機械控制工程基礎 4頻域分析

第四章頻域分析1頻率響應：線性定常系統(tǒng)對諧波（正弦波）輸入的穩(wěn)態(tài)響應線性定常系統(tǒng)對諧波（正弦波）輸入的響應：包括穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應。其穩(wěn)態(tài)響應根據(jù)頻率保持特性，也是一個同頻率的正弦信號，但幅值和相位與輸入信號不同。即若系統(tǒng)的輸入為則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為2－、引言頻率特性分析：將傳遞函數(shù)從復數(shù)域引到頻域來分析系統(tǒng)的特性。時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率w的諧波輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應來研究系統(tǒng)的性能。31、時域分析的缺陷

高階系統(tǒng)的分析難以進行；

難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結構變化對系統(tǒng)性能的影響；

當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。42、頻域分析的目的頻域分析：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結構參數(shù)與性能的關系。

可用圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向；

易于實驗分析；優(yōu)點：

可方便設計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。5二、頻率特性概述1、頻率響應與頻率特性線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關系特性。6頻率響應與頻率特性的概念考慮線性定常系統(tǒng)：當正弦輸入xi(t)=Xsint

時，相應的輸出為：7假設系統(tǒng)只具有不同的極點，則：其中為一對待定共軛復常數(shù)Ai(i=1,2,…,n)為待定常數(shù)。從而：8如果系統(tǒng)包含有rj個重極點pj，則xo(t)將包含有類似：的這樣一些項。對穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項隨

t趨于無窮大都趨近于零。9因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：其中：由于：因此：10上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號，且輸出與輸入的幅值比為|G(j)|，相位差為G(j)。輸出信號的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。

11幅頻特性與相頻特性一起構成系統(tǒng)的頻率特性。

幅頻特性：當由0到變化時，|G(j)|的變化特性，記為A()。

相頻特性：當由0到變化時，G(j)的變化特性稱為相頻特性，記為()。

頻率響應：系統(tǒng)對諧波輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。

頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號輸入時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化(由0變到)的特性。12當傳遞函數(shù)中的復變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。2、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系13微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應函數(shù)和頻率特性。它們之間的關系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)1415A（）——幅頻特性；G（j）的模，它等于穩(wěn)態(tài)的輸出分量與輸入分量幅值之比.（）——相頻特性；G（j）的幅角，它等于穩(wěn)態(tài)輸出分量與輸入分量的相位差。U（）——實頻特性；V（）——虛頻特性；都是的函數(shù)，之間的關系用矢量圖來表示。163、頻率特性求解(1)、根據(jù)定義求取。即對已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復數(shù)比即可得到。

(2)、根據(jù)傳遞函數(shù)求取。

即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。

(3)、通過實驗的方法直接測得。17傳遞函數(shù)->頻率特性正弦輸入xi(t)=Xsint

作用下的頻率響應。

求一階系統(tǒng)的頻率特性及在解：

復變函數(shù)18對于正弦輸入xi(t)=Xsint，根據(jù)頻率特性的定義：19[例]：設傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：20[例]：如下圖所示RC電路。其微分方程和傳遞函數(shù)分別是：21

拉氏反變換為：上式第一項為瞬態(tài)項，當時，第一項趨于0。第二項為穩(wěn)態(tài)項：22由上式可得系統(tǒng)的幅頻特性為：系統(tǒng)的相頻特性系統(tǒng)的頻率特性23[頻率特性曲線]：將矢量由變化時，矢量端點構成的一條曲線叫做頻率特性曲線。上例的頻率特性曲線如下圖：24

1、頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素無關。當系統(tǒng)結構參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應。從理論上講，系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。

當頻率改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（）和相位移（）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲能元件引起的。25

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；

()大于零時稱為相角超前，小于零時稱為相角滯后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()264、頻率特性表示方法

解析表示（包括幅頻－相頻，實頻－虛頻）27頻率特性，復變量28圖示法。在坐標上繪出幅值與相角隨著頻率變化的曲線。

29某系統(tǒng)結構圖如圖所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號作用時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出30

3132直接用傳遞函數(shù)求解的結果？3334二、頻率特性的圖示方法Nyquist圖(極坐標圖，幅相頻率特性圖)Bode圖(對數(shù)坐標圖，對數(shù)頻率特性圖)Nichols圖(對數(shù)幅相圖)351、頻率特性的極坐標圖(Nyquist圖、幅相頻率特性圖）

當從0變化時，在極坐標上表示出G(j)

幅值相角的關系曲線，稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標圖。362、對數(shù)頻率特性曲線（波德圖，Bode圖）

Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。⒈波德圖坐標(橫坐標是頻率，縱坐標是幅值和相角)的分度：橫坐標(稱為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對數(shù)值logw

進行線性分度的。但為了便于觀察仍標以w

的值，因此對w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標變化一個單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：由于w以對數(shù)分度，所以零頻率點在－∞處。37更詳細的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.00038縱坐標分度：對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標以L(w)=20logA(w)表示。其單位為分貝(dB)。直接將20logA(w)值標注在縱坐標上。相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。幅值A(w

)1.001.261.562.002.513.165.6210.010