數(shù)學(xué)建模入門知識

數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)2012.07.14參考書籍

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R問題的分析模型的假設(shè)模型的建立模型的求解及結(jié)果模型、結(jié)果的分析及檢驗(yàn)問題的提出必要的計算機(jī)程序摘要參考文獻(xiàn)如何寫好數(shù)學(xué)建模論文西北工業(yè)大學(xué)葉正麟

/v_show/id_XMzA0OTI5ODQ=.html正文答卷結(jié)構(gòu)和內(nèi)容

科技論文的文章構(gòu)成前置部分題目(Title)作者(Author)摘要(Abstract)關(guān)鍵詞(KeyWord)主體部分引言(Introduction)正文(MainBody)結(jié)論(Conclusion)參考文獻(xiàn)(Reference)附錄問題的分析模型的假設(shè)模型的建立模型的求解及結(jié)果結(jié)果的分析及檢驗(yàn)章123節(jié)

條.21.2.3圖1.1圖1.2表1.1表1.2論文的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型.第3版[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]曹炬,周濟(jì).矩形件排樣優(yōu)化的一種近似算法[J].計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報.1995,7(3):190~195.(國家標(biāo)準(zhǔn)GB7713-87)例1.

投資的收益與風(fēng)險(CUMCM98A).市場上有n種資產(chǎn)(股票、債券、…)Si(i=1,2,…,n).某公司有一筆相當(dāng)大的資金(數(shù)額為M)可作一個時期的投資.該公司的評估和預(yù)測:投資Si的平均收益率ri,風(fēng)險損失率qi

.投資越分散,總體風(fēng)險越低.總體風(fēng)險可用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來度量.購買Si的交易費(fèi)率pi,且購買量不超過ui時按購買ui計算.同期銀行存款利率r0(取5%)

,無交易費(fèi)用無風(fēng)險.Si

ri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1S2S3S4

282.51.0103211.52.0198235.54.552252.66.540給該公司設(shè)計一種投資組合方案，使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險盡可能小.基本假設(shè)

1.投資數(shù)額M相當(dāng)大；2.投資越分散總的風(fēng)險越?。?.總體風(fēng)險用所投資項(xiàng)目Si中最大的風(fēng)險來度量；4.n種資產(chǎn)Si之間相互獨(dú)立；5.在投資期間，ri,pi,qi為定值，不受意外因素影響；6.凈收益和總體風(fēng)險只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾.風(fēng)險度

收益

x0x1

x2

x3x40.00600.20190.00000.24000.40000.10910.2212?例2.

逢山開路(CUMCM94A).

要在一山區(qū)修建公路,首先測得一些地點(diǎn)的高程,數(shù)據(jù)見圖(平面區(qū)域0≤x≤5600,0≤y≤4800,表中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)點(diǎn)的海拔高程,單位:米).數(shù)據(jù)顯示:在y=3200處有一東西走向的山峰;從坐標(biāo)(2400,2400)到(4800,0)有一西北東南走向的山谷;在(2000,2800)附近有一山口湖,其最高水位略高于1350米,雨季在山谷中形成一溪流.經(jīng)調(diào)查知,雨量最大時溪流水面寬度w與(溪流最深處的)x坐標(biāo)的關(guān)系可近似表示為

公路從山腳(0,800)處開始,經(jīng)居民點(diǎn)(4000,2000)至礦區(qū)(2000,4000).已知路段工程成本及對路段坡度(上升高程與水平距離之比)的限制如表.試給出一種線路設(shè)計方案,包括原理、方法及比較精確的線路位置(含橋梁、隧道),并估算該方案的總成本.480013501370139014001410960940880800690570430290210150

440013701390141014301440114011101050950820690540380300210

4000138014101430145014701320128012001080940780620460370350

36001420143014501480150015501510143013001200980850750550500

3200143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550

28009501190137015001200

1100

15501600155013801070900105011501200

240091010901270150012001100

1350

1450120011501010880100010501100

2000880106012301390150015001400

90011001060950870900930950

1600

830980118013201450142014001300700900850840380780750

1200740880108011301250128012301040900500700780750650550

800

650

760880970102010501020830800700

300

500550480350

400510620730800850870850780720650500200300350320

0

370470550600670690670620580450400300

100

150

250

y/x

0400800120016002000240028003200360040004400480052005600工程種類一般路段橋梁隧道工程成本(元/米)30020001500(長度300米)；3000(長度300米)坡度限制<0.125=0<0.100北1）地勢面是連續(xù)、光滑的，即高度的變化連續(xù)，不考慮懸崖、峭壁；基本假設(shè)2）公路為一幾何線，即不考慮公路的寬度，不計拐彎處的半徑要求；3）不考慮地質(zhì)結(jié)構(gòu)對修路、架橋、修隧道的影響。記山腳S(0,800)，居民點(diǎn)R(4000,2000)，礦區(qū)M(2000,4000)

