(北師大版)廣州市必修一第三單元《指數函數和對數函數》測試題(答案解析)

256．函數xff256．函數xff一、選題1．已知函數

f

，則滿足函數

f

的定義域和值域都是實數集R

的實數m構的合為）A．

m

B．

C．

．

2．已知函數

f()log

，在[

，]上值域為，4]，

f

的取值范圍是（）A．[1,2]B．

C．

．3．已知

xx

是

上的減函數，那么a的值范圍是（）A．4．集合

x

1B．C．,R的子集的數為（）

．

,1A．

B．

C．

．5．已知：

log

，

log

，c

，則，，c的小關系是（）A．1

2

B．bC．的單調遞增區(qū)間是（）

．

c3A．

(

B．

－

C．

．

，＋7．已知函數

(x)

，則

（）A．

12

B．

C．D．

128．設函數

f

，

，且

f

，則c與的小關系是（）A．

B．

C．2

．

9．已知

logyz23

，則

x

35、、的小排序為yA．

35z

B．

z

C．

23xy

．

2yx10．數學史上，一般認為數的發(fā)明者是蘇格蘭數學—納爾，1550-1617年）．在納皮爾所處的年代，哥白尼“太陽中心”剛開始流行，這導致天文學成為當

xx時的熱門學科．可是由于當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜“天文數字，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間．納皮爾也是當時的位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終于獨立發(fā)明了對數．在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個例子：1234568…1415…27

28

29248163264128256…32768…

134217728

268435356

536870912這兩行數字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的數，第二行表示2的應冪．如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的和來實現．比，算64×256的，就可先查第一行的對應數64對應，對應8，后再把第一行中的對應數字加和起來：＋＝；第一行中的14，對應第二行中的16384，以有：＝按這樣的方法計算：16384×32768=（）A．B．268435356C．536870912．51376580211．知偶函數

f()

1在[0,單遞增，f(()4

13

)

，

f(log

3

)

，c(log13

，則，，c大小關系為（）A．a

B．

C．c

．

12．知函數

f()

與

y

互為反函數，函數

y(x

的圖象與

f()

的圖象關于x軸對稱，若

(a，則實數a的為A．

B．

1e

C．

e

．

1e二、填題13．知

f(x)

是定義在[0,函數，滿足

f(x)，[0,1)，f()

x

，則

f(log30)3

________.14．知函數

f(xlog(ax2)2

的值域為R，則實數的值范圍是________15．函數

ya

x

a

恒過點

(mn)

，則函數在

上的最小值_____.16．知

1000，則

11xy

＝．有以下結論：①將數

的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)

的圖象；②函

f

與

g

的圖象關于直線yx對

③對函數

f

(

且

a

)，一定有

f

12

f12④函

fx2

的圖象恒在軸方其中正確結論的序號_18．函數

,xx)1x

，則滿足

f)

的的值范圍是______________.19．函數

f

ax

，且f

a

,

a

上的值域為

，則實數的值范圍為______.20．于下列命題：①若數

x

的定義域是

x

，則它的值域是

y②若數y

1x

的定義域是

|x，它的值域是y③若數

x

2

的值域是

0y定域可能是

④若數

ylog2

的值域是

定域是

x其中不正確的命題的序號（：把你認為不正的命題的序號都填上）三、解題21．知函數

f

.（）函數

f

的定義域；（）論函數

f

的奇偶性；（）明：函

f

在定義域上單調遞減22．知函數

f

．（）函數

f

的定義域；（）斷函數

f

的奇偶性，并說明理由．23．簡下列各式：（）

3

；（）

2lg2111224．1）函數

log

的定義域；

（）函數y

x

，

x（）函數

x

的單調遞增區(qū)間25．知函數

f()log

的圖象關于原點對稱，其中a.（）

x

時，

f(xlog(1

恒成立，求實數的值范圍（）關于的方程26．簡計算：

2fx)log(12

在k的值范圍（）

60.257

2

2

；（）

lg520lg2lg25

.【參考答案】***試卷處理標記，請不要除一選題1．解析：【分析】若定義域為實數集R則2對于恒立，可得m，若值域為實數集，t2

x

，

t

此時需滿足t

x

的域包括

，可得m

，再求交集即可【詳解】若

f

定義域為實數集R，則

x

對

R

恒成立，即m

x

對于

恒成立，因為x，以，以m，令xm，ylogt若fR，則

m的值域包括

，因為，所以所以故選：【點睛】

m

，

關鍵點點睛：本題的關鍵點是要找到定義域為的價條件即2x對x恒立，分離參數求范圍，值域為的價條件即t

x

可取遍所有大于0的，由

t

，所以

，再求交集2．D解析：【分析】由對數函數的單調性可得【詳解】

m的性質即可得.由題意，函數

f()log在上單調遞減，在

上單調遞增，且

f

f

，

f

，結合該函數在

,m

上的值域為可

m所以

,8

，

f

log0,32

.故選：【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是由對數函數的圖象變換及單調性確定解3．C解析：【分析】

