高中數(shù)學(xué)人教A版1本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 課后提升作業(yè)二十五

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)二十五生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.用長(zhǎng)為24m的鋼筋做成一個(gè)長(zhǎng)方體框架,若這個(gè)長(zhǎng)方體框架的底面為正方形,則這個(gè)長(zhǎng)方體體積的最大值為() 【解析】選A.設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為xm,則高為(6-2x)m,所以0<x<3,則V=x2·(6-2x)=6x2-2x3,V′=12x-6x2,令V′=0得x=2或x=0(舍),所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí),V是增函數(shù),當(dāng)x∈(2,3)時(shí),V是減函數(shù),所以當(dāng)x=2時(shí),Vmax=4×2=8(m3).2.某工廠需要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng),一邊可以利用原有的墻壁,則要使砌墻所用材料最省,則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為()m,16m m,16mm,8m m,8m【解析】選B.如圖所示,設(shè)場(chǎng)地一邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為512xm.因此新墻總長(zhǎng)度L=2x+512L′=2-512x因?yàn)長(zhǎng)在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它必是最小值點(diǎn).因?yàn)閤=16,所以512x故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16m,長(zhǎng)為32m時(shí),可使砌墻所用的材料最省.【拓展延伸】求幾何體面積或體積的最值問(wèn)題的關(guān)鍵:1.分析幾何體的幾何特征,根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)牧拷⒚娣e或體積的函數(shù),2.再用導(dǎo)數(shù)求最值.3.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)算,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0).已知貸款的利率為,且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x,x∈(0,,若使銀行獲得最大收益,則x的取值為()2 4 3 6【解析】選B.依題意,存款量是kx2,銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是,其中x∈(0,.所以銀行的收益是y=(0<x<,則y′=.令y′=0,得x=或x=0(舍去).當(dāng)0<x<時(shí),y′>0;當(dāng)<x<時(shí),y′<0.所以當(dāng)x=時(shí),y取得最大值,即當(dāng)存款利率為時(shí),銀行獲得最大收益.4.要做一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大,則其高應(yīng)為()2033 20【解析】選A.設(shè)高為xcm,則底面半徑為400-所以圓錐體積V=13π·(400-x2=π(400x-x3)3令V′=0,得x=2033或x=經(jīng)判斷可得x=2035.(2023·梅州高二檢測(cè))設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時(shí),底面邊長(zhǎng)為()A.3V B.32V C.34V【解析】選C.如圖,設(shè)底面邊長(zhǎng)為x(x>0),則底面積S=34x2所以h=VS=4S表=x·4V3x2×3+34x2×2=4S′表=3x-43Vx2,令S′因?yàn)镾表只有一個(gè)極值,故x=34V6.把一個(gè)周長(zhǎng)為12cm的長(zhǎng)方形作為一個(gè)圓柱的側(cè)面,當(dāng)圓柱的體積最大時(shí),該圓柱底面周長(zhǎng)與高的比為()∶2 ∶π ∶1 ∶π【解析】選C.設(shè)圓柱高為x,底面半徑為r,則r=6-x2π,圓柱體積V=π=14π(x3-12x2V′=34π當(dāng)x=2時(shí),V最大.此時(shí)底面周長(zhǎng)為4,底面周長(zhǎng)∶高=4∶2=2∶1.7.三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,則三棱錐O-ABC體積的最大值為() C.43 D.【解析】選=13×2x22·y=x2V′=6x-3x2令V′=0,得x=2或x=0(舍去),所以x=2時(shí),V最大為438.(2023·昆明高二檢測(cè))某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=-x是() 【解析】選D.因?yàn)榭偫麧?rùn)p(x)=-當(dāng)0≤x≤390時(shí),p′(x)=-1300x2+30令p′(x)=0,得x=±300,當(dāng)x∈(0,300)時(shí),p′(x)>0,p(x)遞增,當(dāng)x∈(300,390)時(shí),p′(x)<0,p(x)遞減,所以當(dāng)x=300時(shí),p(x)有最大值40000元,當(dāng)x>390時(shí),p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以當(dāng)x=300時(shí),總利潤(rùn)最大.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬(wàn)件)的總成本C(x)=1200+275x3萬(wàn)件 萬(wàn)件萬(wàn)件 萬(wàn)件【解析】選B.設(shè)單價(jià)為a萬(wàn)元,由題意知a2=kx且502=k100,所以k=502×100=25×10所以a2=25×104x,總利潤(rùn)y=a·x-C(x)=500x·x-1200+275x3=500×y′=250x

