幾種不同增長函數(shù)模型

（一）3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型【教學(xué)重點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)難點(diǎn)】課程目標(biāo)【教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題.借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，對指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長狀況進(jìn)行比較，初步體會它們的增長差異性；結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異性．問題情景問題情景

假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報(bào)是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認(rèn)為這樣的交易對你有利嗎？

閱讀課本95～97頁例1，邊閱讀邊思考下面的問題：【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案？

在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？構(gòu)建數(shù)學(xué)探究一投資天數(shù)、回報(bào)金額解:設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一：方案二：方案三：

在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？探究一

上述的三個(gè)數(shù)學(xué)模型,第一個(gè)是常數(shù)函數(shù),另兩個(gè)都是遞增的函數(shù)模型,你如何對三個(gè)方案作出選擇？方法1:我們來計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長情況：探究二

請同學(xué)們對函數(shù)增長情況進(jìn)行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根據(jù)表格中所提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長差異有什么認(rèn)識？三種方案每天回報(bào)表x42681012y20406080100120140o

底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多.從中你對“指數(shù)爆炸”的函數(shù)有什么新的理解？

你能通過圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？

方法2：我們來作出三種方案的三個(gè)函數(shù)的圖象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8結(jié)論:①投資1~6天,應(yīng)選擇方案一;②投資7天,應(yīng)選擇方案一或二;③投資8~10天,應(yīng)選擇方案二;④投資11天(含11天)以上,則應(yīng)選擇方案三.回報(bào)天數(shù)方案?累計(jì)回報(bào)表：方案一方案二方案三你30天內(nèi)給公司的回報(bào)為:0.01+0.01×2+0.01×22+…

+0.01×229300萬元解答:公司30天內(nèi)為你的總投資為:情景問題解答

假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報(bào)是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認(rèn)為這樣的交易對你有利嗎？=10737418.23≈1074(萬元).1074-300=774(萬元).實(shí)際應(yīng)用問題分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題審題數(shù)學(xué)化尋找解題思路還原(設(shè))(列)(解)(答)★解答例1的過程實(shí)際上就是建立函數(shù)模型的過程,建立函數(shù)模型的程序大概如下：【例2】某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí),按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

本問題涉及了哪幾類函數(shù)模型？本問題的實(shí)質(zhì)是什么？·············一次函數(shù)模型

實(shí)質(zhì):分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎(jiǎng)勵(lì)模型的影響，就是比較三個(gè)函數(shù)的增長情況．y=0.25xy=log7x+1,·············對數(shù)函數(shù)模型·············指數(shù)函數(shù)模型y=1.002x探究一①銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元,所以銷售利潤x可用不等式表示為____________.③依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金不超過利潤的25%,所以獎(jiǎng)金y可用不等式表示為___________.②依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,所以獎(jiǎng)金y可用不等式表示為_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?探究二

你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司要求嗎？

獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),符合條件：

(1)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元；

(2)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.

因此,在區(qū)間[10,1000]上,不妨作出三個(gè)函數(shù)模型的圖象,通過觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結(jié)論,再通過具體計(jì)算確認(rèn)結(jié)果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？①對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,當(dāng)x>20時(shí),y>5,因此該模型不符合要求;探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？②對于模型y=1.002x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x>806時(shí),y>5,因此該模型不符合要求.探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？③對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x=1000時(shí),y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.

按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%呢？解:當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)是否有f(x)≤0恒成立?

即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)=log7x+1－0.25x的圖象是否在x軸下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的圖象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五

根據(jù)圖象觀察,f(x)=log7x+1-0.25x的圖象在區(qū)間[10,1000]內(nèi)的確在x軸的下方.

這說明,按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì),獎(jiǎng)金不會超過利潤的25%.由圖象知f(x)

在[10,1000]上為減函數(shù).說明當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),有.另解:作出f(x)的圖象(利用計(jì)算機(jī)).

綜上按對數(shù)函數(shù)模型獎(jiǎng)勵(lì)符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%呢？探究五即獎(jiǎng)金不會超過利潤的25%.從以上兩個(gè)例子，我們看到對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在第一區(qū)間的增長是有差異的，下面用幾何畫板來觀察它們的差異．探究六問題情景

對數(shù)函數(shù)y=logax

(a>1),冪函數(shù)y=xn

(n>0)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數(shù),但它們的增長是有差異的.那么這種差異的具體情況到底是怎樣呢?以函數(shù)y=2x,

y=log2x,y=x2為例.探究一制作函數(shù)值表(借助計(jì)算器制表).觀察表格,三個(gè)函數(shù)的增長速度是不同的.

總體來講隨著x的增大,y=log2x的增長速度最慢;y=2x和y=x2的增長速度有變化,一開始,

y=2x的增長速度快,后來y=x2增長速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一畫函數(shù)圖象(描點(diǎn)或借助計(jì)算機(jī)作圖).觀察圖象可以看出:三個(gè)函數(shù)的增長速度是不同的,你能根據(jù)圖象分別標(biāo)出不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的x的取值范？(1)0<x<2或x>4時(shí),(2)2<x<4時(shí),24xyo1問題(1)如何求函數(shù)在(0,+∞)的零點(diǎn)?觀察函數(shù)y=2x與

y=x2之間的增長情況探究二觀察函數(shù)y=2x與

y=x2之間的增長情況

從函數(shù)圖象可以看出,y=2x與y=x2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),表明2x與x2在自變量的不同的區(qū)間有不同的大小關(guān)系,有時(shí)2x>x2,有時(shí)2x<x2但當(dāng)x越來越大時(shí),2x的增長速度遠(yuǎn)快于x2.問題(2)觀察圖象,試求出可使下列不等式成立的x的取值范圍.(1)0<x<2或x>4時(shí),(2)2<x<4時(shí),探究二答:在區(qū)間(0,+∞)上,盡管對數(shù)函數(shù)y=logax

(a>1),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與冪函數(shù)y=xn

(n>0)

都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上.

隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn

(n>0)的增長速度,而y=logax

(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會有3.

冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)增長速度的一般結(jié)論結(jié)論1:的增長快于的增長，所以存在一個(gè)，使x>時(shí),有>.結(jié)論2:的增長快于的增長，所以存在一個(gè)，使x>時(shí),有>.結(jié)論3：在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)(a>1）（a>1),(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同。隨著x的增大

(a>1）的增長速度越來越快，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于（n>0)的增長速度，而(a>1)的增長速度則越來越慢，因此，會存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有探究①以函數(shù)為例.思考:你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0<a<1),y=ax(0<a<1)與冪函數(shù)y=xn(n<0)在區(qū)間(0,+∞)上衰減情況嗎?結(jié)論:在區(qū)間(0,+∞)上,盡管對數(shù)函數(shù)y=logax

(0<a<1),

y=ax(0<a<1)與y=xn

(n<0)

都是減函數(shù),但它們的衰減速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上.

隨著x的增大,y=logax

(0<a<1)的衰減速度越來越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=ax(0<a<1)的衰減速度,而y=xn

(n<0)的衰減速度則會越來越慢.因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會有3.你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0<a<1),

y=ax(0<a<1)與冪函數(shù)y=xn(n<0)在區(qū)間(0,+∞)上衰減情況嗎?【1】四個(gè)變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________.(練習(xí)P.981)練一練練一練【2】某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺計(jì)算機(jī)感染上這種病