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文檔簡介
折疊問題折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°,使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊,其中“折”是過程,“疊”是結果.折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換,折疊更突出了軸對稱問題的應用.折疊(或翻折)在三大圖形變換中是比較重要的,考查得較多,無論是選擇題、填空題,還是解答題都有以折疊為背景的試題.常常把矩形、正方形的紙片放置于直角坐標系中,與函數(shù)、直角三角形、相似形等知識結合,貫穿其他幾何、代數(shù)知識來設題.根據(jù)軸對稱的性質可以得到:折疊重合部分一定全等,折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸;互相重合兩點(對稱點)之間的連線必被折痕垂直平分;對稱兩點與對稱軸上任意一點連結所得的兩條線段相等;對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等.在解題過程中要充分運用以上結論,借助輔助線構造直角三角形,結合相似形、銳角三角函數(shù)等知識來解決有關折疊問題.折疊后圖形判斷1.(2014·寧波)用矩形紙片折出直角的平分線,下列折法正確的是()D【解析】根據(jù)圖形翻折變換的性質及角平分線的定義對各選項進行逐一判斷.2.(2014·黔南州)如圖,把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,設重疊部分為△EBD,則下列說法錯誤的是(
)A.AB=CD
B.∠BAE=∠DCEC.EB=EDD.∠ABE一定等于30°D3.(2014·南寧)如圖,把一張長方形紙片對折,折痕為AB,再以AB的中點O為頂點,把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分線折疊,將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的直角三角形,那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是(
)A.正三角形
B.正方形C.正五邊形
D.正六邊形A對折疊圖形的判斷,可以通過空間想象,找出相等的邊與角,轉化為角度的判斷.折疊后求角的度數(shù)1.(2014·赤峰)如圖,E是矩形ABCD中BC邊的中點,將△ABE沿AE折疊到△AEF,F(xiàn)在矩形ABCD內部,延長AF交DC于G點,若∠AEB=55°,
求∠DAF的度數(shù).
解:∵△ABE沿AE折疊到△AEF,∴∠BAE=∠FAE.∵∠AEB=55°,∠ABE=90°,∴∠BAE=90°-55°=35°,∴∠DAF=∠BAD-∠BAE-∠FAE=90°-35°-35°=20°2.(2014·牡丹江)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,CM是斜邊AB上的中線,將△ACM沿直線CM折疊,點A落在點D處,如果CD恰好與AB垂直,求∠A的度數(shù).【解析】根據(jù)折疊的性質可知,折疊前后的兩個三角形全等,則∠MCD=∠MCA,從而求得答案.解:∵在Rt△ABC中,CM是斜邊AB上的中線,∴AM=MC=BM,∴∠A=∠MCA,∵將△ACM沿直線CM折疊,點A落在點D處,∴CM平分∠ACD,∴∠ACM=∠MCD,∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°,∴∠A=30°3.(2014·徐州)如圖,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC,∠A=50°,折疊該紙片,使點A落在點B處,折痕為DE,求∠CBE.∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ACB=∠ABC=(180°-50°)=65°,∵將△ABC折疊,使點A落在點B處,折痕為DE,∠A=50°,∴∠ABE=∠A=50°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°4.(2014·牡丹江)如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,已知AB=8cm,BC=10cm,求tan∠EAF.在折疊問題中,利用對稱性可得到相等的角和邊.折疊后求長度1.(2014·黔東南州)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,將矩形ABCD沿EF折疊,使點C與點A重合,求折痕EF的長.【解析】設BE=x,則CE=16-x,根據(jù)翻折的性質可得AE=CE,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列出方程求出x,過點E作EH⊥AD于H,可得四邊形ABEH是矩形,利用勾股定理列式計算即可得解.2.(2014·新疆)如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E為AB上一點,分別以ED,EC為折痕將兩個角(∠A,∠B)向內折起,點A,B恰好落在CD邊的點F處.若AD=3,BC=5,求EF的值.【解析】先根據(jù)折疊的性質得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,作DH⊥BC于H,則四邊形ABHD為矩形,在Rt△DHC中,利用勾股定理計算.3.(2014·舟山)如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AD=4cm,點E,F(xiàn)分別是CD和AB的中點.現(xiàn)將這張紙片折疊,使點B落在EF上的點G處,折痕為AH.若HG的延長線恰好經(jīng)過點D,求CD的長.∵點E,F(xiàn)分別是CD和AB的中點,∴EF⊥AB,∴EF∥BC,∴EG是△DCH的中位線,∴DG=HG,由折疊的性質可得∠AGH=∠ABH=90°,∴∠AGH=∠AGD=90°,在△AGH和△AGD中,??í?ìHG=DG,∠AGH=∠AGD,AG=AG,∴△ADG≌△AHG(SAS),∴AD=AH,∠DAG=∠HAG,由折疊的性質可得∠BAH=∠HAG,∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=13∠BAD=30°,在Rt△ABH中,AH=AD=4,∠BAH=30°,∴HB=2,AB=23,∴CD=AB=23
4.(2014·河南)如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.點E為DC上一個動點,把△ADE沿AE折疊,當點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上時,求DE的長.
在折疊問題中,利用對稱性可得到相等的線段,通過三角形相似、勾股定理列出方程求解.折疊問題轉化為軸對稱問題,利用勾股定理和相似求出未知線段,最后把所求的線段轉化到直角三角形中去處理.折疊后求周長、面積1.(2014·孝感)如圖,已知矩形ABCD,把矩形沿直線AC折疊,點B落在點E處,連結DE,BE,若△ABE是等邊三角形,求S△DCES△ABE的值.
【解析】過E作EM⊥AB于M,交DC于N,設AB=AE=BE=2a,求出EN,根據(jù)三角形面積公式求出兩個三角形的面積,即可得出答案.2.(2014·上海)如圖,在矩形ABCD中,點E在邊BC上,BE=2CE,將矩形沿著過點E的直線翻折后,點C,D分別落在邊BC下方的點C′,D′處,且點C′,D′,B在同一條直線上,折痕與邊AD交于點F,D′F與BE交于點G.設AB=t,用含t的代數(shù)式表示△EFG的周長.【解析】根據(jù)翻折的性質可得CE=C′E,判斷出△EFG是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質表示出EF,即可得解.3.(2012·泰安)如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使點B與CD的中點重合,若AB=2,BC=3,求△FCB′與△B′DG的面積之比.4.(2014·長沙)如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿對角線AC折疊,點B落在點E處,CE與AD相交于點O.(1)求證:△AOE≌△COD;(2)若∠OCD=30°,AB=3,求△AOC的面積.
在折疊問題中,利用對稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積.折疊后結論探究1.(2014·遵義)如圖,二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標;(2)當P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標.2.(2014·河北)圖①和圖②中,優(yōu)弧AB︵所在⊙O的半徑為2,AB=23.點P為優(yōu)弧AB︵上一點(點P不與A,B重合),將圖形沿BP折疊,得到點A的對稱點A?.
(1)點O到弦AB的距離是____,當BP經(jīng)過點O時,∠ABA′=
;160°(2)當BA′與⊙O相切時,如圖②,求折痕BP的長;(3)若線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B,設∠ABP=α,確定α的取值范圍.3.(2013·龍巖)如圖①,在矩形紙片ABCD中,AB=3+1,AD=3.
(1)如圖②,將矩形紙片向上方翻折,使點D恰好落在AB邊上的D?處,壓平折痕交CD于點E,則折痕AE的長為____;
(2)如圖③,再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折,壓平后得四邊形B′C′ED′,B′C′交AE于點F,則四邊形B′FED′的面積為
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