中小學(xué)數(shù)學(xué)建模

中小學(xué)數(shù)學(xué)建模B11數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)四班王毅（114103054014）認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模(一）數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用（相關(guān)）知識(shí)從實(shí)際問(wèn)題中抽象、

提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

即數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。（二）數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字、字母和數(shù)學(xué)符號(hào)組成，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形和算法。

各種數(shù)學(xué)公式、方程式定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型，舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，一元一次方程就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題甚至實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解決。了解數(shù)學(xué)建模過(guò)程

1、模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。

2、模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

3、模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）。

4、模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（或近似計(jì)算）。

5、模型分析：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。6、模型檢驗(yàn)：用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯?shí)用性，即驗(yàn)證模型的正確性。

7、模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。建立數(shù)學(xué)模型的方法

（1）分析與綜合：分析是對(duì)所獲得的數(shù)學(xué)材料或數(shù)學(xué)問(wèn)題的構(gòu)成要素進(jìn)行研究，把握各要素在整體中的作用，找出其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，從而得出有關(guān)要素的一般化的結(jié)論的思維方式。綜合是將對(duì)數(shù)學(xué)材料、數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析結(jié)果和各要素的屬性進(jìn)行整合，以形成對(duì)該對(duì)象的本質(zhì)屬性的總體認(rèn)識(shí)的思維方法。（2）比較與分類(lèi)：比較是對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)材料，辨別它們的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，以便揭示其背后的共同模型。分類(lèi)是在比較的基礎(chǔ)上，按照事物間性質(zhì)的異同，將具有相同性質(zhì)的對(duì)象歸入一類(lèi)，不同性質(zhì)的對(duì)象歸入另一類(lèi)的思維方法。（3）抽象與概括：抽象是從許多數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，舍去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，而抽出共同的本質(zhì)的屬性。概括則是把抽象出來(lái)的事物間的共同特征，歸結(jié)出來(lái)。（4）猜想與驗(yàn)證：猜想是對(duì)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納等一系列的思維活動(dòng)，依據(jù)已有的材料或知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，做出符合一定規(guī)律的推測(cè)性想象。這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程可以概括為：實(shí)際操作——提出猜想——進(jìn)行驗(yàn)證——自我反思——建立模型案例應(yīng)用案例一：鋪管道問(wèn)題

A、B兩地相距18公里，甲工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道。已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1公里，甲工程對(duì)提前3周開(kāi)工，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù)，求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少公里管道？AB18公里解：設(shè)甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道x公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道（x＋1）公里。依題意得：解得

=2，

=-3經(jīng)檢驗(yàn)

=2，=-3都是原方程的根。但

=－3不符合題意，舍去?！鄕=2x＋1=3答：甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道2公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道3公里。案例二：采購(gòu)問(wèn)題

某體育用品商場(chǎng)采購(gòu)員要到廠家批發(fā)購(gòu)進(jìn)籃球和排球共100只，付款總額不得超過(guò)11815元。已知兩種球廠家的批發(fā)價(jià)和商場(chǎng)的零售價(jià)如下表，試解答下列問(wèn)題：（1）該采購(gòu)員最多可購(gòu)進(jìn)籃球多少只？（2）若該商場(chǎng)能把這100只球全部以零售價(jià)售出，為使商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)不低于2580元，則采購(gòu)員至少要購(gòu)籃球多少只？該商場(chǎng)最多可盈利多少元？品名廠家批發(fā)價(jià)(元/只)

商場(chǎng)零價(jià)（元只）籃球130160排球100120解：（1）該采購(gòu)員最多可購(gòu)進(jìn)籃球ｘ只，則排球?yàn)椋?00－x）只，依題意得：130x＋100（100－x）≤11815解得x≤60.5∵x是正整數(shù)，∴x＝60答：購(gòu)進(jìn)籃球和排球共100只時(shí)，該采購(gòu)員最多可購(gòu)進(jìn)籃球60只。（2）該采購(gòu)員至少要購(gòu)進(jìn)籃球ｘ只，則排球?yàn)椋?00－x）只，依題意得：30x＋20（100－x）≥2580解得x≥58由表中可知籃球的利潤(rùn)大于排球的利潤(rùn)，因此這100只球中，當(dāng)籃球最多時(shí)，商場(chǎng)可盈利最多，即籃球60只，此時(shí)排球平均每天銷(xiāo)售40只，商場(chǎng)可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）答：采購(gòu)員至少要購(gòu)進(jìn)籃球58只，該商場(chǎng)最多可盈利2600元。案例一：數(shù)昆蟲(chóng)問(wèn)題

