初等數(shù)學(xué)研究第三講

第三講實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域一、實(shí)數(shù)域

1、無理數(shù)的引入

1）證明不是有理數(shù)。

2）可為無限不循環(huán)的小數(shù)。2、無理數(shù)的概念無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)3、實(shí)數(shù)及其順序

1）、實(shí)數(shù)的概念

a、正實(shí)數(shù)：十進(jìn)位小數(shù)叫做正實(shí)數(shù)

b、負(fù)實(shí)數(shù)：對(duì)于每一個(gè)正實(shí)數(shù)，有一個(gè)新元素與其對(duì)應(yīng)，滿足

c、正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

2）、實(shí)數(shù)的順序3、退縮有理閉區(qū)間序列

1）、區(qū)間套定義：4）、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

a、實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算（減法運(yùn)算）定理：正實(shí)數(shù)與的和是唯一的。正實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律。實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算注：正實(shí)數(shù)的積唯一實(shí)數(shù)的除法運(yùn)算注：正實(shí)數(shù)的商唯一兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，正、負(fù)實(shí)數(shù)以及正負(fù)實(shí)數(shù)與零的四則運(yùn)算按有理數(shù)數(shù)集中的相關(guān)規(guī)定進(jìn)行。b、正實(shí)數(shù)的開方定理定義：設(shè)，整數(shù)，則稱適合的非負(fù)實(shí)數(shù)為的此算術(shù)根，記為

5）實(shí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1實(shí)數(shù)集R是一個(gè)數(shù)域，而且是一個(gè)有序域。性質(zhì)2實(shí)數(shù)集中阿基米德性質(zhì)成立：

性質(zhì)3實(shí)數(shù)集具有連續(xù)性（數(shù)學(xué)分析中已證明）性質(zhì)4實(shí)數(shù)是不數(shù)集

二、復(fù)數(shù)域1、復(fù)數(shù)的概念（矩陣）定理：復(fù)數(shù)集C關(guān)于它的加法和乘法構(gòu)成復(fù)數(shù)域。2、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

1）、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。虛部不為零的復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)，實(shí)部為零的虛數(shù)叫做純虛數(shù)。

2）、共軛復(fù)數(shù)3）、用向量觀點(diǎn)處理復(fù)數(shù)

a、與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量復(fù)平面二維向量

b、復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的幅角主值復(fù)數(shù)相等的充分必要條件：幅角主值、模相等實(shí)部和虛部相等C、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）（5）

（6）d、復(fù)數(shù)集的性質(zhì)1）復(fù)