m由5a1【詳解】

解得結果即可得解.因為

xxx

是

上的減函數，所以5aalog1

，解得

1195

.故選：【點睛】易錯點點睛：容易忽視兩段交界點處函數值的大小關.4．D解析：

x100xxx100x2xxRyy即與100x100bx100xxx100x2xxRyy即與100x100b22【分析】分析指數函數y與冪函數的圖像增長趨勢，當x，有1個點；當x，有2個點；即集合xR素所以真子集個數為

【詳解】分析指數函數y與函數x100

的圖像增長趨勢，當

時，顯然有一個交點；當

x

時，當

x

時，2；當

時，2；

x

時，有一個交點；分析數據發(fā)現，當x較小時，

y

比增長的快；當x較時，比y增長的，即是爆炸式增長，所以還有一個交.的圖像有三個交點，即集合有個素，所以真子集個數為2故選：【點睛】結論點睛：本題考查集合的子集個數，集合A中有個素，則集合A的集有2真子集有5．A解析：【分析】

個，由換底公式和對數函數的性質可得

，再由指數函數的性質可得

，即可得解【詳解】ln=0ln2ln

212lnln，233ln13lnlnln2

，4130,log2，922a

，故選：【點睛】方法點睛：本題考查了對數式、指數式的大小比較，比較大小的常用方法為同底的對數式和指數式利用其單調性進行比較，也可以借助于中間值0和1進行比較，考查了運算求解

f2flog222f2flog222能力與邏輯推理能力，屬于常考.6．C解析：【分析】由不等式

x0，得函數的定義域

2

，得到g

x

在區(qū)間

(

上單調遞增，在區(qū)間[上調遞減，結合復數函數的單調性的判定方法，即可求解【詳解】由題意，函數

ylog(21

有意義，則滿足

x0，即

x

3xx3)(x

，解得

，即函數的定義域為

，令

數g

表示開口向下，對稱軸方程為的物線，所以函數

g

上單調遞增，在區(qū)間[1,3)上調遞減，又由函數

ylogx13

在定義上是遞減函數，結合復數函數的單調性的判定方法，可得函數

(2x13

的遞增區(qū)間為[1,3)故選：【點睛】函數單調性的判定方法與策略：定義法：一般步驟：設元作變判斷符號得出結論；圖象法：如果函數

f

是以圖象形式給出或函數

f

的圖象易作出，結合圖象可求得函數的單調區(qū)間；導數法：先求出函數的導數，利用導數值的正負確定函數的單調區(qū)間；復合函數法：先將函數

y())

分解為

yf(t)

和

tx)

，再討論這兩個函數的單調性，最后根據復合函數同異減的則進行判.7．A解析：【分析】根據分段函數解析式，依次計算

，

3

，即可得選.【詳解】因為函數

(x)

，所以

f

3log2

，f

32

.

故選：【點睛】本題考查根據分段函數求解函數值，關鍵在于根據解析式分段求解，由內到外，準確認清自變量的所在的范圍和適用的解析.8．D解析：【分析】運用分段函數的形式寫出

f

的解析式，作出

f

的圖象，由數形結合可得c且，

2c

且

a

，

f

，去掉絕對值，化簡即可得到結論．【詳解】

x

1x,x

，作出象如圖所示，由圖可知，要使

且

f

成立，則c

且

，故必有且2

a

，又

f

，即為1

，

2a．故選：．【點睛】本題考查指數函數單調性的應用，考查用指數函數單調性確定參數的范圍，本題借助函數圖象來輔助研究，由圖象輔助研究函數性質是函數圖象的重要作用，以形助數的解題技巧必須掌握，是中檔題．9．A解析：【解析】，，

為正實數，且

logylog23

xyk25

k可得：

23z

因為函數

1

單調遞增，

2

.

