高中數(shù)學(xué) 3.1.1兩角差的余弦公式3 新人教A必修4

小明在作業(yè)中遇到了一個(gè)問(wèn)題，需要求cos15°的值，可惜忘記帶計(jì)算機(jī)了，怎么辦呢？小明不假思索就很快的寫(xiě)出了如下做法。

解：∵cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°

=

你認(rèn)為他做對(duì)了嗎？.

探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值來(lái)表示cos(α-β)呢？

你認(rèn)為公式會(huì)是cos(α-β)=cosα-cosβ嗎？..怎樣聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線來(lái)探索公式？.思考1：如圖，設(shè)α，β為銳角，且α＞β，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪條線段長(zhǎng)？MPP1Oxycos(α－β)=OM.思考2：如何用線段分別表示sinβ和cosβ？PP1OxyAsinβcosβ.思考3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪條線段長(zhǎng)？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪條線段長(zhǎng)？PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC.思考4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么結(jié)論？sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.xyPP1MBOAC+11.上述推理能說(shuō)明對(duì)任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立嗎？.怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式？.-111-1α-β

BAyxoβα∵

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ思考：如圖，設(shè)角α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，則向量、的坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什么？..對(duì)于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α－β))

此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α－β的余弦值之間的關(guān)系．稱為差角的余弦公式．記作：C(α－β)．.分析：怎樣把15°表示成兩個(gè)特殊角的差？變式：求sin75°的值.例1：利用差角余弦公式求cos15°的值．解：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°√3212√64√2+√22=

×+

×=√22.1．利用公式C(α-β)證明：(2)cos(2-α)=cosα．(1)cos(

-α)=sinα;2證明：(1)左邊=coscosα+sinsinα22=0×cosα+1×sinα=sinα=右邊(2)左邊=cos2cosα+sin2

sinα=1×cosα+0×sinα=cosα=右邊.

分析：由C(α-β)和本題的條件，要計(jì)算cos(α-β)，還應(yīng)求什么？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ已知已知應(yīng)求應(yīng)求

例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135.例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135

解：由sinα＝，α∈(，)，得542√cosα=-1-sin2α=-1-()2=-5453√又由cosβ=-

，β是第三象限的角，得135√sinβ=-1-cos2β=-1-()2=-√1351312所以cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα=(-)×(-)+×(-)=-54541351356533

思考：如果去掉這個(gè)條件，對(duì)結(jié)果和求解過(guò)程會(huì)有什么影響？.2．已知cosα=-

，α∈(，)，求cos(-α)的值．532444原式=coscosα+sinsinα√

sinα=

1-cos2α=

1-(-)2

=5354√解：由cosα=-

，α∈(，)，得53245√22=

×(-)+

×=√2253√210.3．已知sinθ=，θ是第二象限角，求cos(θ-)的值．1715333原式=cosθcos

+sinθsin

解：由sinθ=，θ是第二象限角，得1715√cosθ=-1-sin2θ=-

1-()2

=-√1715178√321234√3-8+15=-

×+

×

=1781715.原式=cosβcosα+sinβsinα4．已知sinα=-，α∈(

，

)，cosβ=，β∈(，2)，求cos(β-α)的值．32234323解：由sinα=-，α∈(

，

)，得3223√cosα=-1-sin2α=-

1-(-)2

=-32√√53由cosβ=，β∈(，2)，得4323√sinβ=-1-cos2β=-

1-()2

=-43√√7412=×(-

)+(-

)×(-)=√5343√7432√5√7-3+2.

思考題：已知α，β均為銳角，且α>β，cosα=，cos(α-β)=，求cosβ的值．53√3

1010＝cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)cosβ＝cos[α-(α-β)]．解：cosα=，sin(α-β)＝．√101054√10