湖南省懷化市北斗溪中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省懷化市北斗溪中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)與(且)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象可能是參考答案：D略2.一個(gè)由圓柱和正四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．4π+4 B． C．2π+4 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知可得：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐和圓柱的組合體，代入錐體和柱體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐和圓柱的組合體，四棱錐的底面面積為：2×2=4，高為1，故體積為：，圓柱的底面半徑為1，高為2，故體積為：2π，故組合體的體積V=，故選：D3.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.若雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，線段被拋物線的焦點(diǎn)分成7:5的兩段，則此雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：5.已知定義在R上的函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)時(shí)，的值為（

）

A．2

B．－2

C．4

D．－4參考答案：B6.過雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A略7.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的定義與余弦定理可得到a2與c2的關(guān)系，從而可求得該雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)該雙曲線的離心率為e，依題意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=4a2，不妨設(shè)|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|?|PF2|=y，上式為：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|?cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||?||?cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|?|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故選：D．8.已知等差數(shù)列中，,則的值是（

）A．15

B．30

C．31

D．64參考答案：A略9.已知，，，則(

)A．

C．

D.參考答案：【答案】B【解析】由，，，易知B正確.10.設(shè)，則數(shù)列的前2015項(xiàng)的和=

A.0

B.2014

C.2015

D.2016參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的體積是，表面積是． 參考答案：,+1+.【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何． 【分析】由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△ABC是邊AC=2，邊AC上的高OB=1，PO=為底面上的高．據(jù)此可計(jì)算出表面積和體積． 【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐， 其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△ABC是邊AC=2， 邊AC上的高OB=1，PO=為底面上的高． 于是此幾何體的體積V=S△ABCPO=×2×1×=， 幾何體的表面積S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+． 故答案為：，+1+． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵． 12.如圖，函數(shù)（其中，，）與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)、、滿足，，為的中點(diǎn)，，則的值為____________參考答案：13.若f（x）=2x+a?2﹣x為奇函數(shù)，則a=

．參考答案：-1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意，由f（x）為奇函數(shù)，可得f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，對(duì)其變形可得（a+1）（2x+2﹣x）=0恒成立，分析可得必有a+1=0，即可得答案．【解答】解：對(duì)于f（x）=2x+a?2﹣x，易得其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若f（x）=2x+a?2﹣x為奇函數(shù)，則必有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即2﹣x+a?2x=﹣（2x+a?2﹣x）恒成立，變形可得（a+1）（2x+2﹣x）=0恒成立，則必有a+1=0，即a=﹣1，故答案為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，注意奇偶性針對(duì)定義域中任意的變量，即f（﹣x）=﹣f（x）或f（﹣x）=f（x）在定義域中恒成立．14.在等比數(shù)列中，，，令，則取最大值時(shí)，的所有可能的取值應(yīng)該是

。參考答案：3和515.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若，則∠C的大小為

．參考答案：∵∴根據(jù)正弦定理可得∵∴，即∵∴故答案為.

16.若函數(shù),當(dāng)，時(shí)有恒成立，則a的取值范圍是

.

參考答案：(2,3]由恒成立，得函數(shù)是增函數(shù)，∴，解得．故答案為．

17.已知函數(shù),則的值為__________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有an，Sn，an2成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式．專題：計(jì)算題．分析：（1）根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1=1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．（2）由（1）知，因?yàn)椋?，從而得證．解答：解：（1）由已知：對(duì)于n∈N*，總有2Sn=an+an2①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n=1時(shí)，2S1=a1+a12，解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查放縮法．從而綜合考查了學(xué)生分析問題的能力．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，.求證:直線AB的斜率為定值.參考答案：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為．由拋物線且經(jīng)過點(diǎn)，得，所以拋物線的方程為．…………4分（2）因?yàn)椋?，所以，所以直線與的傾斜角互補(bǔ)，所以．………6分依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，將其代入拋物線的方程，整理得．設(shè)，則，，所以．………………8分以替換點(diǎn)坐標(biāo)中的，得．………………10分所以．所以直線的斜率為．…12分20.（12分）已知函數(shù)是的一個(gè)極值點(diǎn).（1）若是的唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在正數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1），

是極值點(diǎn)，故，

是唯一的極值點(diǎn)恒成立或恒成立由恒成立得，又

由恒成立得，而不存在最小值，不可能恒成立.

………………4分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，；

，

.在遞減，在上遞增.當(dāng)時(shí)，，；，；

，.在、上遞增，在上遞減。當(dāng)時(shí)，在、上遞增，在遞減。時(shí)，在上遞增.

………………8分（3）當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由（2）知需或，當(dāng)時(shí)，，而，故存在使得，這樣時(shí)的值域?yàn)閺亩芍獫M足題意當(dāng)時(shí)，得或者解得；當(dāng)時(shí)，可得滿足題意.的取值范圍或.

………………12分

21.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)若為曲線，的公共點(diǎn)，求直線的斜率；(Ⅱ)若分別為曲線，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積.參考答案：（Ⅰ）消去參數(shù)得曲線的普通方程.……（1）

…………1分

將曲線化為直角坐標(biāo)方程得.……（2）……3分

由得，即為直線的方程，故直線的斜率為.………5分

注：也可先解出…1分，再求的斜率為.

…1分

（Ⅱ）由知曲線是以為圓心，半徑為1的圓；由知曲線是以為圓心，半徑為2的圓.

…………6分

因?yàn)?，所以?dāng)取最大值時(shí)，圓心在直線上，

所以直線（即直線）的方程為：.………7分

因?yàn)榈街本€的距離為，

…………8分

又此時(shí)，

…………9分

所以的面積為.……10分22.（本題滿分13分）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)F2斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，求證：為定值．參考答案：（Ⅰ）由題意得，，……………2分所以，，所求橢圓方程為．

…