復變函數(shù)第五章習題及答案概要

復變函數(shù)第五章習題及答案概要一、重點與難點重點：難點：留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計算上的應用2二、內(nèi)容提要留數(shù)計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數(shù)的零點與極點的關系留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應用31）定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點.1.孤立奇點的概念與分類孤立奇點奇點2）孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i)可去奇點;)極點;)本性奇點.4定義

如果洛朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.i)可去奇點5)極點定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項,其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗?極點的判定方法在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a)由定義判別(b)由定義的等價形式判別(c)利用極限判斷.7如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,注意:在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為)本性奇點8i)零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級零點.3)函數(shù)的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系如果是的m級極點,那末就是的

m級零點.反過來也成立.92.留數(shù)記作定義

如果的一個孤立奇點,則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以101)留數(shù)定理

設函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).11(1)如果為的可去奇點,則如果為的一級極點,那末a)(2)如果為的本性奇點,則需將成洛朗級數(shù)求展開(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則2)留數(shù)的計算方法12c)設及在如果那末為一級極點,且有都解析，如果為的級極點,那末b)13也可定義為記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關,則稱此定3)無窮遠點的留數(shù)14如果函數(shù)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點(包括

點)的留數(shù)的總和必等于零.定理153.留數(shù)在定積分計算上的應用1）三角函數(shù)有理式的積分當歷經(jīng)變程時,z沿單位圓周的正方向繞行一周.16172）無窮積分183）混合型無窮積分19特別地20定義具有下列形式的積分:內(nèi)零點的總個數(shù),P為

f(z)在C內(nèi)極點的總個數(shù).其中,N為

f(z)在C且C取正向.21如果

f(z)在簡單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內(nèi)零點的個數(shù)等于乘以當z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.輻角原理路西定理22三、典型例題解23解2425例2求函數(shù)的奇點，并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.26例3證明是的六級極點.證27例4求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在內(nèi),28解29解為奇點,當時為一級極點，3031解的一級極點為32例5計算積分為一級極點，為七級極點.解33由留數(shù)定理得34例6

解在內(nèi),3536解例7計算3738例8

計算解令39