大值為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；故答案為11．若，則的最小值為______．【答案】8【解析】因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為8.12．若矩形的長和寬分別為，其對(duì)角線的長為5，則該矩形的周長的最大值為______________.【答案】【解析】由已知得，，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以該矩形的周長的最大值為.故答案為.13．若，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，則xy＝1且a，b，所以a2+b2＝（）2+（）2，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y2時(shí)取等．故答案為．三、解答題14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為.15．設(shè)都是正數(shù)，且，求的最小值．【答案】.【解析】∵，∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“＝”．又∵，∴.∴的最小值為.16．已知，求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：，，，上面三式相加，得：，所以，.17．某單位建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為30，房屋正面每平方米造價(jià)為1500元，房屋側(cè)面每平方米造價(jià)為900元，屋頂造價(jià)為5800元，墻高為3米，且不計(jì)算背面和地面的費(fèi)用，問怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？【答案】房屋正面長為6，側(cè)面寬為5時(shí)，總造價(jià)最低為59800元.【解析】令房屋地面的正面長為，側(cè)面寬為，總造價(jià)為元，則，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，答：房屋正面長為6，側(cè)面寬為5時(shí)，總造價(jià)最低為59800元.18．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，滿足？并說明理由．【答案】（1）；（2）不存在.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為2．（2）不存在．因?yàn)?，所以，又，所以．從而有，因此不存在，滿足．19．設(shè)a>0，b>0，且證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等