華南理工大學(xué)本科基礎(chǔ)工程34～38

3.4文克勒地基上梁的計算(jìsuàn)一、無限長梁的解答精品資料1.微分方程式對圖（b）的梁的微單元，考慮(kǎolǜ)豎向的靜力平衡條件得：由此得根據(jù)材料力學(xué)，梁撓度w的微分方程式為（3-9）將上式連續(xù)對x取兩次導(dǎo)數(shù)后，利用關(guān)系可得精品資料上式是基礎(chǔ)梁的撓曲微分方程，對哪一種(yīzhǒnɡ)地基模型都適用。采用文克勒地基模型時，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，地基沉降等于梁的撓度：即s=w。對梁的無荷載部分（q=0），上式變?yōu)檫@就是文克勒地基上梁的撓曲微分方程式。上式還可寫成如下形式：（3-13）式中——梁的柔度特征值，，它的倒數(shù)1/稱為特征長度。特征長度愈大（或值愈小），則梁相對愈剛。精品資料以上四階常系數(shù)線性常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的通解為：（3-14）其中待定的積分常數(shù)C1、C2、C3和C4可按梁兩端的邊界條件確定。精品資料2.集中(jízhōng)荷載作用下的解答（1）豎向集中(jízhōng)力F0作用下坐標原點O：F0的作用點a）x→∞時，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，對梁的右半部（x>0）（3-15）精品資料b），由此可得C3＝C4＝C。則式（3-15）變?yōu)椋?-16）c）在O點處緊靠F0的左、右側(cè)(yòucè)把梁切開，則作用于O點左右兩側(cè)截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根據(jù)符號規(guī)定，在右側(cè)(yòucè)截面有V=－F0/2。F0+V符號(fúhào)規(guī)定精品資料由此得。代入式（3-16）

（3-17）將上式對x依次取一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)，就可以求得梁截面的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。將所得公式歸納如下：精品資料（3-18）式中

這四個系數(shù)都是的函數(shù)，其值也可由表3-1查得。對F0左邊(zuǒbian)的截面（x＜0），需用x的絕對值代入計算，計算結(jié)果為w和M時正負號不變，但和V則取相反的符號?；追戳Π磒=kw計算。w，，M,V的分布圖如右圖所示。精品資料（2）集中(jízhōng)力偶M0作用下坐標原點O：M0的作用點a）x→∞時，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，對梁的右半部（x>0）

（3-15）b）x=0時，w→0，由此可得C3＝0。于是精品資料c）在O點處緊靠(jǐnkào)M0的左、右側(cè)把梁切開，則作用于O點左右兩側(cè)截面上的彎矩均等于M0之半，且為逆時針方向。根據(jù)符號規(guī)定，在右側(cè)截面有M=M0/2。由此得。于是（3-20）M0M0/2+M符號(fúhào)規(guī)定精品資料求w對x的一、二和三階導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)后，所得的式子歸納如下：（3-21）式中系數(shù)Ax、Bx、Cx和Dx與式（3-19）相同。當計算截面位于M0的左邊時，式（3-21）中的x取絕對值，w和M取與計算結(jié)果相反的符號，而和V的符號不變。w，，M，V的分布圖如右圖所示。精品資料（3）多個集中荷載作用(zuòyòng)計算無限長梁上任意截面的w、、M和V時，按式（3-18）或（3-21）分別計算各荷載單獨作用(zuòyòng)時在該截面引起的效應(yīng)，然后疊加得到共同作用(zuòyòng)下的總效應(yīng)。注意：在每一次計算時，均需把坐標原點移到相應(yīng)的集中荷載作用(zuòyòng)點處。式中系數(shù)Aa、Cb、Dc等的腳標表示其所對應(yīng)的值分別為、、。精品資料二、有限長梁的計算有限長梁的計算有多種方法：①以“初參數(shù)(cānshù)法”確定式（3-14）中的積分常數(shù)；②以上面導(dǎo)得的無限長梁的計算公式為基礎(chǔ)，利用疊加原理來求得滿足有限長梁兩自由端邊界條件的解答。第①種方法可參看有關(guān)書籍第②種方法的原理如下：精品資料有限長梁（梁Ⅰ）用無限長梁（梁Ⅱ）來代替時，則外荷載將在梁Ⅱ的A、B兩截面（相應(yīng)于的梁Ⅰ兩端）產(chǎn)生撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩Ma、Mb和剪力Va、Vb。但梁Ⅰ的A、B兩自由端并不存在彎矩和剪力，為此，需在梁Ⅱ緊靠A、B兩截面的外側(cè)各施加一對附加荷載FA、MA和FB、MB（稱稱為(chēnɡwéi)梁端邊界條件力，其正方向如圖所示），要求這對附加荷載在A、B兩截面產(chǎn)生的彎矩和剪力分別為-Ma、-Va及-Mb、-Vb：精品資料

