專題5折疊問題

折疊問題折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過程，“疊”是結果．折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，折疊更突出了軸對稱問題的應用．折疊(或翻折)在三大圖形變換中是比較重要的，考查得較多，無論是選擇題、填空題，還是解答題都有以折疊為背景的試題．常常把矩形、正方形的紙片放置于直角坐標系中，與函數(shù)、直角三角形、相似形等知識結合，貫穿其他幾何、代數(shù)知識來設題．根據(jù)軸對稱的性質可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸；互相重合兩點(對稱點)之間的連線必被折痕垂直平分；對稱兩點與對稱軸上任意一點連結所得的兩條線段相等；對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等.在解題過程中要充分運用以上結論，借助輔助線構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數(shù)等知識來解決有關折疊問題．折疊后圖形判斷1．(2014·寧波)用矩形紙片折出直角的平分線，下列折法正確的是()D【解析】根據(jù)圖形翻折變換的性質及角平分線的定義對各選項進行逐一判斷．2．(2014·黔南州)如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，設重疊部分為△EBD，則下列說法錯誤的是(

)A．AB＝CD

B．∠BAE＝∠DCEC．EB＝EDD．∠ABE一定等于30°D3．(2014·南寧)如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是(

)A．正三角形

B．正方形C．正五邊形

D．正六邊形A對折疊圖形的判斷，可以通過空間想象，找出相等的邊與角，轉化為角度的判斷．折疊后求角的度數(shù)1．(2014·赤峰)如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點，將△ABE沿AE折疊到△AEF，F(xiàn)在矩形ABCD內部，延長AF交DC于G點，若∠AEB＝55°，

求∠DAF的度數(shù)．

解：∵△ABE沿AE折疊到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°－55°＝35°，∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°2．(2014·牡丹江)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜邊AB上的中線，將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，求∠A的度數(shù)．【解析】根據(jù)折疊的性質可知，折疊前后的兩個三角形全等，則∠MCD＝∠MCA，從而求得答案．解：∵在Rt△ABC中，CM是斜邊AB上的中線，∴AM＝MC＝BM，∴∠A＝∠MCA，∵將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，∴CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠MCD，∵∠A＋∠B＝∠B＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴∠BCD＝∠DCM＝∠MCA＝30°，∴∠A＝30°3．(2014·徐州)如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折疊該紙片，使點A落在點B處，折痕為DE，求∠CBE.∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－50°)＝65°，∵將△ABC折疊，使點A落在點B處，折痕為DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°4．(2014·牡丹江)如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求tan∠EAF.在折疊問題中，利用對稱性可得到相等的角和邊．折疊后求長度1．(2014·黔東南州)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點C與點A重合，求折痕EF的長．【解析】設BE＝x，則CE＝16－x，根據(jù)翻折的性質可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，過點E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，利用勾股定理列式計算即可得解．2．(2014·新疆)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角(∠A，∠B)向內折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處．若AD＝3，BC＝5，求EF的值．【解析】先根據(jù)折疊的性質得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD為矩形，在Rt△DHC中，利用勾股定理計算．3．(2014·舟山)如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點．現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH.若HG的延長線恰好經(jīng)過點D，求CD的長．∵點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位線，∴DG＝HG，由折疊的性質可得∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGH＝∠AGD＝90°，在△AGH和△AGD中，??í?ìHG＝DG，∠AGH＝∠AGD，AG＝AG，∴△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，由折疊的性質可得∠BAH＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝13∠BAD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AD＝4，∠BAH＝30°，∴HB＝2，AB＝23，∴CD＝AB＝23

4．(2014·河南)如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7.點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上時，求DE的長.

在折疊問題中，利用對稱性可得到相等的線段，通過三角形相似、勾股定理列出方程求解．折疊問題轉化為軸對稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉化到直角三角形中去處理．折疊后求周長、面積1．(2014·孝感)如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連結DE，BE，若△ABE是等邊三角形，求S△DCES△ABE的值．

【解析】過E作EM⊥AB于M，交DC于N，設AB＝AE＝BE＝2a，求出EN，根據(jù)三角形面積公式求出兩個三角形的面積，即可得出答案．2．(2014·上海)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C，D分別落在邊BC下方的點C′，D′處，且點C′，D′，B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，D′F與BE交于點G.設AB＝t，用含t的代數(shù)式表示△EFG的周長．【解析】根據(jù)翻折的性質可得CE＝C′E，判斷出△EFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質表示出EF，即可得解．3．(2012·泰安)如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB＝2，BC＝3，求△FCB′與△B′DG的面積之比．4．(2014·長沙)如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O.(1)求證：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面積．

在折疊問題中，利用對稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積．折疊后結論探究1．(2014·遵義)如圖，二次函數(shù)y＝43x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C.若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；(2)當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．2．(2014·河北)圖①和圖②中，優(yōu)弧AB︵所在⊙O的半徑為2，AB＝23.點P為優(yōu)弧AB︵上一點(點P不與A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A?.

(1)點O到弦AB的距離是____，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′＝

；160°(2)當BA′與⊙O相切時，如圖②，求折痕BP的長；(3)若線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B，設∠ABP＝α，確定α的取值范圍．3．(2013·龍巖)如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3.

(1)如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D?處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為____；

(2)如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為