數(shù)學物理方法復變函數(shù)復習

第一篇復變函數(shù)（串講）總的概念：微分積分級數(shù)留數(shù)定理極限連續(xù)可導解析C-R條件初等函數(shù)調和函數(shù)1個定義，2個定理，3個公式泰勒級數(shù)羅朗級數(shù)孤立奇點實函數(shù)的積分第一章解析函數(shù)基本要求：熟練掌握復數(shù)的各種表示方法及六則運算；掌握復變函數(shù)極其極限、連續(xù)的概念；掌握區(qū)域、鄰域等概念，理解復變函數(shù)的幾何意義?！?.復數(shù)與復數(shù)運算（復習）一、復數(shù)及其表示（復數(shù)的三種表達方式）1.直角系：（代數(shù)式）2.極坐標系（指數(shù)式）（三角式）歐拉公式二、復數(shù)運算1、兩個復數(shù)相等2、加減法：（代數(shù)式）yx3.乘除法（指數(shù)形式）4.乘方、開方設：隸模弗公式：乘方：開方：z開n次方，有n個不同的、獨立的根。5.共軛運算【例】【例】零模為0輻角不確定無窮大模為∞輻角不確定三、無窮遠點二、復變函數(shù)的定義及幾何表示三、復函數(shù)的極限四、復函數(shù)連續(xù)的概念一、區(qū)域的概念§2復變函數(shù)五：解析函數(shù)（重點）正確理解解析函數(shù)的定義，正確判斷函數(shù)的解析性，牢固掌握并熟練運用C－R條件；掌握解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系；掌握初等函數(shù)的定義、性質和解析性；§1復函數(shù)的導數(shù)定義：設=f(z)定義在區(qū)域G上，zG，若存在則稱f(z)在z點可導，該極限值稱為=f(z)在z點的導數(shù)。記做：或復函數(shù)中的導數(shù)公式與實函數(shù)是相同的。RezC-R條件(直角坐標系)C-R條件（極坐標系）可導的必要條件－C-R條件1）C-R條件是可導的必要條件。說明：2)說明一個在z點可導的復函數(shù)，它的實虛部不再是獨立的，必須滿足C-R條件所給的關系。3)可以通過復函數(shù)的實虛部求復函數(shù)導數(shù)?？蓪У某浞謼l件設：函數(shù)f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)，若在點z(x,y)處，u(x,y)和v(x,y)的一階偏導數(shù)存在且連續(xù)，并滿足C-R條件，則f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)在z點一定可導。即：

一、定義【例】f(z)＝zRez,考察f(z)在z=0點是否解析?二、奇點§2解析函數(shù)三、解析函數(shù)的必要和充分條件四、解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系調和函數(shù)定義共軛調和函數(shù)區(qū)域G上滿足C-R條件的一對調和函數(shù)，稱為共軛調和函數(shù)。若2u＝02v＝0則u,v為一對共軛調和函數(shù)且已知調和函數(shù)u(x,y)(作為解析函數(shù)的實部)求出另一個調和函數(shù)v(x,y)(作為解析函數(shù)的虛部)構造f(z)＝u+iv解析函數(shù)關鍵定理：解析函數(shù)的實部與虛部是一對共軛調和函數(shù)。選擇路徑的關鍵是①簡單②路徑上被積函數(shù)有定義曲線積分法湊全微分法偏導數(shù)法§3.初等函數(shù)初等函數(shù)：在定義域內可用一個統(tǒng)一的解析表達式來表示，兩大類單值函數(shù)多值函數(shù)從三個方面對初等函數(shù)進行認識1）定義；2）解析性；3）性質（與實函數(shù)的比較）多值函數(shù)(難點)1.根式函數(shù)(冪函數(shù)n=z的反函數(shù))是一個n值函數(shù)主值分支第m個單值分支2.對數(shù)函數(shù)(e=z的反函數(shù))對數(shù)函數(shù)為無窮多值的函數(shù)k=0,=lnz=ln|z|+iargz主值分支實函數(shù)對數(shù)3.一般冪函數(shù)=z

a

a為任意復數(shù)a=n(整數(shù))