解上述(shàngshù)方程組得：精品資料式中其中sh表示雙曲線正弦函數(shù)；El及Fl值按值由表3-1查得。當作用于有限(yǒuxiàn)長梁上的外荷載對稱時，Va=-Vb，Ma=Mb，上式可簡化為：精品資料這樣，梁Ⅱ在已知荷載(hèzài)和梁端邊界條件力的共同作用下，A、B兩截面的彎矩和剪力均為零，滿足原來梁Ⅰ兩端為自由端的邊界條件。其效果相當于把梁Ⅱ在A和B處切斷而成為梁Ⅰ，梁ⅡAB段的內(nèi)力與變形情況就完全等同于梁Ⅰ。精品資料有限長梁Ⅰ上任意(rènyì)點的w、、M、V的計算步驟：（1）按式（3-18）和式(3-21)以疊加法計算已知荷載在梁Ⅱ上相應(yīng)于梁Ⅰ兩端的A和B截面引起的彎矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb;（2）按式（3-24）或（3-25）計算梁端邊界條件力FA、MA和FB、MB；（3）再按式（3-18）和（3-21）以疊加法計算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，梁Ⅱ上相應(yīng)于梁Ⅰ所求截面處的w、、M和V值。精品資料三、地基上梁的柔度指數(shù)是表征文克勒地基上梁的相對剛?cè)岢潭鹊囊粋€無量綱值，叫做柔度指數(shù)。當時，梁的剛度為無限大，可視為剛性梁；而當時，梁是無限長的，可視為柔性梁。一般認為可按值的大小將梁分為下列三種：短梁（剛性梁）中長梁（有限剛度梁）長梁（柔性梁對短梁，可采用基底反力呈直線變化的簡化(jiǎnhuà)方法計算；對長梁，可利用無限長梁或半無限長梁的解答計算。精品資料對短梁，可采用基底反力呈直線變化的簡化方法計算；對長梁，可利用(lìyòng)無限長梁或半無限長梁的解答計算。在選擇計算方法時，除了按值劃分梁的類型外，還需兼顧外荷載的大小和作用點位置。對于柔度較大的梁，有時可以直接按無限長梁進行簡化計算。例如：當梁上的一個集中荷載（豎向力或力偶）與梁端的最小距離x>π/λ時，按無限長梁計算w、M、V的誤差將不超過4.3％；而對梁長為π/λ，但荷載作用于梁中部(zhōnɡbù)的梁來說，只能按有限長梁計算。

x>π/λ

π/λ精品資料四、基床系數(shù)的確定地基有一定的擴散應(yīng)力和變形的能力(nénglì)，基底某點i的沉降可用式（3-4）表達。按式（3-1）的定義，i點的基床系數(shù)ki可表示為

由上式可見，沿基底各點的基床系數(shù)值實際上并非常數(shù)，而是隨著點的位置不同而變化的。k值取決于地基土層的分布情況及其壓縮性、基底的大小和形狀，以及與基礎(chǔ)荷載和剛度有關(guān)的地基中的應(yīng)力等一系列復(fù)雜因素。因此，基床系數(shù)k不是單純表征土的力學(xué)性質(zhì)的計算指標。嚴格說來，在進行地基上梁或板的分析之前，基床系數(shù)的數(shù)值是難于準確預(yù)定的。精品資料下面(xiàmian)介紹幾種確定基床系數(shù)的方法以供參考。（1）按基礎(chǔ)的預(yù)估沉降量確定①對某個特定的地基和基礎(chǔ)條件：（3-27）②對地基可壓縮的厚度h≤b/2（b:基礎(chǔ)底面寬度）的薄壓縮層地基，則在薄壓縮層地基范圍內(nèi)的附加應(yīng)力≈p0，基底平均沉降sm=h/Es≈p0h/Es，代入式（3-27）得（3-28）③如薄壓縮層地基由若干分層組成，則（3-29）精品資料（2）按載荷試驗成果確定如地基壓縮層范圍內(nèi)的土質(zhì)均勻，則可取p-s曲線上對應(yīng)于基底平均反力p的剛性載荷板（寬度為bp）沉降值s來計算(jìsuàn)載荷板下的基床系數(shù)kp=p/s對粘性土地基，實際基礎(chǔ)（寬度為b）下的基床系數(shù)按下式確定：（3-30）ps精品資料國外常按K.Terzaghi建議的方法，采用1英尺×1英尺（305mm×305mm）的方形載荷板進行試驗。對砂土采用下式計算（考慮了地基中砂土的變形模量隨深度逐漸增大(zēnɡdà)的影響）：（3-31）式中：基礎(chǔ)寬度的單位為m；基礎(chǔ)和載荷板下的基床系數(shù)k和kp的單位均取MN/m3。對粘性土，考慮基礎(chǔ)長寬比m=l/b（m>1）的影響，以下式計算：（3-32）精品資料基床系數(shù)k的數(shù)值，因土質(zhì)松密軟硬的不同狀態(tài)，可能變動(biàndòng)于幾MN/m3到幾百MN/m3之間。許多書籍都列有按土類名稱及其狀態(tài)給出的經(jīng)驗值（見下表）。基床系數(shù)k

