概率統(tǒng)計(jì)學(xué)-二維隨機(jī)變量及其分布

第三章

二維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際問(wèn)題中,試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述.例如用溫度和風(fēng)力來(lái)描述天氣情況.通過(guò)對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來(lái)研究鋼的成分.要研究這些隨機(jī)變量之間的聯(lián)系,就需考慮若干個(gè)隨機(jī)變量,即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律——多維分布.1§3.1二維隨機(jī)變量及其分布定義

設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，則稱(chēng)二維向量(X,Y)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)討論：二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體的概率特性其中每一個(gè)隨機(jī)變量的概率特性與整體的概率特性之間的關(guān)系2二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任何一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y),事件定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)F(x,y)，稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，即(記為)的概率3分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(diǎn)(x,y)表示二維隨機(jī)變量(X,Y)的一組可能的取值，則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下圖所示的角形區(qū)域的概率xy(x,y)4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)xy(x,y)xy5xyxy-6固定x,對(duì)任意的y1<y2,F(x,y1)F(x,y2)固定y,對(duì)任意的x1<x2,F(x1,y)F(x2,y)F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事實(shí)上

F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)=P(a<X

b,c<Yd)abcd對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)對(duì)于任意的a<b,c<d7例1設(shè)討論F(x,y)能否成為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解xyx+y=1?(0,0)?(2,0)?(2,2)?(0,2)故F(x,y)不能作為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)8注意對(duì)于二維隨機(jī)變量xyac(a,c)(a,+)(+,+)(+,c)9聯(lián)合概率分布設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為則稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律，也簡(jiǎn)稱(chēng)概率分布或分布律顯然，10定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè),則稱(chēng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其與每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率特性11二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù)反之，已知分布函數(shù)也可以求出其聯(lián)合分布律12例3把三個(gè)（有區(qū)別的）球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每盒容納的球數(shù)無(wú)限.記X為落入1號(hào)盒的球數(shù)，Y為落入2號(hào)盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律；

P(X=Y),P(Y>X)。解聯(lián)合分布律的求法：利用乘法公式常用列表的方法給出13(1)本例中，其聯(lián)合分布如下表所示14XYpij0123012300000015(2)由表可知16例4把3個(gè)紅球和3個(gè)白球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中,每盒容納的球數(shù)無(wú)限,記X為落入1號(hào)盒的白球數(shù),Y為落入1號(hào)盒的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布律.解見(jiàn)下表17XYpij0123012318二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率特性定義

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為

F(x,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y),

使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,y有則稱(chēng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，

f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為聯(lián)合密度或概率密度19聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)除了分布函數(shù)的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)f(x,y)反映了(X,Y)在(x,y)附近單位面積的區(qū)域內(nèi)取值的概率對(duì)每個(gè)變?cè)B續(xù)，在聯(lián)合密度的連續(xù)點(diǎn)處20P(X=a,-<Y<+

)=0P(-<X<+,Y=a)=0若G

是平面上的區(qū)域，則P(X=a,Y=b)=021例6設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k

為常數(shù).求常數(shù)k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);22y=x10xy解令D(1)23x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.524當(dāng)0

x<

1,0y<

x時(shí)(下半三角形)，1(3)當(dāng)x<0或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0當(dāng)0

x<

1,

x

y<1時(shí)(上半三角形)

，v=u10uv25當(dāng)0

x<

1,

y1時(shí)，v=u10uv126當(dāng)x

10y<1時(shí)，v=u10uv1當(dāng)x

1y1時(shí)，27F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，28常見(jiàn)的連續(xù)型二維隨機(jī)變量的分布設(shè)區(qū)域G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A(>0)若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(chēng)(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布區(qū)域G上的均勻分布，記作U(G)29G1G,設(shè)G1的面積為A1,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,則邊平行于坐標(biāo)軸的矩形域上的均勻分布的邊緣分布仍為均勻分布30若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(chēng)(X,Y)服從參數(shù)為1,12,2,22,的正態(tài)分布,記作(X,Y)~N(1,12；2,22；

)其中1,2>0,-1<<1二維正態(tài)分布3132令B

為正定矩陣，33則3435二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)可以求得邊緣分布函數(shù),逆不真.xyxxyy36例1

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A,B,C

為常數(shù).確定A,B,C；

求X和Y的邊緣分布函數(shù)；求P(X>2)37解(1)(2)38(3)可以將二維隨機(jī)變量及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到n

維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)39定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè),則稱(chēng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其與每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布40聯(lián)合概率分布(聯(lián)合分布律)設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為則顯然，二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)41二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律已知聯(lián)合分布律可以求出邊緣分布律；已知邊緣分布律一般不能唯一地求出聯(lián)合分布律42例3把三個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每盒容納的球數(shù)無(wú)限.記X

