高中數(shù)學(xué) 平面及其基本性質(zhì) 新人教A必修2

日常生活和學(xué)習(xí)中，總離不開(kāi)幾何圖形，這些幾何圖形大致可分為兩種：一種是我們?cè)诔醪揭蜒芯康钠矫鎴D形，這種圖形上的點(diǎn)都在同一平面上，如三角形、圓……另一種圖形上的點(diǎn)不全在一個(gè)平面上，如廠房、書(shū)桌等。同學(xué)們以后走上工作崗位后，只知道平面幾何知識(shí)顯然不夠，這就要進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)空間圖形。平面幾何研究的對(duì)象是平面圖形（點(diǎn)、線(xiàn)以及組合）的形狀、大小、位置關(guān)系，而立體幾何研究的對(duì)象是空間圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。兩者的區(qū)別：平面圖形——所研究的對(duì)象都在同一平面內(nèi)；空間圖形——所研究的對(duì)象不一定在同一平面內(nèi)。兩者的關(guān)系：前者為后者的特殊情形。由上可知，在解決立體幾何問(wèn)題的時(shí)候，要利用立體幾何的有關(guān)概念和性質(zhì)，而不能隨便把平面幾何的性質(zhì)用于立體幾何問(wèn)題；只有所研究的對(duì)象在同一平面上的時(shí)候，才能利用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)。但是，許多空間問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，這里就涉及到數(shù)學(xué)中的重要思想——轉(zhuǎn)化思想。.平面及其基本性質(zhì)PlanesandTheirBasicPropertiesone海南省洋浦中學(xué)：趙生碧.實(shí)例引入觀察.實(shí)例引入觀察.

實(shí)例引入觀察.生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類(lèi)似平面形的物體嗎？引入新課

幾何里所說(shuō)的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的，但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的．.DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面記作：平面的表示平面記作：平面

常把希臘字母α、β、γ等寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母作為這個(gè)平面的名稱(chēng)．.平面的畫(huà)法我們常常把水平的平面畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，用平行四邊形表示平面．

DCAB.平面的畫(huà)法【思考1】下列平行四邊形表示的平面的大致位置如何？.【思考2】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，你認(rèn)為下列哪個(gè)圖形的立體感強(qiáng)？你能指出其畫(huà)法要點(diǎn)嗎？(1)畫(huà)出交線(xiàn)；(2)被遮擋部分畫(huà)虛線(xiàn).平面的畫(huà)法.ADCBEF被遮擋部分用虛線(xiàn)表示為了增強(qiáng)立體感，常常把被遮擋部分用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái)．平面的畫(huà)法.AlABlAl點(diǎn)A在直線(xiàn)l上．點(diǎn)A不在直線(xiàn)l上．Al直線(xiàn)l在平面上．直線(xiàn)l在平面上．平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l．【討論】點(diǎn)線(xiàn)平面的位置關(guān)系有哪些？.AB點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作．記作．點(diǎn)B在平面外，讀作讀作點(diǎn)與平面的位置關(guān)系平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合．點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外都可以用元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來(lái)表示．.如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系．a(chǎn)lABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，【鞏固深化，發(fā)展思維】.【探究】：平面的基本性質(zhì)11:如果直線(xiàn)l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，那么直線(xiàn)l是否在平面α內(nèi)?2:如圖，設(shè)直線(xiàn)l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)A，點(diǎn)B為直線(xiàn)l上另一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B逐漸與平面α靠近時(shí)，直線(xiàn)l上其余各點(diǎn)與平面α的位置關(guān)系如何變化？．AABα.3:如圖，當(dāng)點(diǎn)A、B落在平面α內(nèi)時(shí)，直線(xiàn)l上其余各點(diǎn)與平面α的位置關(guān)系如何？由此可得什么結(jié)論？公理1

如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi).【思考】公理1如何用符號(hào)語(yǔ)言表述？它有什么理論作用？．．ABα.2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）直線(xiàn)AC1在平面CC1B1B內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線(xiàn)為OO1。BB1D1A1DACC1OO1.探究新知

（一）：平面的基本性質(zhì)2

思考1:空間中，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，即兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，那么兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面？經(jīng)過(guò)三點(diǎn)、四點(diǎn)可以作多少個(gè)平面？思考2:照相機(jī)，測(cè)量?jī)x等器材的支架為何要做成三腳架？.思考3:經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)都能確定一個(gè)平面嗎？由此可得什么結(jié)論？公理2

過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

．．．ABC進(jìn)一步思考

:公理2可簡(jiǎn)述為“不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，它有什么理論作用？.探究新知

（二）:平面的基本性質(zhì)2

思考4:如圖，把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？BB思考5:如果兩條不重合的直線(xiàn)有公共點(diǎn)，則其公共點(diǎn)只有一個(gè).如果兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn)，其公共點(diǎn)有多少個(gè)？這些公共點(diǎn)的位置關(guān)系如何？.觀察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的兩個(gè)相交平面有沒(méi)有公共直線(xiàn)嗎？觀察

這條公共直線(xiàn)B’C’叫做這兩個(gè)平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交線(xiàn)．

另一方面，相鄰兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一個(gè)公共點(diǎn)B’，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)B’C’..思考6:根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論？P公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)..公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)．作用：①判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)．②判斷多點(diǎn)共線(xiàn)的依據(jù)．lP平面公理.理論遷移例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）直線(xiàn)AC1在平面A1B1C1D1內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線(xiàn)為OO1；（3）由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；（4）平面AB1C1與平面AC1D重合..BB1D1A1DACC1OO1（1）直線(xiàn)AC1在平面A1B1C1D1內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線(xiàn)為OO1；（3）由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；（4）平面AB1C1與平面AC1D重合..1、求證：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一條平面.

2、求證：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面.

3、求證：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面.

【探究】.例2：直線(xiàn)AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，證明這三條直線(xiàn)共面.理論遷移證明1：∵AB、AC相交，∴AB、AC確定一個(gè)平面，設(shè)為α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BCα因此AB、AC、BC都在平面α內(nèi).即AB、AC、BC共面.證明2：∵AB、AC相交；∴AB、AC確定一個(gè)平面α∴點(diǎn)A、B、C∈α，且不共線(xiàn)；∵AB、BC相交∴AB、BC確定一個(gè)平面β∴點(diǎn)