離散時間信號頻域分析

廣州大學物理與電子工程學院1.3離散時間信號的頻域分析第一章離散信號與系統(tǒng)分析主要內容

一、離散Fourier級數(shù)（DFS）二、離散Fourier級數(shù)的基本性質三、離散時間Fourier變換（DTFT）四、離散時間Fourier變換的性質五、頻域抽樣定理重點與難點重點1、DFS的定義與性質2、DTFT的定義與性質難點1、周期序列的周期卷積2、離散非周期序列與其DTFT的對稱特性3、頻域抽樣定理一、離散Fourier級數(shù)1、離散Fourier級數(shù)的定義：

稱為周期序列的離散Fourier級數(shù)(DFS)，也稱為周期序列的頻譜。一、離散Fourier級數(shù)周期為N的序列的頻譜也是周期為N的序列2、離散Fourier級數(shù)的周期性：例1：求周期為4序列的頻譜解：解：矩陣形式表示：={2，2，-2，2}例1：求周期為4序列的頻譜二、離散Fourier級數(shù)的基本性質1.線性特性二、離散Fourier級數(shù)的基本性質2.位移特性周期序列的位移2.位移特性(a)時域位移特性

序列在時域的位移，對應其頻域的相移。二、離散Fourier級數(shù)的基本性質(b)頻域位移特性

序列在時域的相移，對應其頻域的位移3.對稱特性若為實序列，即，則有：二、離散Fourier級數(shù)的基本性質4.周期卷積特性周期卷積的定義：

周期卷積是兩個等周期的周期序列的卷積運算。周期卷積的結果仍為相同周期的周期序列。二、離散Fourier級數(shù)的基本性質例3：周期N=3的序列如圖所示，試求012k121

周期卷積與線性卷積類似，只是在一個周期內求和。周期卷積的矩陣表示：例：N=4二、離散Fourier級數(shù)的基本性質4.周期卷積特性

時域周期卷積定理：

頻域周期卷積定理：

時域的周期卷積對應頻域的乘積。二、離散Fourier級數(shù)的基本性質

時域的乘積對應頻域的周期卷積。5.Parseval定理

時域周期序列的功率等于頻域周期序列的功率。二、離散Fourier級數(shù)的基本性質X(ejW

)是W的連續(xù)函數(shù)

X(ejW)是周期為2p的周期函數(shù)IDTFT：DTFT:序列的DTFT定義三、離散時間Fourier變換(DTFT)例4：

試求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

當|a|>1時，求和不收斂，序列的DTFT不存在。

當|a|<1時，解：DTFT的收斂性

定義X(ejW)的部分和為：即x[k]絕對可和。一致收斂平方可和，即能量有限均方收斂

若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT。（充分條件）

若序列滿足平方可和(能量有限)，存在DTFT。（充分條件）三、離散時間Fourier變換(DTFT)1.線性特性若：則有：四、離散時間Fourier變換的性質若則

序列的時域位移對應頻域的相移2.時移特性四、離散時間Fourier變換的性質若則

序列的頻域的頻移對應時域相移3.頻移特性四、離散時間Fourier變換的性質例6：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：若：則：4.對稱特性四、離散時間Fourier變換的性質4.對稱特性當x[k]是實序列時，有：四、離散時間Fourier變換的性質證明：由于x[k]為實序列，所以有x[k]=x*[k]，從而有：當x[k]為實偶序列時，即x[k]=x*[k]

，x[k]=x[-k]，有

所以，X(ejW)是W的虛奇函數(shù)。當x[k]為實奇序列時，即x[k]=x*[k]

，x[k]=-x[-k]

，四、離散時間Fourier變換的性質所以，X(ejW)是W的實偶函數(shù)。4.對稱特性x[k]為虛偶序列，

x[k]為虛奇序列，

思考題：例5：已知x[k]是實奇序列，且x[k]的DTFT是X(eiΩ)。證明X(eiΩ)

是虛奇函數(shù)。例7：試求序列y[k]的DTFT。5.卷積特性

序列時域的卷積對應頻域的乘積序列時域的乘積對應頻域的卷積四、離散時間Fourier變換的性質6.頻域微分四、離散時間Fourier變換的性質序列時域的能量等于頻域的能量！證:7.Parseval定理四、離散時間Fourier變換的性質例8：已知x[k]為一有限長序列且不計算x[k]的DTFTX(ejW)，試直接確定下列表達式的值。

解：(1)(2)(3)(4)(5)

(1)(2)(3)(4)(5)是連續(xù)的周期函數(shù)。頻域抽樣定理的引出：

五、頻域抽樣定理問題1：如何用計算機處理x[k]的頻譜？解決方法：問題2：頻譜離散化之后對應序列的與原來的序列有什么關系？——頻域抽樣定理序列頻譜的離散化，對應其時域序列的周期化。頻率抽樣定理：

五、頻域抽樣定理問題3：時域序列x[k]如何周期化？

結論1：當周期化后的周期N小于序列長度時，周期化后的序列會出現(xiàn)混疊(aliasing)。序列的周期化

結論2：當周期化后的周期N大于等于序列長度時,周期化后的序列與原序列一個周期內的值相同。X(ejW)在頻域的離散化導致對應的時域序列x[k]的周期化。x(t)在時域的離散化導致對應的頻譜函數(shù)X(jw)的周期化。時域抽樣頻域抽樣CTFTDTFTIDTFTIDFS

五、頻域抽樣定理頻域抽樣定理例9：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT為X(ejW)。記X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取樣值為X[m]，求IDFS{X[m]}

。IDFS{X[m]}=x[k]+x[k+3]+x[k-3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：

X(ejW)在頻域的離散化導致對應的時域序列x[k]的周期化。利用頻域抽樣定理1、離散Fourier級數(shù)六、小結1)DFS的定義：2)DFS的周期性：六、小結2、離散Fourier級數(shù)的基本性質1)線性特性2)位移特性(a)時域位移特性:(b)頻域位移特性:3)對稱特性4)周期卷積時域周期卷積定理：頻域周期卷積定理：5)Parseval定理六、小結3、離散時間Fourier變換（DTFT）IDTFT：DTFT:1)DTFT的定義2)DTFT的收斂性即x[k]絕對可和。則x[k]平方可和。

若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT。（充分條件）

若序列滿足平方可和，