133133133133故選10．解析：【分析】先找到16384與32768在一行中的對應數字，進行相加運算，再找和對應第二行中的數字即可【詳解】由已知可知，要計算16384×32768，先查第一行的對應數字16384對應14，對應15，后再把第一行中的對數字加起來＋＝，對應第二行中的，所以有16384×32768＝故選C.【點睛】本題考查了指數運算的另外一種算法，關鍵是認真審題，理解題意，屬于簡單.11．解析：【分析】偶函數

fx)

在[0,單調遞,簡

f(log5)(log5)f(log5)1

，利用中間量3比較大小得.【詳解】偶數f(x)

在[單遞增f(log(f(log5)13

，

170)542

，17f(()3)(log)5)42

a

.故選：【分析】本題考查函數奇偶性、單調性及對數式大小比較，屬于基礎.12．解析：【分析】根據指數函數與對數函數的關系，以及函數

yg(x

的圖象與

f(x

的圖象關于軸對稱，求得【詳解】

(x)，由g(a

，即可求解由題意，函數

f()

與y互反函數，所以

f()

，

33333310313333331031函數

yg)

的圖象與

f(x

的圖象關于軸稱，所以

g(x)

，又由

(a

，即

，解得

故選D.【點睛】本題主要考查了指數函數與對數函數的關系，其中熟記指數函數與對數函數的關系，以及函數的對稱性求得函數

g

的解析式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題二、填題13．【分析】利用對數的運算性質得出結合周期性即可得出的值【詳解】且則則函數的周期為2故答案為：【點睛】本題主要考查了由抽象函數的周期求函數值涉及了對數的運算屬于中檔題解析【分析】

利用對數的運算性質得出

loglog3

3

，結合周期性，即可得出

f30)

的值.【詳解】loglog27log91log3

，且(xx，f(則(f(x

，則函數f()

的周期為210f(log30)logf9故答案為：

log

【點睛】本題主要考查了由抽象函數的周期求函數值，涉及了對數的運算，屬于中檔14．【分析】設值域為根據題意對分類討論結合根的判別式即可求解【詳解】設值域為函數的值域為當時值域為滿足題意；當時須解得綜上實數的取值范圍是故答案為:【點睛】本題考查對數函數的性質復合函數的性質二次函數解析：0,【分析】

0,xx0,xx2設

ux)2

值域為，根據題意

(0,A

，對a分討論，結合根的判別式，即可求解【詳解】設

ux)

2

值域為，函數

f()log()2

的值域為

，當a

時，

f()x2

值域為R，滿足題意；當

a

時，須，得2

12

，1綜上，實數a的取范圍是0,.故答案:

1

.【點睛】本題考查對數函數的性質，復合函數的性質，二次函數的取值和根的判別式的關系，屬于中檔題15．【分析】先利用指數型函數恒過定點問題求定點得到換元令利用二次函數的單調性即可求解【詳解】函數恒過點則區(qū)間變?yōu)橛珊瘮盗顒t利用二次函數的單調性當時則函數在上的最小值是故答案為：【點睛】關鍵點睛：把指數型解析：【分析】先利用指數型函數恒過定點問題求定點，得到

mn

，換元，令t，用二次函數的單調性，即可求.【詳解】函數

ya

，則

m

，區(qū)間

x由函數f，1令,4

，13則t2t，利用二次函數的單調性，

xxx,y100010001000xxx,y100010001000當

12

時，

fmin4

，則函數f在

上的最小值是.故答案為：

.【點睛】關鍵點睛：把指數型復合函數求最值問題轉化為二次函數求最值問題是解決本題的關16．【分析】根據指數與對數之間的關系求出利用對數的換底公式即可求得答案【詳解】∵∴∴∴故答案為：【點睛】本題考查了指數與對數之間的關系掌握對數換底公式:是解本題的關鍵屬于基礎題解析：

13【分析】根據指數與對數之間的關,求利用對數的換底公,即求得答案.【詳解】

xy1000，

xlog125

log1000

log1000

，11log12.5，1110.1故答案為：.3【點睛】本題考查了指數與對數之間的關.握對數換底公:

a

是解本題的關鍵屬于基礎題17．②③④分析】根據圖象的平移規(guī)律直接判斷選項；②根據指對函數的對稱性直接判斷；③據指數函數的圖象特點判斷選項；④求的范圍再和0比較大小【詳解】①根據平移規(guī)律可知的圖象向右平移1個單位得到的圖象解析：【分析】①根圖象的平移規(guī)律，直接判斷選項根據指對函數的對稱性，直接判斷③根指數函數的圖象特點，判斷選項④先x

的圍，再和比較大小.

f2xxf2xx【詳解】①根平移規(guī)律可知y

的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)

x

的圖象，所以不確；根兩個函數的對稱性可知函數

f

與

g

的圖象關于直線y=x對稱，正確；如圖，設，

x對應的是曲線上橫坐標為2的C的縱2坐標，

f122

是線段AB

的中點D的坐標，由圖象可知f2

f12

，同理，當

0

時，結論一樣，③確；④x

7x44根據函數的單調性可知

l

，所以函數

fx22)2的圖象恒在軸方，故正確.故答案為：③【點睛】思路點睛：圖平移規(guī)律是“左＋右”，對于自變量來，本不易判斷的就是③，先理解

ff212

的意義，再結合圖象判斷正誤18．【分析】根據分段函數分段解不等式最后求并集【詳解】當時因為解得：∴當時解得：所以綜上原不等式的解集為故答案為：【點睛】本題主要考查了解分段函數不等式涉及指數與對數運算屬于基礎題解析：

