高中數(shù)學人教A版第二章數(shù)列 高質(zhì)作品

第二課時等差數(shù)列的前項和的應用一、課前準備1.課時目標：搞清等差數(shù)列求和公式的推導及應用，利用等差數(shù)列前項和的性質(zhì)解決數(shù)列問題，掌握等差數(shù)列和的性質(zhì)，培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的方法，能夠利用等差數(shù)列的和解決實際問題.2.基礎預探：(1)等差數(shù)列前項和的公式的有兩種形式①與②.(2)常用的等差數(shù)列前和的性質(zhì)①；②；③.（3）若數(shù)列均為等比數(shù)列，且前項的和分別為和，那么（4）利用等差數(shù)列求和公式解決應用問題一般確定首項，公差與二、基礎知識習題化（1）如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（2）數(shù)列的前n項和，則的值為（）（A）15(B)16(C)49（D）64（3）設等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9（4）設等差數(shù)列的前n項和為則= （） A．63 B．45 C．36 D．27（5）設為等差數(shù)列的前項和，若，則。三、學習引領(lǐng)

等差數(shù)列的前項和的公式的是關(guān)于二次函數(shù)，注意沒有常數(shù)項，若有常數(shù)項不為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和計算問題，首先要考慮等差數(shù)列的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決問題就利用性質(zhì)來解決，遇到等差數(shù)列求和的最值問題要注意利用數(shù)形結(jié)合思想來解決，在解實際問題時，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決問題的關(guān)鍵，注意確定首項，公差與項數(shù)；注意把所有量都用基本量來表示，變量歸一從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這就是基本思想與方法，樹立目標意識，需要什么就求什么，充分合理的運用條件，時刻注意題目的目標往往也能取得與巧用性質(zhì)相同的效果，從而提高思維的靈活性和對知識掌握的深刻性.四、典型例題題型一有證明等差數(shù)列數(shù)列的前項和為且，求常數(shù)的值；證明：數(shù)列是等差數(shù)列思路導析：（1）分別令，可得；（2）由與的關(guān)系，分情況進行討論，并用等差數(shù)列的的定義證明.解：（1）當時，若,與已知矛盾，所以則，當時，，.（2）由（1）知，當時，則以上相乘便得到，故是以首相，公差為的等差數(shù)列.規(guī)律總結(jié)：遇到與的關(guān)系，一般是把轉(zhuǎn)化為，一般變式訓練1.數(shù)列，，是前項和，求證：是等差數(shù)列；設，求數(shù)列的前項和的最小值.題型二應用問題例22023年“七上八下”的防汛關(guān)鍵時刻，某抗洪指揮部接到預報，24銷售后有一洪峰到達，為確保安全指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道放線.經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道放線？思路導析：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列.工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道放線工程.思路導析：解：從第一輛車投入工作算起各車工作時間（單位：小時）依次設為，由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差.25輛翻斗車完成的工作量為：，而需要完成的工作量為.在24小時內(nèi)能構(gòu)筑成第二道放線.規(guī)律總結(jié)：利用等差數(shù)列求和公式解決實際問題，關(guān)鍵是合理的轉(zhuǎn)化把應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再求解，一般按審題、建模、求最值注意實際意義.變式訓練2.若只有25輛車可以抽調(diào)，則最長每隔多少分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時內(nèi)完成任務？題型三利用等差數(shù)列和的性質(zhì)解題例3設等差數(shù)列的前項的和分別為，若，則的值為（）C.D.思路導析:利用等差數(shù)列和的性質(zhì)解題，可以設出再求解.解：令，可得當故，所以.規(guī)律總結(jié)：充分利用的等差數(shù)列的性質(zhì)解題，可以簡化解題步驟，對于等差數(shù)列的前項和注意是的形式，遇到兩個時可以設出兩個等差數(shù)列的和再求通項來解.變式訓練3.已知等差數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，求五、隨堂練習1.設為數(shù)列的前項和，，則取最小值時，的值為（）.2.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則（）.3.數(shù)列的前n項和，則當時，有A、B、C、D、4.設等差數(shù)列前項和，，則的值.5.等差，，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是___________。6.一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32：27，求該數(shù)列的過公差.六、課后作業(yè)1在等差數(shù)列中，設，，，則關(guān)系為（）A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D都不對2..已知數(shù)列{an}的通項公式為(n∈N*),若前n項和為9,則項數(shù)n為()3.已知等差數(shù)列的公差，且，則當取得最大值時，等于4.設等差數(shù)列，，前項和分別為，若對任意自然數(shù)都有，則.5.在數(shù)列中，，求.6.某公司決定給員工增加工資，提出兩個方案，讓每位員工自由選擇其中一種.甲方案是公司在每年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元.你會怎樣選擇增資方案？請說明你的理由；若保持方案甲不變，而乙方案中每半年末的增資額改為元，問為何值時，方案乙總比方案甲增資多？（說明：①方案的選擇應以讓自己獲得更多增資總額為準；②假定員工工作年限均為整數(shù)）參考答案二、基礎預探：（1）【】（2）【每項的和成等差數(shù)列；當項數(shù)為偶數(shù)時，滿足；當項數(shù)為奇數(shù)時，；】（3）【】（4）【項數(shù)】二、基礎知識習題化1.【答案】C【解析】2.【答案】A【解析】.3.【答案】A【解析】設該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當時，取最小值。4.【答案】B【解析】依題意，S3，S6-S3，S9-S6也構(gòu)成等差數(shù)列，所以=S9-S6=9+2×18=45，選擇B；5.【答案】15【解析】,解得，變式訓練1解：（1）當時，當時，即，整理得即所以是以2為首項公差為4等差數(shù)列（2）設數(shù)列的前項和為，由（1）知，所以數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，令因為得所以當時，取得最小值，最小值為2.解：從第一輛車投入工作算起各車工作時間（單位：小時）依次設為，由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且.由例題的解答可知，需要完成的工作量為480.即25輛翻斗車完成的工作量需滿足條件，解得，所以最長每隔24分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時內(nèi)完成任務.3.解：五、隨堂練習1【C】解析：，即，即，故選C.2.【答案】C【解析】.當時，時成立，即.，，故選C.3.【D】解：由得，所以單調(diào)遞減最大，所以選D4.解析：，即，即.5.解：，所以，所以.6.解：由已知條件，得解得又.在列出方程組后，也可用不求出的值，而是用比例性質(zhì)求解.由，得.又，解得.六、課后作業(yè)1.選A。利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，選A.2..答案:A解析:∵=,∴前n項和==9,解得n=99.3.【.5或6】解析：C由，即，.當或6時，取得最大值.4.答案：解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，又..5.解：，，即，數(shù)列是