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共18只，條有118腿和20對(duì)翅膀，問(wèn)每種小蟲(chóng)各幾只?分析：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲(chóng)分成“8條腿”與”6條腿“兩種。先假設(shè)蜻蜓和蟬的總只數(shù)為x,那么蟬就有（18-x）只。根據(jù)腿的條數(shù)列方程先算出x，那么就得到蟬的只數(shù)。再設(shè)蜻蜓有y只，根據(jù)翅膀的對(duì)數(shù)列方程即可得到y(tǒng)，那么就得到蜻蜓和蟬的只數(shù)。解：設(shè)蜻蜓和蟬的總共為x只，那么蜘蛛為（18-x）只?？闪蟹匠蹋?x+（18-x）×8=118解得：x=13（只）所以蜘蛛為18-13=5（只）再設(shè)蜻蜓為y只，那么蟬為（13-y）只。列方程：2y+（13-y）=20解得y=7（只），所以蟬為13-7=6（只）。答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。數(shù)學(xué)建模的價(jià)值1、翻譯能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模要將實(shí)際問(wèn)題先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，再把數(shù)學(xué)問(wèn)題用一般人所能理解的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，提出解決某一問(wèn)題的方案或建議。這可以充分鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與非數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的翻譯表達(dá)能力。

2、自學(xué)能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模所涉及的各種實(shí)際問(wèn)題一般都與現(xiàn)實(shí)生活有較密的聯(lián)系并具有較強(qiáng)的實(shí)用性，很容易激發(fā)學(xué)生的好奇心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其它知識(shí)的興趣，挖掘?qū)W習(xí)潛能，自覺(jué)地查閱與問(wèn)題有關(guān)的科技資料，從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和自學(xué)習(xí)慣，使他們掌握一種可以終身獲得知識(shí)的方法。3、想象力和聯(lián)想力的培養(yǎng)。對(duì)于不少的實(shí)際問(wèn)題，看起來(lái)完全不同，但在一定的簡(jiǎn)化層次下，它們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的。這要求學(xué)生必須開(kāi)動(dòng)腦筋，拓寬思路，充分發(fā)揮他們的想象力。4、各種當(dāng)代科技最新成果使用能力的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，應(yīng)用計(jì)算機(jī)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件對(duì)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算、處理，對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行分析、論證，這不僅能夠節(jié)省大量的時(shí)間，得到直觀形象的結(jié)果，而且能夠養(yǎng)成自覺(jué)應(yīng)用最新科技成果的良好習(xí)慣。6、團(tuán)結(jié)合作的團(tuán)隊(duì)精神和交流表達(dá)能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)往往是小組分工合作，需要各成員之間密切配合，相互交流，集思廣益。同時(shí)提倡討論、爭(zhēng)辯、勇于提出自己的觀點(diǎn)和見(jiàn)解，從而培養(yǎng)互相交流、互相學(xué)習(xí)、求同存異的團(tuán)結(jié)合作精神和組織、協(xié)調(diào)、管理的能力，這種互相合作的精神在當(dāng)今社會(huì)生活中是非常需要的。

7、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模沒(méi)有現(xiàn)成的答案，也沒(méi)有現(xiàn)成的模式或通式，建模的過(guò)程有較大的靈活性，建模的結(jié)果一般只有最優(yōu)答案，而不是標(biāo)準(zhǔn)答案。因此，數(shù)學(xué)建模給學(xué)生提供了一個(gè)自我學(xué)習(xí)獨(dú)立思考認(rèn)真探索的實(shí)踐過(guò)程，提供了一個(gè)發(fā)揮創(chuàng)造才能的條件和平臺(tái)。數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

1、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。《新課標(biāo)》的總體目標(biāo)中提出，要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題的過(guò)程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并能解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題?！弊寣W(xué)生經(jīng)歷就必須有一個(gè)實(shí)際環(huán)境。學(xué)生在實(shí)際環(huán)境中通過(guò)活動(dòng)體會(huì)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。

2、開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，重視實(shí)踐活動(dòng)，為學(xué)生解決問(wèn)題積累經(jīng)驗(yàn)。開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手解決問(wèn)題，可以使他們獲取數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的背景、情境，理解有關(guān)的名詞、概念，有助于學(xué)生正確理解題目意思，建立數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究精神和實(shí)踐能力的自由天地。

3、引導(dǎo)學(xué)生用圖形解決問(wèn)題，確立從代數(shù)到幾何的過(guò)渡。代數(shù)與幾何并不是孤立的兩塊。他們也有相通之處。我們可以用幾何的觀念來(lái)解代數(shù)問(wèn)題。圖形對(duì)于低段學(xué)生來(lái)說(shuō)是更直觀、更有效的形式。

例：讓學(xué)生觀察熱水瓶、茶杯、可樂(lè)罐、電線桿、大樹(shù)、房屋柱子等，通過(guò)現(xiàn)代教學(xué)手段（如用CAI課件或?qū)嵨锿队皟x），學(xué)會(huì)撇開(kāi)扶手柄、樹(shù)枝、顏色等非本質(zhì)特征，分