為落入1號(hào)盒的球數(shù)，Y

為落入2號(hào)盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律；解常用列表的方法給出43XYpij01230123000000Pi?1p?j44例4把3個(gè)紅球和3個(gè)白球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中,每盒容納的球數(shù)無(wú)限,記X為落入1號(hào)盒的白球數(shù),Y為落入1號(hào)盒的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.解見(jiàn)下表45XYpij01230123pi?1p?j46本例與前例有相同的邊緣分布，但它們的聯(lián)合分布卻不同.故聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布但邊緣分布卻不能唯一確定聯(lián)合分布47二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任何一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y),事件定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)F(x,y)，稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，即(記為)的概率48二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)可以求得邊緣分布函數(shù),逆不真.xyxxyy49定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè),則稱(chēng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其與每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布50聯(lián)合概率分布(聯(lián)合分布律)設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為則顯然，二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)51二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律已知聯(lián)合分布律可以求出邊緣分布律；已知邊緣分布律一般不能唯一地求出聯(lián)合分布律52二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布定義

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為

F(x,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y),

使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,y有則稱(chēng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，

f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為聯(lián)合密度或概率密度53邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)與離散型隨機(jī)變量相同，已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.X的邊緣分布：X的邊緣密度：Y的邊緣分布：Y的邊緣密度：二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(chēng)(X,Y)服從參數(shù)為1,12,2,22,

的正態(tài)分布,記作(X,Y)~N(1,12;2,22；

)

其中1,2>0,-1<<1正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布5455即即5657例

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k

為常數(shù).求常數(shù)k;

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)前兩問(wèn)上次課已經(jīng)講過(guò)：（1）k=8;y=x10xy58F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，(2)59(3)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,

1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=60F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，6162也可以直接由聯(lián)合密度求邊緣密度，再積分求邊緣分布函數(shù)。

v=u10uv1邊緣密度和邊緣分布的求解邊緣密度求解：

(1)利用聯(lián)合分布函數(shù)，求出邊緣分布函數(shù)，再求導(dǎo)。(2)對(duì)聯(lián)合密度積分。通常（2）更簡(jiǎn)單。邊緣分布求解：64二維隨機(jī)變量的條件分布——將條件概率的概念推廣到隨機(jī)變量設(shè)已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布若則稱(chēng)為在X=xi

的條件下，Y的條件分布律二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律

65若則稱(chēng)為在Y=yj

的條件下，X的條件分布律類(lèi)似于乘法公式66類(lèi)似于全概率公式67例（續(xù)）把三個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每盒容納的球數(shù)無(wú)限.記X為落入1號(hào)盒的球數(shù)，Y

為落入2號(hào)盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律；

P(X=i|Y=0

)與P(Y=j|X=2

);聯(lián)合分布律的求法：由乘法公式已計(jì)算過(guò)68由問(wèn)題的意義可知

X012369

Y0170例

一射手進(jìn)行獨(dú)立射擊,已知每次他擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊一直進(jìn)行到擊中兩次目標(biāo)為止.令X

表示他首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊的次數(shù),Y

表示他總共進(jìn)行射擊的次數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊緣分布律.解——第n次擊中目標(biāo)，前

n–1次恰有一次擊中目標(biāo)故聯(lián)合分布律為71邊緣分布律為72條件分布律為對(duì)每個(gè)n,對(duì)每個(gè)m,

二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)X和Y的邊緣分布函數(shù)分別記為FX

(x)，F(xiàn)Y

(y)；邊緣密度函數(shù)分別記為fX(x)，fY(y)

問(wèn)題：首先尋找給定Y=y時(shí)，X的條件分布73xy-yyy設(shè)74xy-yy75定義若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，fY(y)在點(diǎn)y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱(chēng)為Y=y

的條件下X

的條件分布函數(shù)，記作稱(chēng)為Y=y

的條件下X

的條件概率密度函數(shù)，記作76類(lèi)似地,若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，fX(x)在點(diǎn)x處連續(xù)且fX(x)>0,則稱(chēng)為X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù)，記作稱(chēng)為X=x

的條件下Y

的條件概率密度函數(shù)，記作77注意：對(duì)于每一fY(y)>0的y處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是y的函數(shù),x

是常數(shù),對(duì)于每一fX(x)>0的x處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是x的函數(shù),y

是常數(shù),

類(lèi)似于乘法公式：78類(lèi)似于全概率公式類(lèi)似于Bayes公式79例設(shè)求解y=x1180y=x11當(dāng)0<y<1時(shí)，y當(dāng)0<x<1時(shí)，y=x11x81例

已知求82解y=x11當(dāng)fX(x)>0時(shí)，即0<x<1時(shí)，當(dāng)fX(x)=0時(shí)，f(x,y)=0故83x+y=11y=x10.5y=x110.584y=x110.5（注意：積分區(qū)域）85§3.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性——將事件的獨(dú)立性推廣到隨機(jī)變量定義設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若對(duì)于任何則稱(chēng)隨機(jī)變量X

和Y相互獨(dú)立

兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性實(shí)數(shù)

x,y都有86由定義可知二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立87二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立即二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立二維連續(xù)型隨機(jī)變量(