實驗八弧長曲線積分

實驗八對弧長的曲線積分及其MATLAB計算一、實驗?zāi)康膶W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)對弧長的曲線積分的定義和計算方法，掌握利用MATLAB軟件進行曲線積分的計算。二、相關(guān)知識曲線積分是工程計算中需要用到的一個重要內(nèi)容，典型的用途可以是曲線形構(gòu)件質(zhì)量的計算，重心、轉(zhuǎn)動慣量的計算，曲線長度的計算等等。例1計算曲線形構(gòu)件質(zhì)量。在設(shè)計曲線形構(gòu)件時，為了合理使用材料，應(yīng)該根據(jù)構(gòu)件各部分的受力情況，把構(gòu)件上各點處的粗細(xì)設(shè)計得不完全一樣。因此，可以認(rèn)為這個構(gòu)件的線密度（單位長度的質(zhì)量）是變量。假設(shè)這構(gòu)件所處的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上，它的端點是A，B，在L上任一點(x,y)處，它的線密度為現(xiàn)在要計算這構(gòu)件的質(zhì)量m。二、相關(guān)知識如果構(gòu)件的線密度為常量，那么這構(gòu)件的質(zhì)量就等于它的線密度與長度的乘積。但現(xiàn)在構(gòu)件上各點處的線密度是變量，就不能直接用上述方法來計算。為了解決這個問題，我們將曲線L分成若干個小段，即用L上的點把分成若干個小段，取其中一小段構(gòu)件來分析，在線密度連續(xù)的前提下，只要這小段很短，就可以用這小段上任意一點處的線密度來代替這小段上其他各點處的線密度，從而得到這小段構(gòu)件的質(zhì)量的近似值為：二、相關(guān)知識其中表示的長度，于是整個曲線構(gòu)件的質(zhì)量為

用λ表示n個小弧段的最大長度。為了計算m的精確值，取上式右端的和式當(dāng)時的極限，從而得到這種形式的極限，我們在研究其他問題時也會遇到，為了一般地研究這類問題，我們給出這樣一類和式極限的定義。圖8.1二、相關(guān)知識定義：設(shè)L為xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)在L上有界，在L上任意插入一系列的點，則這些點把L分成n個小段。設(shè)第i個小段的長度為，又為第i個小段上任意取定的一點，作乘積，并作和，如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即其中叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。二、相關(guān)知識根據(jù)對弧長的曲線積分的定義可知，這種積分有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

設(shè)α，β為常數(shù)，則性質(zhì)2

若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧段L1和L2，則有性質(zhì)3

設(shè)L在上，則特別地有：二、相關(guān)知識在這個定義的基礎(chǔ)上，我們給出如下的計算方法：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為

()其中、在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且

根據(jù)這個公式，我們把一個計算曲線積分的問題轉(zhuǎn)化成了一個計算定積分的問題，從而就可以利用MATLAB的函數(shù)int來計算積分。二、相關(guān)知識如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數(shù)方程

()的情形，這時公式成為：

()類似地，如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數(shù)方程

()的情形，這時公式成為：

()二、相關(guān)知識同時，這個計算公式可以推廣到空間曲線弧Γ由參數(shù)方程

()

給出的情形，這時有：

()我們通過具體的例子來說明曲線積分的計算。

二、相關(guān)知識例1計算，其中L是拋物線上點O(0,0)與點B(1,1)之間的一段弧，圖8.2。解：由于L的方程給出，因此可以將x看成參數(shù)，因此得到：

=這時就可以用MATLAB程序：clearsymsxI=int(x*sqrt(1+4*x*x),x,0,1)結(jié)果為：5/12*5^(1/2)-1/12

圖8.2二、相關(guān)知識例2計算半徑為R、中心角為2α的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量J(設(shè)線密度μ=1)解：取坐標(biāo)系如圖8.3，則為了便于計算，利用L的參數(shù)方程

()于是

圖8.3二、相關(guān)知識利用MATLAB軟件，編寫程序clearsymssitaR=1alfa=1.2J=R^3*int(sin(sita)*sin(sita),sita,-alfa,alfa)其結(jié)果為：-cos(6/5)*sin(6/5)+6/5二、相關(guān)知識例3計算曲線積分，其中Γ為螺旋線，，相應(yīng)于t從0到2π的一段弧。解：二、相關(guān)知識利用MATLAB軟件，編寫程序clearsymsta=1K=1J=int((a^2+k^2*t^2)*sqrt(a^2+k^2),0,2*pi)其結(jié)果為：8/3*2^(1/2)*pi^3+2*2^(1/2)*pi二、相關(guān)知識例4求，其中L是由直線x=0，y=0，x=4和y=2所構(gòu)成的矩形回路。解：根據(jù)性質(zhì)2，積分可以分為4個部分I1，I2，I3，I4，分別為被積函數(shù)在曲線弧段L1，L2，L3，L4上的積分。即：則顯然有：二、相關(guān)知識到這里，我們就可以應(yīng)用MATLAB了，編制程序如下：clearsymsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)I=I3+I4其結(jié)果為：21/4*exp(8)+3/4三、實驗內(nèi)容1．計算曲線積分，其中C是的一段。2．計算曲線積分，其中L為擺線的一拱，；3．計算曲線積分，其中L為螺線，；4．計算曲線積分，其中L是圓周；提示：先將圓周的方程化為參數(shù)方程。Clear？？？symsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)