無窮級數(shù)習(xí)題及答案(二)

習(xí)題答案(二)(20)第十一章無窮級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一章總習(xí)題十一一般項趨于零是級數(shù)收斂的必要條件而不是充分則().收斂.解:一.判斷下列命題的對錯:1.若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束條件,例如滿足但發(fā)散.應(yīng)填:錯.錯2.若當n足夠大以后則發(fā)散.().解:因為若當n足夠大以后則有:所以發(fā)散.應(yīng)填:對.對3.若發(fā)散,則有:().解:是級數(shù)發(fā)散的充分條件,而不是必要條件.錯發(fā)散,收斂,發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:則2.收斂的充分必要條件為____________________.例如但其一般項滿足4.若().發(fā)散.此命題可用反證法證明.應(yīng)填:對.對二.填空題1.級數(shù)的和為_______.解:應(yīng)填:應(yīng)填:錯.因為所以令則3.解:為級數(shù)當α____時收斂,由比較審斂法知當解:時,的部分和,時收斂,4.設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則若則當α____時發(fā)散.當若收斂,因此收斂.應(yīng)填:收斂.收斂一個級數(shù)若不發(fā)散就收斂,時取則發(fā)散.發(fā)散.因此當收斂.解:的斂散性是_____.發(fā)散.而二.選擇題1.若5.已知即有則發(fā)散,解:則正項級數(shù)由比較審收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)填:發(fā)散.發(fā)散(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)斂散性不定.由于收斂,而由比較審斂法知收斂,從而絕對收斂.應(yīng)選(C).C斂法的極限形式知2.設(shè)a為常數(shù),則級數(shù)解:(A)發(fā)散;(D)斂散性與a有關(guān).(B)條件收斂;(C)絕對收斂;故應(yīng)選(C).收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于從而由比較審斂法知收斂.C絕對收斂.3.設(shè)b是大于零的常數(shù),則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)當b≥1時發(fā)散,當b<1時收斂;(C)收斂;(D)當b≥1時收斂,當b<1時發(fā)散.為交錯級數(shù),由于解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束而根據(jù)萊布尼茲審斂法知此交錯級數(shù)四.若正項級數(shù)應(yīng)選(C).證:收斂,也收斂.試證明因正項級數(shù)收斂,由級數(shù)收斂的必要條件有由數(shù)列極限的定義,對于給定的正數(shù)ε=1,存在正整數(shù)N,當n

>N時,有即有顯然有已知收斂,根據(jù)比較審斂法知收斂.加上有限項仍收斂,收斂,所以這級數(shù)前面收斂.證畢.證明都收斂,且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束也收斂.五.設(shè)證:已知即有都收斂,由于故正項級數(shù)收斂.由正項級數(shù)的比較審斂法知也收斂.根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì)知收斂.證畢.六.證明證:收斂.由級數(shù)收斂的必要條件知七.確定常數(shù)a與b的值,使機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢.并利用所得結(jié)果求解:令比較系數(shù)得方程組:解得因此有于是八.用級數(shù)表示循環(huán)小數(shù)解:再將此級數(shù)之和表示級數(shù)的一般項,的前n項部分和為為分數(shù).九.已知級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:試寫出該并求其和.解:的收斂域.

級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束十.試確定級數(shù)時,發(fā)散.當收斂.當時,級數(shù)級數(shù)收斂域為級數(shù)收斂域同樣為解:十一.試確定級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即的收斂域.所給級數(shù)的收斂域為十二.設(shè)的收斂域.求解:當當時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,當當時,級數(shù)為時,級數(shù)為收斂.發(fā)散.收斂域為:發(fā)散.也發(fā)散.所以十三.求的收斂區(qū)間及和函數(shù).解:設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束∴收斂區(qū)間為上式兩邊積分:上式兩邊求導(dǎo):所以有:十四.不具體寫出冪級數(shù)的展開式,直接確定展開成形如的冪級數(shù)的收斂區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:所展冪級數(shù)的收斂區(qū)間為:十五.設(shè)在并說明理由.試確定該冪級數(shù)令解:時,原冪級數(shù)變?yōu)樘帡l件收斂,的收斂半徑,當即條件收斂.由阿貝定理知:當時,絕對收斂;當時,發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的收斂半徑為十六.若當時收斂,證:當時試指出此冪級數(shù)的收斂半徑R,發(fā)散,并證明之.的收斂半徑也為令由于在處收斂,所以在處收斂.當時絕對收斂.發(fā)散.故又由于在處發(fā)散,所以在處發(fā)散.當時的收斂半徑為因此的收斂半徑也為十七.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的麥克勞林展開式.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束展開成x的冪級數(shù)十八.將十九.設(shè)寫出f(x)以2π為周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)在[-π,π]上的表達式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束