【課件】空間向量運算的坐標(biāo)表示 課件 人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示一、空間向量運算坐標(biāo)表示向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b______________________減法a－b________________________數(shù)乘λa______________數(shù)量積a·b________________設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)知識梳理(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3重要：(1)空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致.(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則

＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝_____.解析

易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.－4①求頂點B，C的坐標(biāo)；解

設(shè)B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以點B的坐標(biāo)為(6，－4,5).所以點C的坐標(biāo)為(9，－6,10).解設(shè)P(x2，y2，z2)，反思

空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個端點的坐標(biāo)確定.(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計算.(3)由條件求向量或點的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo).4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?

，

，________(λ∈R)；垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?

.a1＝λb1a2＝λb2知識梳理a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).所以2a－b＝(3,2，－2)，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解如圖所示，以點D為原點，由題意，可設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，跟蹤訓(xùn)練2

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝

CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；證明設(shè)AC與BD交于點G，連接EG.所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)求證：CF⊥平面BDE.證明因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以CF⊥平面BDE.三、夾角和距離的計算注意點：(1)空間兩點間的距離公式類似于平面中的兩點之間的距離公式，可以類比記憶.知識梳理例3

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長.解以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.(2)求△BMN的面積.反思

利用空間向量的坐標(biāo)運算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo).(3)論證、計算：結(jié)合公式進行論證、計算.(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問題.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝H為C1G的中點.(1)求證：EF⊥B1C；證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點，(2)求FH的長；(3)求EF與C1G所成角的余弦值.1.知識清單：(1)向量的坐標(biāo)的運算.(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.2.方法歸納：類比、轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應(yīng)坐標(biāo)的比相等.(2)求異面直線所成的角時易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.小結(jié)課堂練習(xí)1.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點，

則點B的坐標(biāo)應(yīng)為A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)√2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

且λ>0，則λ等于A.5 B.4 C.3 D.2√1234解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