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學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(一)(建議用時(shí):45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,則sinA∶sinB的值是________.【解析】由正弦定理可知,sinA∶sinB=a∶b=5∶3.【答案】5∶32.在△ABC中,若A=75°,B=60°,c=2,則b=________.【解析】在△ABC中,C=180°-A-B=45°,∴b=eq\f(csinB,sinC)=eq\f(2sin60°,sin45°)=eq\r(6).【答案】eq\r(6)3.在△ABC中,若eq\f(sinA,a)=eq\f(cosC,c),則C的值為________.【解析】由正弦定理可知,eq\f(sinA,a)=eq\f(sinC,c),又eq\f(sinA,a)=eq\f(cosC,c),∴eq\f(sinC,c)=eq\f(cosC,c),即tanC=1,0°<C<180°,∴C=45°.【答案】45°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(π,4)))4.(2023·北京高考)在△ABC中,a=3,b=eq\r(6),∠A=eq\f(2π,3),則∠B=________.【解析】在△ABC中,根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),有eq\f(3,sin\f(2π,3))=eq\f(\r(6),sinB),可得sinB=eq\f(\r(2),2).因?yàn)椤螦為鈍角,所以∠B=eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)5.在△ABC中,已知a=4eq\r(3),b=4eq\r(2),A=60°,則c=________.【導(dǎo)學(xué)號(hào):91730002】【解析】由eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),得sinB=eq\f(b,a)sinA=eq\f(4\r(2),4\r(3))×eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(2),2).∵b<a,∴B=45°,C=180°-A-B=75°,∴c=aeq\f(sinC,sinA)=4eq\r(3)×eq\f(sin75°,sin60°)=2(eq\r(2)+eq\r(6)).【答案】2(eq\r(2)+eq\r(6))6.在△ABC中,已知a=18,b=16,A=150°,則滿足條件的三角形有________個(gè).【解析】A=150°>90°,∵a>b,∴滿足條件的三角形有1個(gè).【答案】17.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,則最短邊的長(zhǎng)為________.【解析】易得A=75°,∴B為最小角,即b為最短邊,∴由eq\f(c,sinC)=eq\f(b,sinB),得b=eq\f(\r(6),3).【答案】eq\f(\r(6),3)8.(2023·蘇州高二檢測(cè))在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=________.【解析】由A∶B∶C=1∶2∶3,可知A=eq\f(π,6),B=eq\f(π,3),C=eq\f(π,2).∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1=1∶eq\r(3)∶2.【答案】1∶eq\r(3)∶2二、解答題9.在△ABC中,若a=2eq\r(3),A=30°,討論當(dāng)b為何值時(shí)(或在什么范圍內(nèi)),三角形有一解,有兩解或無解?【解】當(dāng)a<bsin30°,即b>4eq\r(3)時(shí),無解;當(dāng)a≥b或a=bsinA,即b≤2eq\r(3)或b=4eq\r(3)時(shí),有一解;當(dāng)bsinA<a<b,即2eq\r(3)<b<4eq\r(3)時(shí),有兩解.10.在△ABC中,b=2a,B=A+60°,求角A【解】根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),把b=2a代入得eq\f(a,sinA)=eq\f(2a,sinB),∴sinB=2sinA.又∵B=A+60°,∴sin(A+60°)=2sinA,展開得-eq\f(3,2)sinA+eq\f(\r(3),2)cosA=0,∴sin(A-30°)=0,解得A=30°.能力提升]1.(2023·南通高二檢測(cè))在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asinB=eq\r(3)b,則角A等于________.【解析】由正弦定理可得,2asinB=eq\r(3)b可化為2sinAsinB=eq\r(3)sinB,又sinB≠0,即sinA=eq\f(\r(3),2),又△ABC為銳角三角形,得A=eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)2.(2023·廣東高考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則eq\f(a,b)=________.【解析】因?yàn)閎cosC+ccosB=2b,所以sinBcosC+sinCcosB=2sinB,故sin(B+C)=2sinB.故sinA=2sinB,則a=2b,即eq\f(a,b)=2.【答案】23.在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是____________.【導(dǎo)學(xué)號(hào):91730003】【解析】因?yàn)槿切斡袃山?,所以asinB<b<a,即eq\f(\r(2),2)x<2<x,∴2<x<2eq\r(2).【答案】(2,2eq\r(2))4.在△ABC中,acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-A))=bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-B)),判斷△ABC的形狀.【解】法一∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-A))=bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-B)),∴asinA=bsinB.由正弦定理可得a·eq\f(a,2R)=b·eq\f(b,2R),∴a2=b2,即a=b,∴△ABC為等腰三角形.法二∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co
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