-12-令y′=0得x=25,所以產(chǎn)量定為25萬(wàn)件時(shí)總利潤(rùn)最大.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2023·河源高二檢測(cè))把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形,長(zhǎng)為,寬為時(shí),矩形的面積最大.【解析】設(shè)長(zhǎng)為xcm,則寬為(30-x)cm,此時(shí)S=x·(30-x)=30x-x2,S′=30-2x=0,所以x=15.所以長(zhǎng)為15cm,寬為15cm時(shí),矩形的面積最大.答案:15cm15cm【補(bǔ)償訓(xùn)練】若商品的年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(百萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x3+27x+123(x>0),則獲得最大利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)量為百萬(wàn)件.【解析】依題意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),當(dāng)0<x<3時(shí),y′>0;當(dāng)x>3時(shí),y′<0.因此,當(dāng)x=3時(shí),該商品的年利潤(rùn)最大.答案:310.某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與到車(chē)站的距離成正比,如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù),y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元.那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站千米處.【解析】設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站相距x千米,依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1=k1x,每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2=k2x,其中x是倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離,k1,k于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=20x+4y′=-20x2+45得x=5或x=-5(舍去).當(dāng)0<x<5時(shí),y′<0;當(dāng)x>5時(shí),y′>0.所以當(dāng)x=5時(shí),y取得極小值,也是最小值.所以當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車(chē)站5千米處時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2023·韶關(guān)高二檢測(cè))已知A,B兩地相距200km,一只船從A地逆水行駛到B地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比,當(dāng)v=12km/h,每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元,為了使全程燃料費(fèi)最省,船的實(shí)際速度為多少?【解析】設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1元,比例系數(shù)為k(k>0),則y1=kv2,當(dāng)v=12時(shí),y1=720,所以720=k·122,得k=5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y元,由題意y=y1·200v-8=1所以y′=2=1000令y′=0,得v=16,所以當(dāng)v0≥16,v=16km/h時(shí)全程燃料費(fèi)最省,ymin=32000(元);當(dāng)v0<16,v∈(8,v0]時(shí),y′<0,即y在(8,v0]上為減函數(shù),所以當(dāng)v=v0時(shí),ymin=1000綜上,當(dāng)v0≥16,v=16km/h時(shí),船的實(shí)際速度為16-8=8(km/h),此時(shí)全程燃料費(fèi)最省,為32000元;當(dāng)v0<16,v=v0時(shí),船的實(shí)際速度為(v0-8)km/h,此時(shí)全程燃料費(fèi)最省,為1000【誤區(qū)警示】忽視定義域致錯(cuò)本題在解題過(guò)程中容易忽視定義域,誤以為v=16時(shí)取得最小值.本題的關(guān)鍵是弄清極值點(diǎn)是否在定義域范圍內(nèi).12.某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價(jià)為x元(6<x<11),年銷(xiāo)量為u萬(wàn)件,若已知5858-u與x(1)求年利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式.(2)求售價(jià)為多少時(shí),年利潤(rùn)最大,并求出最大年利潤(rùn).【解析】(1)設(shè)5858-u=kx因?yàn)槭蹆r(jià)為10元時(shí),年銷(xiāo)量為28萬(wàn)件,所以5858-28=k10所以u(píng)=-2x-21=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).(2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,顯然,當(dāng)x∈(6,9)時(shí),y′>0;當(dāng)x∈(9,11)時(shí),y′<0.所以函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.所以當(dāng)x=9時(shí),ymax=135,所以售價(jià)為9元時(shí),年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的總面積為8m2,問(wèn):x,y分別是多少時(shí)用料最省?(精確到【解析】依題意,有xy+12·x·x所以y=8-x24x=8于是框架用料長(zhǎng)度為l=2x+2y+22x2=32l′=32+2-16解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).當(dāng)0<x<8-42時(shí),l′<0;當(dāng)8-42<x<42時(shí),l′>0,所以當(dāng)x=8-42時(shí),l取得最小值,此時(shí),x=8-42≈(m),y≈.即當(dāng)x為,y為時(shí),用料最省.【能力挑戰(zhàn)題】請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷,它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐.試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí),帳篷的體積最大?最大體積是多少?【解題指南】帳篷可看做一個(gè)正六棱錐與一個(gè)正六棱柱的組合體.【解析】設(shè)OO1為xm,則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為32-(x-1)于是底面正六邊