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最優(yōu)化方法

Optimization第九章使用導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化方法無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題算法

最速下降法牛頓法共軛梯度法擬牛頓法信賴域法最小二乘法最速下降法最速下降方向取搜索方向:步驟:帶精確線搜索的最速下降法例:第一次迭代解:第二次迭代最速下降法的收斂性二次函數(shù)情形最速下降法表示為Kantorovich不等式定理（最速下降法—二次情形）定理：條件數(shù)非二次情形結(jié)論：在相繼兩次迭代中,梯度方向互相正交.Ex陳寶林書(shū)P3281.基本思想用一個(gè)二次函數(shù)去近似目標(biāo)函數(shù)f(x),然后精確地求出這個(gè)二次函數(shù)的極小點(diǎn).牛頓法牛頓方向定理：牛頓法計(jì)算步驟:用Newton法求解無(wú)約束問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)以下情形：（1）收斂到極小點(diǎn)（2）收斂到鞍點(diǎn)（3）Hesse矩陣不可逆，無(wú)法迭代下去優(yōu)點(diǎn):（1）Newton法產(chǎn)生的點(diǎn)列{x(k)}若收斂，則收斂速度快---具有至少二階收斂速率。(2)Newton法具有二次終止性缺點(diǎn):（1）可能會(huì)出現(xiàn)在某步迭代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值上升.（2）當(dāng)初始點(diǎn)遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)，牛頓法產(chǎn)生的點(diǎn)列可能不收斂，或者收斂到鞍點(diǎn)，或者Hesse矩陣不可逆，無(wú)法計(jì)算.（3）需要計(jì)算Hesse矩陣，計(jì)算量大.步驟:阻尼牛頓法修正牛頓法Ex

陳寶林書(shū)P328

2

并用牛頓法從給定點(diǎn)處出發(fā)求解極小點(diǎn)共軛方向法共軛方向定義：例：定理1證明：定理2：證明：定理3：共軛梯度法(FR法)記號(hào)：

在共軛梯度法中，初始點(diǎn)處的搜索方向取為該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，即取而以下各共軛方向d(k)由第k次迭代點(diǎn)x(k)處的負(fù)梯度-gk與已經(jīng)得到的共軛向量d(k-1)的線性組合來(lái)確定。以此類推，得定理:FR共軛梯度法(二次凸函數(shù))例:一般函數(shù)的共軛梯度法迭代的延續(xù)方法：FR共軛梯度法（一般可微函數(shù)）Ex

陳寶林書(shū)P

330

14（1）Homework1.總結(jié)最速下降法、牛頓法及共軛梯度法

的基本思

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