在上述假設(shè)下，問題簡化為求聯(lián)結(jié)S,R,M的最小成本路線。模型結(jié)果1)橋址：B1(2960,1800),高程

z1=860m,

B2(3000,1860),高程

z2=860m,滿足＝0；橋長：l橋=72m，成本：

c橋=14.4萬元；2)隧道址：D1(4400,3080),高程

z1=1320m,

D2(4400,3300),高程

z2=1337.5m,滿足<0.1；隧道長：l道=220.7m，

成本：

c道=33.1萬元；3)公路：(S-B1)

(B2-R)

長：l1=5375m，

成本：c1=161.2萬元；

(R-D1)

(D2-M)

長：l2=5884m，

成本：c2=176.5萬元；全線總長：l=5375+72+5884+220.7=11551.7m；全線總成本

c=161.2+14.4+176.5+33.1=385.2萬元.4)不修隧道：lR-M=7572m,

cR-M=227萬元；

與修隧道比較：cR-M=c2+c道=176.5+33.1=209.6萬元。針對“逢山開路”例題中的山區(qū)地貌數(shù)據(jù)，將原間隔400米的網(wǎng)格加密為間隔50米的網(wǎng)格作三次樣條插值，畫出帶有等高線的地貌圖，并標(biāo)示出x,y,z坐標(biāo)軸。48004400400036003200280024002000160012008004000135013701390140014109609408808006905704302902101501370139014101430144011401110105095082069054038030021013801410143014501470132012801200108094078062046037035014201430145014801500155015101430130012009808507505505001430145014601500155016001550160016001600155015001500155015509501190137015001200110015501600155013801070900105011501200910109012701500120011001350145012001150101088010001050110088010601230139015001500140090011001060950870900930950830980118013201450142014001300700900850840380780750740880108011301250128012301040900500700780750650550650760880970102010501020830800700300500550480350510620730800850870850780720650500200300350320370470550600670690670620580450400300100150250y/x0400800120016002000240028003200360040004400480052005600數(shù)據(jù)插值結(jié)果例3.

洗衣機(jī)的節(jié)水設(shè)計(CUMCM96B).我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)。洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，節(jié)約洗衣機(jī)的用水十分重要。假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水－漂洗－脫水－加水－漂洗－脫水－…－加水－漂洗－脫水(稱“加水－漂洗－脫水”為運(yùn)行“一輪”)。請為洗衣機(jī)設(shè)計一種程序(包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總的用水量最少。選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。問題分析洗衣的基本原理：將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物，即

溶污物－脫污水洗衣的過程：通過加水來實(shí)現(xiàn)溶污物－脫污水動作的反復(fù)進(jìn)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直至達(dá)到滿意程度。溶污物－－“洗滌”（首輪）和“漂洗”脫污水－－“排水”和“甩干”兩個環(huán)節(jié)問題的要點(diǎn)：1）污物溶解的情況？2）每輪洗滌后污物減少的情況？3）由一系列“加水－漂洗－脫水”構(gòu)成的節(jié)水洗滌程序？基本假設(shè)1）僅考慮離散的洗滌方案，即“加水－漂洗－脫水”三個環(huán)節(jié)是分離的，這三個環(huán)節(jié)構(gòu)成一個洗滌周期，稱為“一輪”；2）節(jié)水洗滌程序設(shè)計只考慮洗滌的輪數(shù)和加水量；3）每輪用水量不能低于L，以保證洗衣機(jī)工作，不能高于H，否則水會溢出，顯然不節(jié)水；4）每輪漂洗時間足夠，以使衣物上的污物充分溶解水中，使每輪的加水被充分利用；5）每輪脫水時間足夠，以使污水充分脫出，即衣物中所含的污水量達(dá)到一個低限c，設(shè)0cL

；基本變量1）漂洗共進(jìn)行n

輪，k=0,1,2,…n–1；2）第k輪用水量為uk，k=0,1,2,…n–1；3）衣物上的初始污物量為x0，第k輪脫水后衣物上附著的污物量為xk+1，k=0,1,2,…n–1.仿真計算數(shù)據(jù)：取=10–3，L/H=0.25，c/H=10–5結(jié)果：Q

n

vkvk0.9921.95630.978232.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386Qnvkvk0.9921.95630.97820.9532.84210.94740.9033.65640.91350.8543.86900.96730.8054.68010.93600.7065.86100.97680.6087.71080.96380.50109.97640.9976例4.

零件的參數(shù)設(shè)計(CUMCM97A).

一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成,標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù).零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分.進(jìn)行成批生產(chǎn)時,標(biāo)定值表示一批零件的該參數(shù)的平均值,容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍.若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量,則標(biāo)定值代表期望值,在生產(chǎn)部門無特殊要求時,容差通常規(guī)定為均方差的3倍.

進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計,就是要確定其標(biāo)定值和容差.這時要考慮兩方面因素:一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時,如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失越大;二是零件容差的大小決定了其制造成本,容差設(shè)計得越小,成本越高.

下面是一個具體的零件參數(shù)的設(shè)計問題.

粒子分離器的某參數(shù)(記作y

)由7個零件的參數(shù)(記作x1,

x2,…,x7

)決定,經(jīng)驗(yàn)公式為

y

的目標(biāo)值(記作y0)為1.50.當(dāng)y

偏離y0±0.1時,產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1,000(元)；當(dāng)