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文檔簡介
2022年北京第四十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)O是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn),且,則△AOB與△AOC的面積之比為(
)
A.2
B.
C.1
D.參考答案:D略2.將個(gè)正整數(shù)、、、…、()任意排成行列的數(shù)表.對(duì)于某一個(gè)數(shù)表,計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)、()的比值,稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”.當(dāng)時(shí),數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為A.
B.
C.
D.參考答案:D3.球O的半徑為1,該球的一小圓O1上兩點(diǎn)A、B的球面距離為,則=
A.
B.
C.
D.參考答案:B略4.已知向量a=(5,-3),b=(-6,4),則a+b=
(A)(1,1)
(B)(-1,-1)
(C)(1,-1)
(D)(-1,1)參考答案:D略5.若且則的值為(
)A.B.C.D.參考答案:C略6.設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,則“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(
)A.充要條件 B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件 D.既不充分也不必要的條件參考答案:C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專題】常規(guī)題型.【分析】由題意a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,若a∥b,l與a垂直,且斜交,推不出l一定垂直平面α,利用此對(duì)命題進(jìn)行判斷;【解答】解:∵a、b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,“∵l⊥a,l⊥b”,若a∥b,l可以與平面α斜交,推不出l⊥α,若“l(fā)⊥α,∵a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,∴l(xiāng)⊥a,l⊥b,∴“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要而不充分的條件,故選C.【點(diǎn)評(píng)】此題以平面立體幾何為載體,考查了線線垂直和線面垂直的判定定了,還考查了必要條件和充分條件的定義,是一道基礎(chǔ)題.7.非零向量與,對(duì)于任意的的最小值的幾何意義為
.參考答案:8.已知集合,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D9.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著,它在集合學(xué)中的研究比西方早1千年,在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑,已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示,則該鱉臑的外接球的表面積為()A.200π B.50π C.100π D.π參考答案:B【考點(diǎn)】LR:球內(nèi)接多面體;L7:簡單空間圖形的三視圖.【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形,一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐,擴(kuò)展為長方體,長方體的對(duì)角線的長,就是外接球的直徑,然后求其的表面積.【解答】解:由三視圖復(fù)原幾何體,幾何體是底面是直角三角形,一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐;擴(kuò)展為長方體,也外接與球,它的對(duì)角線的長為球的直徑:=5該三棱錐的外接球的表面積為:=50π,故選B.10.已知函數(shù),函數(shù),若方程恰好有4個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)A. B.C. D.參考答案:D【分析】當(dāng)時(shí),,求導(dǎo),由可得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,由,可得.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因此,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象如圖所示.若函數(shù)與恰好有4個(gè)公共點(diǎn),則,即,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程問題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列,若,則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論,已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,若=
,則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.36.參考答案:
由等差數(shù)列的的和,則等比數(shù)列可類比為﹒的積;對(duì)求算術(shù)平均值,所以對(duì)﹒求幾何平均值,所以類比結(jié)果為.12.已知函數(shù)f(x)=,若f(x)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.
參考答案:略13.設(shè)互不相等的平面向量組,滿足:①;②,若,則的取值集合為
參考答案:{0,2,}【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法向量的模F1解析:由題意知m最大值為4,當(dāng)m=2時(shí),為以O(shè)A,OB為鄰邊的正方形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量,其模為,當(dāng)m=3時(shí),,其模為2,當(dāng)m=4時(shí),,其模為0,所以的取值集合為{0,2,}..【思路點(diǎn)撥】可先結(jié)合條件由m=2開始逐步分析所求向量的和向量,再求其模即可.14.函數(shù)的值域?yàn)開_______.參考答案:且,∴且,即值域?yàn)榍遥?5.的計(jì)算可采用如圖所示的算法,則圖中①處應(yīng)填的條件是
。參考答案:n≤6?
16.正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,若該正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為,則這個(gè)球的表面積為_________.參考答案:17.已知,且,則當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間是
.參考答案:
或
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.我們國家正處于老齡化社會(huì)中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬,其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí),并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布被制作成如下圖表:(1)若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人?(2)估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比;(3)政府計(jì)劃為80歲及以上長者或生活不能自理的老人每人購買1000元/年的醫(yī)療保險(xiǎn),為其余老人每人購買600元/年的醫(yī)療保險(xiǎn),不可重復(fù)享受,試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.參考答案:(1)抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人,能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人(2)2.75%(3)約為4.51億元試題分析:(1)有圖表得到分層比例,得抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人,能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人;(2)80歲及以上長者有:=11萬人,百分比為:=2.75%;(3)用樣本估計(jì)總體,年度預(yù)算約為4.51億元。試題解析:(1)數(shù)據(jù)整理如下表:健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025
從圖表中知不能自理的80歲及以上長者占比為:=故抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為6人,能自理的80歲及以上長者人數(shù)為10人;
(2)在600人中80歲及以上長者在老人中占比為:=所以80歲及以上長者有:=11萬人用樣本估計(jì)總體,80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為:=2.75%
(3)先計(jì)算抽樣的600人的預(yù)算,其中享受1000元/年的人數(shù)為14+25+20+45+20=125人,享受600元/年的人數(shù)為600﹣125=475人,預(yù)算為:125×1000+475×600=41×104元用樣本估計(jì)總體,全市老人的總預(yù)算為×41×104=4.51×108元:所以政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為4.51億元19.已知橢圓C:的離心率為,F(xiàn)為該橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F任作一直線交橢圓于兩點(diǎn),且的最大值為4.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,若直線AM,AN分別交直線于P,Q兩點(diǎn),求證:.參考答案:解:(Ⅰ)依題意知:,,即;所求橢圓的方程:.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,;(?。┊?dāng)直線斜率不存在時(shí),;直線;所以,同理;即;即;所以.(ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線,,[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]由得:[來源:Z_xx_k.Com]即,,由三點(diǎn)共線得:,同理即,,∴即所以.20.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,圓和的參數(shù)方程分別是(為參數(shù))和(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求圓和的極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)射線:與圓交于點(diǎn)、,與圓交于點(diǎn)、,求的最大值.參考答案:解:(Ⅰ)圓和的普通方程分別是和,∴圓和的極坐標(biāo)方程為,.(Ⅱ)依題意得點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為,,∴,,從而,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“”,取最大值是4.21.已知是公差不為零的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列。求數(shù)列的通項(xiàng);求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案:(1)(舍)
(2)由等比數(shù)列求和公式,略22.已知橢圓C:的離心率為,長軸長為8.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)如圖所示,橢圓C的左頂點(diǎn)為D,右焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求四邊形ADBF面積S的最大值.參考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)根據(jù)離心率和長軸長,結(jié)合,求得,由此求得橢圓的方程.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為
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