勾股定理專題一

勾股定理專題一1、已知直角三角形的兩邊，求第三邊勾股定理42、求直角三角形周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題3、驗(yàn)證勾股定理成立1、勾股數(shù)的應(yīng)用勾股定理4勾股定理的逆定理42、判斷三角形的形狀3、求最大、最小角的問(wèn)題勾股定理的應(yīng)用4工面積問(wèn)題2、求長(zhǎng)度問(wèn)題3、最短距離問(wèn)題航海問(wèn)題網(wǎng)格問(wèn)題圖形問(wèn)題考點(diǎn)一：勾股定理(1)對(duì)于任意的直角三角形勾股定理4勾股定理的逆定理42、判斷三角形的形狀3、求最大、最小角的問(wèn)題勾股定理的應(yīng)用4工面積問(wèn)題2、求長(zhǎng)度問(wèn)題3、最短距離問(wèn)題航海問(wèn)題網(wǎng)格問(wèn)題圖形問(wèn)題考點(diǎn)一：勾股定理(1)對(duì)于任意的直角三角形如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a2+b2=c2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(2)結(jié)論:①有一個(gè)角是30°的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。②有一個(gè)角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。(3)勾股定理的驗(yàn)證例題：例1:已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。(1)在RSABC中，NC=90°①若a=5,匕=12，則c= ；②若a=15,。=25,則匕= ;③若c=61,b=60,則Ua= ;④若a：b=3：4,c=10則URtAABC的面積是:。TOC\o"1-5"\h\z(2)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為n2-1,2n(n>1),那么它的斜邊長(zhǎng)是( )A、2n B、n+1 C、n2-1 D、n2+1(3)在Rt^ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是( )A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2C.c2+b2=a2 D.以上都有可能(4)已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是( )A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。(1)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的高為。(2)已知Rt^ABC中，NC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則Rt^ABC的面積是( )A、24cm2 B、36cm2C、48cm2 D、60cm2(3)已知x、y為正數(shù)，且1x2-4|+(y2-3)2=0,如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為( )A、5 B、25 C、7 D、15例3：探索勾股定理的證明有四個(gè)斜邊為c、兩直角邊長(zhǎng)為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個(gè)圖形證明勾股定理?？键c(diǎn)二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。(2)常見(jiàn)的勾股數(shù)：(3n,4n,5n),(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..(n為正整數(shù))(3)直角三角形的判定方法：①如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。②有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。④如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數(shù)的應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\z(1)下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是( )A.4，5，6 B. 2，3，4C.11，12，13D.8，15，17(2)若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為( )A、2：3：4 B、3：4：6 C、5：12：13 D、4：6：7例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀(1)下面的三角形中：①4ABC中，NC=NA—NB；②4ABC中，NA：NB：NC=1：2：3；③4ABC中，a：b：c=3：4：5；④4ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8，15，17.其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有( ).A.1個(gè)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)<21.(2)若三角形的三邊之比為q-：i］：1,則這個(gè)三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形)=0,則它的形狀為( )(3)已知a,b,c為AABC三邊，且滿足(a2—b2)(a2+b2)=0,則它的形狀為( )B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形(5)若4ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+C2+200=B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形(5)若4ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+C2+200=12a+16b+20c,試判斷4ABC的形狀。(6)AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為例3：求最大、最小角的問(wèn)題(1)若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25,則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是.度。(2)已知三角形三邊的比為1：、兀：2,則其最小角為考點(diǎn)三：勾股定理的應(yīng)用例題:例1：面積問(wèn)題(1)下圖是株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是()D.94A.13B.26C.47SS(圖1) (圖2) (圖3)(3)如圖，4ABC為直角三角形，分別以AB,BC,AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說(shuō)明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得( )A. S1+ S2> S3 B. S1+ S2= S3 C.S2+S3< S1 D.以上都不是(2)如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S「S2、S3,則它們之間的關(guān)系是()A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C.S2+S3< S1 D.S「S3=S1例2：求長(zhǎng)度問(wèn)題(1)小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。(2)在一棵樹(shù)10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處；另外一只爬到樹(shù)頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高D例3：最短路程問(wèn)題(1)如圖1,已知圓柱體底面圓的半徑為三，高為2,AB,CD分別是兩底面的直徑，AD,BC是母線，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)度是。(結(jié)果保留根式)(2)如圖2,有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲(chóng)從頂點(diǎn)A要爬到頂點(diǎn)B,那么這只昆蟲(chóng)爬行的最短距離為。（圖2）（圖（圖2）例4：航海問(wèn)題(1)一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)小時(shí)后，它們相距海里.(2)(深圳)如圖1,某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)試說(shuō)明理由。(圖1) (圖2)(3)如圖2,某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km,那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)例5：網(wǎng)格問(wèn)題(1)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)如圖，正方形網(wǎng)格中的^ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則4ABC是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)(3)如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是()A.25B.C.9D.

例6：（1）（2）\\CB（圖1）圖形問(wèn)題——1.7,B\CA如圖1,求該四邊形的面積（2010四川宜賓）如圖2,已知（圖2）在4例6：（1）（2）\\CB（圖1）圖形問(wèn)題——1.7,B\CA如圖1,求該四邊形的面積（2010四川宜賓）如圖2,已知（圖2）在4ABC中，NA二/\///\/DACB（圖3）45AC=V2,AB=\/3+1,則邊BC的長(zhǎng)B12D413A（圖1） （圖2）（3）某公司的大門如圖所示，其中四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，上部是以AD為直徑的半圓，其中AB二m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為m,寬為m,問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)公司的大門并說(shuō)明你的理由（4）（（4）（太原）將一根長(zhǎng)24cm的筷子置于地面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為hem,則h的取值范圍【中考鏈接】（2010廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將^ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE,則BE的長(zhǎng)為（A）4cm（B）5cm（C）6cm（D）10cm（2010山東荷澤）（本題滿分8分）如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,BD是/ABC的平分線，CD=5cm,求AB的長(zhǎng).如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形：①使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、屈、＜5（在圖甲中畫一個(gè)即可）；②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個(gè)即可）.TOC\o"1-5"\h\z（2010廣東湛江）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）,2,3 ,3,4 ,4,5 ,5,6（2010四川瀘州）在4ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,則該三角形為（ ）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形（2010遼寧丹東市）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt^ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt^ACD,再以Rt^ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt^ADE,…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 .EF（2010廣西南寧）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,AABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系式：（A）a<c<b（B）a<b<c（C）c<a<b（D）c<b<a（2010湖北孝感）（本題滿分10分）［問(wèn)題情境］勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語(yǔ)言。［定理表述］請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）；（3分）［嘗試證明］以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）,請(qǐng)你利用圖2,驗(yàn)證勾股定理；（4分）［知識(shí)拓展］利用圖2中的直角梯形，我們可以證明a+b<<2.其證明步驟如下：cBC=a+b,AD=。又???在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即，.二"b<五c勾股定理難題集錦：在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要.----康拄爾1、如圖，四邊形ABCD中，NACB=90O,CD，AB于點(diǎn)D,若AD=8,BD=2,求CD的(Cantor)勺長(zhǎng)度。\A 1.如圖，P是等邊三角形AABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC,以BP為