=zn冪函數(shù)(單值)(有理數(shù))m值函數(shù),m≥2a其它無窮多值【例1】計算:(1)Ln(sini)，(2)21+i，

（3）i1/i【例2】解sinz的零點(解方程:sinz=0)第二章Cauchy定理Cauchy積分公式本章主要從積分角度來討論解析函數(shù)的性質主要內容:一個定義,兩個定理,三個公式§1復積分的概念及性質分割、求和、取極限一個復積分等價于兩個二元的實的曲線積分一、定義另一種觀點：用實積分求復積分的解題步驟：①建立曲線方程②找到曲線上被積函數(shù)和積分元的表達式③將二元函數(shù)的線積分化為一元函數(shù)的定積分例：求(n為整數(shù))C:|z-a|=≠0復函數(shù)滿足什么條件時積分與路徑無關。

單連通域復連通域§2.Cauchy定理一、單連通區(qū)域的Caucy定理積分與路徑無關二、復連通區(qū)域的Caucy定理三、不定積分、原函數(shù)

§3Cauchy積分公式一、Cauchy積分公式：【例】§4Cauchy積分公式的主要推論【例】求導數(shù)公式：兩個定理單連域Cauchy定理復連域三個公式Cauchy積分公式（有界區(qū)域）高階導數(shù)公式牛－萊公式一個定義

復積分【例】冪級數(shù)1、定義：2、斂散性阿貝爾第一定理：若冪級數(shù)在z1點收斂，則此級數(shù)在以z0為心，|z1-z0|為半徑的圓內絕對且一致收斂。推論：若在z2點發(fā)散，則此冪級數(shù)一定在以z0為心，|z2-z0|為半徑的圓外發(fā)散。第三章泰勒展開和羅朗展開4.冪級數(shù)的解析性(1)冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內是一個解析函數(shù)。(2)冪級數(shù)在其收斂圓內可做逐項積分、逐項微分運算，且運算結果收斂半徑不變。5、冪級數(shù)的乘積公式§2解析函數(shù)的泰勒展開一、泰勒定理若f(z)在區(qū)域G內解析，z0∈G,只要圓:│z-z0│≥

R

含于G內，則f(z)在圓內任意一點z可展為冪級數(shù)

其中：C為閉圓:│z-z0│≥R的邊界，方向為逆時針方向?2：收斂半徑：R=LL：展開中心到被展函數(shù)離z0最近的奇點的距離展開的三要素：展開中心，收斂半徑，展開系數(shù)?1：展開中心：題目中給定?3：展開系數(shù)由不同的展開方法求出1、直接展開法利用：基本展式2、間接展開法理論依據(jù)：泰勒展開的唯一性出發(fā)點：基本展式方法一、變量變換方法二、算術運算法方法三、分析運算法微分法：積分法：§3羅朗展開一、羅朗定理：若f(z)在環(huán)域G：R1<|z-z0|<R2中單值解析，則對于環(huán)域內的任何z點，f(z)可以展為冪級數(shù)C是G內任意一條包圍內圓的閉合曲線。積分沿路徑正方向R2R1C1CC21)同一函數(shù)，同一展開中心，在不同區(qū)域的展式是不同的。2)展式中指標k的處理是靈活的。3)羅朗級數(shù)并不一定能反應展開中心的奇異性只有在孤立奇點的去心鄰域作羅朗展開時，所得的羅朗展式才能反應此孤立奇點的奇異性。二、羅朗展開方法：主要為間接展開【例】在展開單值函數(shù)的孤立奇點孤立奇點的定義奇點孤立奇點可去奇點極點本性奇點非孤立奇點孤立奇點的分類定義：若f(z)在孤立奇點z0去心鄰域（0＜|z-z0|<R)內，羅朗展式為(1)沒有負冪項——稱z0為f(z)的可去奇點(2)有有限項負冪項（m項）—

z0為f(z)的m階極點(3)有無限多個負冪項—

z0為f(z)的本性奇點不存在判斷零點的方法法一：利用零點階數(shù)的定義（m較?。┤籀?z)在z0點解析，且Φ(z0)≠0。則z0是m階零點法二：將函數(shù)g(z)在z0點的泰勒展開作變形【例】g(z)