值土的分類土的狀態(tài)kN/m3淤泥質(zhì)粘土3.0～5.0淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土5.0～10粘土，粉質(zhì)粘土軟塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密實7.0～1515～2525～40礫石中密25～40精品資料基床系數(shù)k的取值對計算結(jié)果的影響：在常用k值范圍內(nèi)（k＝0.1～50MN/m3），對彎矩影響不大，但對基礎(chǔ)沉降(chénjiàng)影響很大[參見例題3-1（4）]。精品資料【例3-1】條形基礎(chǔ)抗彎剛度EI=4.3×103MPa·m4，長l=17m，底面寬b=2.5m，預(yù)估平均沉降sm=39.7mm。試計算基礎(chǔ)中點C處的撓度、彎矩和基底凈反力?！窘狻浚?）確定基床系數(shù)k設(shè)基底附加(fùjiā)壓力p0約等于基底平均凈反力pj：以下步驟自看。精品資料3.6柱下條形基礎(chǔ)柱下條形基礎(chǔ)是常用于軟弱地基上框架或排架結(jié)構(gòu)的一種基礎(chǔ)類型。其特點是間隔(jiàngé)承受柱的集中荷載，設(shè)計時必須考慮縱向和橫向的彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力并配置受力鋼筋。精品資料柱下條形基礎(chǔ)可用于地基承載力不足，需加大基礎(chǔ)底面尺寸，而配置柱下擴展基礎(chǔ)又在平面尺寸上受到限制的情況；尤其是當柱荷載或地基壓縮性分布不均勻，且建筑物對不均勻沉降敏感時，在柱列下配置抗彎剛度較大的柱下條形基礎(chǔ)能收到一定的效果。但造價較高。因此，在一般情況下，柱下應(yīng)優(yōu)先考慮設(shè)置擴展基礎(chǔ)。如遇下述特殊情況時可以考慮采用柱下條形基礎(chǔ)：①當?shù)鼗^軟弱，承載力較低，而荷載較大時，或地基壓縮性不均勻（如地基中有局部軟弱夾層、土洞等）時；②當荷載分布不均勻，有可能(kěnéng)導(dǎo)致較大的不均勻沉降時；③當上部結(jié)構(gòu)對基礎(chǔ)沉降比較敏感，有可能(kěnéng)產(chǎn)生較大的次應(yīng)力或影響使用功能時。精品資料一、構(gòu)造要求一般采用倒T形截面（沿柱列軸線的肋梁＋從梁底沿其橫向伸出的翼板）。肋梁高度不宜太小，一般宜為柱距的1/8~1/4，并應(yīng)滿足受剪承載力計算的要求。

