2021-2022學(xué)年安徽省合肥市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是A．

B．

C．D．參考答案：A2.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則?=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由拋物線y2=4x與過(guò)其焦點(diǎn)（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)坐標(biāo)，則?=x1?x2+y1?y2，由韋達(dá)定理可以求得答案．【解答】解：由題意知，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴直線AB的方程為y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1?y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=k2[x1?x2﹣（x1+x2）+1]'則?=x1?x2+y1?y2=x1?x2+k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過(guò)其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題．3.直線的傾斜角是

(

)

A．150o

B．135o

C．120o

D．30o參考答案：C直線斜率，則傾斜角為120o．4.連擲兩次骰子得到點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量的夾角為的概率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略5.函數(shù)f(x)=2sinxcosx是

（

）

(A)最小正周期為2π的奇函數(shù)

（B）最小正周期為2π的偶函數(shù)(C)最小正周期為π的奇函數(shù)

（D）最小正周期為π的偶函數(shù)參考答案：C本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期為π的奇函數(shù)

6.若（3x2﹣）n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n取得最小值時(shí)常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．﹣135 C． D．135參考答案：C【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的次數(shù)為0即可求得正整數(shù)n取得最小值時(shí)常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2時(shí)滿足題意，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為：；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，注重分析與計(jì)算能力的考查，屬于中檔題．7.下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)圖是（

）參考答案：D略8.已知且恒成立，則k的最大值是（

）A、4

B、8

C、9

D、25參考答案：C略9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程.比如在表達(dá)式中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程，則（

）A. B.3 C.6 D.參考答案：A由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），可得要求的式子，令，則兩邊平方得，得，即，解得舍去，故選A.10.設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是()．A．若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)B．若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，則d＜0C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*，均有Sn＞0D．若對(duì)任意n∈N*，均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數(shù)列{an}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的兩根，則a4a7=

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求得a1a10的值，進(jìn)而根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知a4a7=a1a10求得答案．【解答】解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的兩根，∴a1a10=﹣2∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列∴a4a7=a1a10=﹣2故答案為：﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)等比中項(xiàng)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．12.設(shè)（x，y）在映射f下的象是（,則(-4,2)在映射f下的原象是

參考答案：(-1,-3)13.圓心在軸上，且與直線相切于點(diǎn)（1，1）的圓的方程為_(kāi)___________________參考答案：14.△ABC的三邊滿足a2+b2=c2-ab,則△ABC的最大內(nèi)角為().

A.60° B.90° C.120° D.150°參考答案：A略15.若球O1、球O2的表面積之比，則它們的半徑之比=_____.參考答案：略16.已知一個(gè)球的表面積為4cm3，則它的半徑等于

cm．參考答案：117.已知x、y、x+y成等差數(shù)列，x、y、xy成等比數(shù)列，且0＜logmxy＜1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：m＞8【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由條件可得y=2x，y=x2，由此求得x=2，y=4，xy=8，從而得到0＜logm8＜1，則答案可求．【解答】解：∵x、y、x+y成等差數(shù)列，∴2y=2x+y，即y=2x．∵x、y、xy成等比數(shù)列，∴y2=x2y，即y=x2．綜上可得，x=2，y=4，xy=8．再由0＜logmxy＜1，可得0＜logm8＜1，∴m＞8．故答案為：m＞8．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，R.（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由;參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）為既奇又偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)?！痉治觥浚?）由定義法證明函數(shù)是減函數(shù)；（2）對(duì)，，三種情況進(jìn)行討論，從而得到奇偶性。【詳解】（1）證明：任取，假設(shè)則因?yàn)?，所以，又，所以所以，即所以?dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，且所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性證明以及奇偶性，是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，屬于一般題。19.如圖，四棱錐的底面為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)面底面．（）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面．（）求斜線與平面所成角的正弦值．（）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值．參考答案：（）見(jiàn)解析．（）．（）．（）證明：∵側(cè)面是正三角形，中點(diǎn)為，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，∴平面．（）連接，設(shè)點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，平面的法向量，設(shè)斜線與平面所成角為，則．（）設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量為，∴，，，取，，又∵平面的法向量，∴，∴，解出（舍去）或，此時(shí)．20.已知命題：函數(shù)是增函數(shù)，命題：。（1）寫(xiě)出命題的否命題；并求出實(shí)數(shù)的取值范圍，使得命題為真命題；（2）如果“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

參考答案：

略21.在中，角的對(duì)邊分別是，.（1）求角；（2）若，的面積，求的值.參考答案：（1)由已知得，∴由正弦定理得，∴，故.由，得.(2)在中，，∴，故.①又，∴.②聯(lián)立①②式解得.22.已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx﹣2對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，證明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6C：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）由f（x）=ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）=．然后分a≤0與a＞0兩種情況討論，從而得到f′（x）的符號(hào)，可得f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，最后綜合可得答案；（2）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，由（1）的討論可得a=1．將不等式f（x）≥bx﹣2化簡(jiǎn)整理得到1+﹣≥b，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+﹣，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，得到[g（x）]min=1﹣]．由此即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F（t）=，其中t＞e﹣1．利用導(dǎo)數(shù)研究F（x）的單調(diào)性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函數(shù)．從而得到當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（y）即＞，變形整理即可得到不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．（2）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴根據(jù)（1）的結(jié)論，可得a=1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，兩邊都除以正數(shù)x，得1+﹣≥b，令g（x）=1+﹣，則g′（x）=﹣﹣=﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上遞減，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上遞增，∴g（x）min=g（e2）=1﹣，可得b≤1﹣，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（﹣∞，1﹣]．（3）令F（t）=，其中t＞e﹣1可得F'（t）==再設(shè)G（t）=ln（1+t）﹣，可得G'（t）=+＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函數(shù)，可得G（t）＞G（e﹣1）=lne﹣=1﹣＞0因此，F(xiàn)'（t）=＞0在（e﹣1，+∞）上恒