[0,【分析】根據分段函數，分段解不等式，最后求并.【詳解】當

時，

fx)1

，因為

1

，解得：

x

，

0

，當

時，

f(x)x2，log解得：x2

，所以

，

22綜上，原不等式的解集為

.故答案為：

.【點睛】本題主要考查了解分段函數不等式，涉及指數與對數運算，屬于基礎.19．【分析】利用換元法可得然后采用等價轉換的方法可得在的值域為最后根據二次函數的性質可得結果【詳解】由令所以則令由在上的值域為等價為在的值域為的對稱軸為且所以可得或所以故答案為：【點睛】本題主要考查函數5解析：【分析】利用換元法，可得

g2

，然后采用等價轉換的方法，可得

g

在

aa

2

的值域為

，最后根據二次函數的性質，可得結.【詳解】由

f

ax

令

t2x,xt2

，所以

ft2

2

則令

g

2

由

f

a

,

a

上的值域為

等價為

g

aa

的值域為

g

的對稱軸為，所以

2

a可得

352

或2

3253所以a,15故答案為：【點睛】本題主要考查函數值域的應用，難點在于使用等價轉換思想，使問題化繁為簡，屬中檔.20．①②④【分析】根據各個函數的定義域求出各個函數的值域判斷正誤即可【詳解】①函數的定義域值域;①不正確;②函數的定義域

x2x2是值域;故②正確;③中函數的值域是則它的定義域可能是故③是確的;解析：【分析】根據、、、④各函數的定義域求各個函數的值域判正誤即可.【詳解】①中數

x

的定義域

,值

y

(0,1]

故不正確②中數y

的定義域是

{x2}值

;故不;③中數

x

2

的值域是

{yy4}

,則的定義域可能是

確的④中數

ylog2

的值域是

{y|y3},∵x0x2

故不確故答案①④.【點睛】本題考查函數的定義域及其求,數的值指數函數的定義域和值對函數的值域與最值考計算能屬于基礎題三、解題21．

(

(2)函

f(x)

為奇函數(3)證明見解析.【分析】(1)由

f

的定義域滿足

可得答.(2)直判斷

f

的關系可得答案(3)設12

，先作差判斷出

x1x21x2

，再由對數函數

ylog2

在

上單調遞增有，

2

112112

，即可得出結論【詳解】解：（）

，得

，解得x函數

f()

的定義域為

(1,1)（）（）知函數

fx)

的定義域關于原點對稱由

f(log

1(x11

，可得函數

f()

為奇函數（）12設

1

211

2222

12x0,1212

x1x2x12利用對數函數

ylog在(0,單調遞增有，2

2

12112即

f2

1

故函數

fx)

在(上調遞減【點睛】關鍵點睛：本題考查函數的定義域、奇偶性的判斷和用定義法證明單調性，解答本題的關鍵是先得出

與的小關系，再由函數1

ylog2

在

上單調遞增得到

2

112log112

，即

f

，屬于中檔題.22．1）

；（）

f

為奇函數，證明見解.【分析】（）用對數的真數大于零求解出不等式的解集即為定義域；（）判斷定域是否關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，分析

f

之間的關系，由此判斷出【詳解】

f

的奇偶性（）為

，所以

，所以

f

的定義域為

；（）

f

為奇函數，證明：因為

f

的定義域為

關于原點對稱，且f

x，所以

f

為奇函數【點睛】思路點睛：判斷函數

f

的奇偶性的步驟如下：（）分析

f

的定義域，若

f

定義域不關于原點對稱，則

f

為非奇非偶函數，若

f

的定義域關于原點對稱，則轉至2；（）

f

為偶函數；若

f

為奇函數

100081021000810223．1）；（）1.【分析】（）據指數的運算性質，準確運算，即可求解；（）據對數運算性質，準確運算，即可求.【詳解】（）據指數的運算性質，可得原式

64

15

2

3

15

52

23

3

15

.（）對數的算性質，可得原式

2lg22lg0.62lg24lg2103313lg3

.【點睛】本題主要考查了指數冪和對數的運算性質的化簡、求值，其中解答中熟記指數冪與對數的運算性質，準確運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能.24．1）

；（）

；（）

，

3,

.【分析】（）不等式x

可得函數

log

x

的定義域；（）用二次數的基本性質可求得函數

y

2

2x

，

x（）函數

x

x

的解析式表示為分段函數，利用二次函數的基本性質可求得原函數的單調遞增區(qū).【詳解】