當柱荷載較大(jiàodà)時，可在柱兩側(cè)局部增高（加腋）。精品資料一般肋梁沿縱向取等截面，梁每側(cè)比柱至少寬出50mm。當柱垂直于肋梁軸線方向的截面邊長大于400mm時，可僅在柱位處將肋部加寬。翼板厚度不應(yīng)小于200mm。當翼板厚度為200~250mm時，宜用等厚度翼板；當翼板厚度大于250mm時，宜用變厚度翼板，其坡度(pōdù)小于或等于1:3。精品資料在一般情況下，條形基礎(chǔ)端部應(yīng)伸出邊柱以外，其作用在于增加基底面積，調(diào)整底面形心位置，使基底壓力分布較為(jiàowéi)均勻，并使各柱下彎矩與跨中彎矩趨于均衡以利配筋，外伸長度宜為邊跨跨距的0.25～0.3倍。當荷載不對稱時，兩端伸出長度可不相等，以使基底形心與荷載合力作用點重合。但也不宜伸出太多，以免基礎(chǔ)梁在柱位處正彎矩太大。精品資料基礎(chǔ)肋梁的縱向受力鋼筋、箍筋和彎起筋應(yīng)按彎矩圖和剪力圖配置(pèizhì)。柱位處的縱向受力鋼筋布置在肋梁底面，而跨中則布置在頂面。精品資料柱位處的縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋布置在肋梁底面，而跨中則布置在頂面。底面縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋的搭接位置宜在跨中，頂面縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋則宜在柱位處，其搭接長度ld應(yīng)滿足要求。當縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋直徑d>22mm時，不宜采用非焊接的搭接接頭?？紤]到條形基礎(chǔ)可能出現(xiàn)整體彎曲，且其內(nèi)力分析往往不很準確，故頂面的縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋宜全部通長配置，底面通長鋼筋的面積不應(yīng)少于底面受力鋼筋總面積的1/3。精品資料精品資料當基礎(chǔ)梁的腹板高度大于或等于450mm時，在梁的兩側(cè)面應(yīng)沿高度配置縱向構(gòu)造鋼筋每側(cè)構(gòu)造鋼筋面積不應(yīng)小于腹板截面面積的0.1%，且其間距不宜大于200mm。梁兩側(cè)的縱向構(gòu)造鋼筋，宜用拉筋連接，拉筋直徑與箍筋相同，間距500~700mm，一般為兩倍的箍筋間距。箍筋直徑一般為6~12mm，對梁高大于800mm的梁，其箍筋直徑不宜小于8mm，箍筋間距按有關(guān)(yǒuguān)規(guī)定確定。當梁寬小于或等于350mm時，采用雙肢箍筋；梁寬在350~800mm時，采用四肢箍筋；梁寬大于800mm時，采用六肢箍筋。單向條形基礎(chǔ)還可能沿橫向受有力矩荷載而使基礎(chǔ)橫截面發(fā)生扭轉(zhuǎn)，所以配置于肋梁的箍筋應(yīng)該是封閉式的，必要時還應(yīng)進行受扭承載力計算。精品資料翼板的橫向受力鋼筋由計算確定，但直徑不應(yīng)小于10mm，間距100~200mm。非肋部分的縱向分布鋼筋可用直徑8~10mm，間距不大于300mm。其余(qíyú)構(gòu)造要求可參照鋼筋混凝土擴展基礎(chǔ)的有關(guān)規(guī)定。柱下條形基礎(chǔ)的混凝土強度等級不應(yīng)低于C20。橫向(hénɡxiànɡ)受力鋼筋非肋部分的縱向分布鋼筋精品資料二、內(nèi)力(nèilì)計算條形基礎(chǔ)內(nèi)力(nèilì)計算方法主要有簡化計算法和彈性地基梁法兩種。計算(jìsuàn)方法簡化計算法彈性地基梁法靜定分析法（靜定梁法）倒梁法假定上部結(jié)構(gòu)剛度很小假定上部結(jié)構(gòu)剛度很大精品資料1.簡化計算法假設(shè)：基底反力為直線（平面）分布(fēnbù)。為滿足這一假定，要求條形基礎(chǔ)具有足夠的相對剛度。當柱距相差不大時，通常要求基礎(chǔ)上的平均柱距l(xiāng)m應(yīng)滿足下列條件：（3-46）式中1/是文克勒地基上梁的特征長度[式（3-12）]。對一般柱距及中等壓縮性的地基，按上述條件進行分析，條形基礎(chǔ)的高度應(yīng)不小于平均柱距的1/6。精品資料靜定分析法只宜用于上部結(jié)構(gòu)為柔性(róuxìnɡ)結(jié)構(gòu)、且自身剛度較大的條形基礎(chǔ)以及聯(lián)合基礎(chǔ)。該法不考慮與上部結(jié)構(gòu)的相互作用，因而在荷載和直線分布的基底反力作用下基礎(chǔ)梁將產(chǎn)生整體彎曲。與其他方法比較，這樣計算所得的基礎(chǔ)不利截面上的彎矩絕對值一般較大。精品資料倒梁法假定上部結(jié)構(gòu)是剛性的，各柱之間沒有沉降差異。該法只考慮出現(xiàn)于柱間的局部彎曲，而略去沿基礎(chǔ)(jīchǔ)全長發(fā)生的整體彎曲，因而所得的柱位處截面的正彎矩與柱間最大負彎矩絕對值相比較，比其它方法均衡，所以基礎(chǔ)(jīchǔ)不利截面的彎矩最小。按倒置的普通連續(xù)梁（采用彎矩分配法或彎矩系數(shù)法）計算。精品資料值得注意的是，倒梁法所得的支座反力一般不等于原先用以計算基底(jīdǐ)凈反力的豎向荷載。一般以倒梁法計算的邊柱支座反力比原來的豎向柱荷載減少，而內(nèi)柱則比原來的增加。這可理解為上部結(jié)構(gòu)的整體剛度對基礎(chǔ)整體彎矩的抑制作用，使柱荷載的分布均勻化。精品資料若支座反力與相應(yīng)的柱軸力相差較大（如相差20%以上），可采用(cǎiyòng)實踐中提出的“基底反力局部調(diào)整法”加以彌補。此法是將支座反力與柱子的軸力之差（正或負的）均勻分布在相應(yīng)支座兩側(cè)各三分之一跨度范圍內(nèi)（對邊支座的懸臂跨則取全部），作為基底反力的調(diào)整值，然后再按反力調(diào)整值作用下的連續(xù)梁計算內(nèi)力，最后與原算得的內(nèi)力疊加。經(jīng)調(diào)整后不平衡力將明顯減小，一般調(diào)整1~2次即可。精品資料精品資料綜上所述，當下列條件滿足時，可以采用倒梁法計算柱下條形基礎(chǔ)(jīchǔ)的內(nèi)力：上部結(jié)構(gòu)的整體剛度較好，地基壓縮性、柱距和荷載分布都比較均勻（如相差不超過20%），基礎(chǔ)(jīchǔ)高度大于平均柱距的1/6或式（3-46）的條件滿足。當條形基礎(chǔ)(jīchǔ)的相對剛度較大時，由于基礎(chǔ)(jīchǔ)的架越作用，其兩端邊跨的基底反力會有所增大，故兩邊跨的跨中彎矩及第一內(nèi)支座的彎矩值宜乘以1.2的增大系數(shù)。需要指出，當荷載較大、土的壓縮性較高或基礎(chǔ)(jīchǔ)埋深較淺時，隨著端部基底下塑性區(qū)的開展，架越作用將減弱、消失，甚至出現(xiàn)基底反力從端部向內(nèi)轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象。精品資料2.彈性地基梁法當不滿足按簡化(jiǎnhuà)計算法計算的條件時，宜按彈性地基梁法計算基礎(chǔ)內(nèi)力。一般可以根據(jù)地基條件的復(fù)雜程度，分下列三種情況選擇計算方法：（1）對基礎(chǔ)寬度不小于可壓縮土層厚度二倍的薄壓縮層地基，如地基的壓縮性均勻，則可按文克勒地基上梁的解析解（3.4節(jié)）計算，基床系數(shù)k可按式（3-28）或（3-29）確定。（2）當基礎(chǔ)寬度滿足情況（1）的要求，但地基沿基礎(chǔ)縱向的壓縮性不均勻時，可沿縱向?qū)⒌鼗鶆澐殖扇舾啥危慷蝺?nèi)的地基較為均勻），每段分別按式（3-29）計算基床系數(shù)，然后按文克勒地基上梁的數(shù)值分析法（3.5.2節(jié)）計算。精品資料（3）當基礎(chǔ)寬度不滿足情況（1）的要求，或應(yīng)考慮鄰近基礎(chǔ)或地面堆載對所計算基礎(chǔ)的沉降和內(nèi)力(nèilì)的影響時，宜采用非文克勒地基上梁的數(shù)值分析法進行迭代計算。精品資料l三、柱下條形基礎(chǔ)的設(shè)計步驟1.根據(jù)建筑條件、工程地質(zhì)及水文地質(zhì)條件等確定基礎(chǔ)埋深d（2.3節(jié)）2.確定地基承載力特征值fa（2.4節(jié)）3.確定基礎(chǔ)底面尺寸l、b①基礎(chǔ)長度l：可按主要荷載(hèzài)合力作用點與基礎(chǔ)底面形心盡量靠近的原則，并結(jié)合端部伸出邊柱的長度決定；x∑Ni精品資料②基底(jīdǐ)寬度b：按地基地基承載力特征值fa計算確定（2.5節(jié)）軸心荷載作用時（3-47）