概率論復(fù)習(xí)一

第一節(jié)總體、樣本和統(tǒng)計量一、總體和樣本二、統(tǒng)計量三、小結(jié)1.總體與樣本的初步描述總體:研究對象的全體個體:每一個具體的研究對象

樣本:一部分個體樣本容量:樣本中個體的數(shù)目一、總體與樣本（1）代表性：

Xi，i=1,…,n與總體同分布.（2）獨(dú)立性：X1,…,Xn相互獨(dú)立；

則稱X1,…,Xn為容量為n的簡單隨機(jī)樣本.1.定義：設(shè)X1，…，Xn是取自于總體X的樣本，稱樣本X1，…，Xn

的函數(shù)T(X1，…，Xn

)且不含未知參數(shù),則稱T(X1，…，Xn

)是總體X的一個統(tǒng)計量.將樣本觀察值x1,…,xn代入統(tǒng)計量T中,稱得到的實數(shù)T(x1,…,xn)為統(tǒng)計量的觀察值.

二、統(tǒng)計量2.

幾個常用統(tǒng)計量的定義(1)樣本均值(2)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差修正樣本方差修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3)

樣本k階矩

k階中心矩

k階(原點(diǎn))矩第三節(jié)抽樣分布一、常見分布二、正態(tài)總體抽樣分布定理三、小結(jié)1.性質(zhì)1注3

性質(zhì)2t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.2.t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20則稱F服從第一自由度為n,第二自由度為m的F分布.

X,Y相互獨(dú)立，設(shè)令3.F分布則稱λ為X分布的上側(cè)分位數(shù).使P{X>λ}=，定義對總體X和給定的(0<<1)，若存在λ，如圖.oyxP{X>λ}=若存在數(shù)1、2，使P{X>1}=P{X<2}則稱1、2為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx214.分位數(shù)定理一樣本均值的分布二.正態(tài)總體抽樣分布定理特別地:定理二樣本方差的分布注:本定理是統(tǒng)計學(xué)的核心定理.定理三樣本均值與樣本方差適當(dāng)比值的分布的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例1設(shè)

,為使樣本均值大于70解

設(shè)樣本容量為n,則故令得即所以取第七章參數(shù)估計

點(diǎn)估計

估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)

正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計求參數(shù)點(diǎn)估計量的方法有矩估計法(ME)與極大似然估計法(MLE)。二.參數(shù)的點(diǎn)估計量的方法計算矩估計量步驟：1.求總體的各階原點(diǎn)矩；2.解出要求參數(shù)；3.替換，用樣本原點(diǎn)矩替換總體原點(diǎn)矩解例2

設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)，且>0，試求的矩估計.求極（最）大似然估計量的步驟:2、極大似然估計法對數(shù)似然方程例8設(shè)X1,…,Xn為取自參數(shù)為的指數(shù)分布的總體的樣本，a>0為一給定實數(shù)，求

的極大似然估計.解:令第三節(jié)估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、無偏性三、有效性四、一致性五、小結(jié)為的無偏估計(UE).若稱為的漸近無偏估計（AUE）。定義,統(tǒng)計量滿足稱二、無偏性三、有效性第四節(jié)區(qū)間估計一、區(qū)間估計的基本概念二、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計三、小結(jié)一、區(qū)間估計的基本概念1.雙側(cè)置信區(qū)間的定義3.

求雙側(cè)置信區(qū)間的一般步驟(共3步)1、一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計二、正態(tài)總體的區(qū)間估計（1）已知，求的置信區(qū)間置信度為1-α的置信區(qū)間為：今抽9件測量其長度,得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例2的1-置信區(qū)間為（2）未知，求的置信區(qū)間例3

包糖機(jī)某日開工包糖，抽取12包糖，稱得重量（單位：千克）為9.9

10.1

10.3

10.4

10.5

10.29.7

9.8

10.1

10.09.810.3假定重量服從正態(tài)分布，試求該機(jī)器所包糖的平均重量的置信度為95%的置信區(qū)間。解利用公式，得到的置信度為95%的置信區(qū)間為設(shè)給定置信度1-，由觀測值x1,x2,…,xn，求2或的置信區(qū)間。（3）未知，求的置信區(qū)間2的置信度為1的置信區(qū)間為的置信度為1的置信區(qū)間為解例4

隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的修正設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布的樣本方差為。求方差的置信度為90%的置信區(qū)間。第八章假設(shè)檢驗§8.1假設(shè)檢驗的基本概念§8.2總體均值的假設(shè)檢驗§8.3總體方差的假設(shè)檢驗§8.4分布函數(shù)的擬合檢驗第一節(jié)假設(shè)檢驗的基本概念二、假設(shè)檢驗的基本思想三、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念一、問題的提出四、小結(jié)定義：對總體的分布函數(shù)或分布函數(shù)的某些參數(shù)作出某種假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè)記為H0，也可稱之為原假設(shè)（零假設(shè)，待檢假設(shè)）.把問題的反面，稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，用H1表示.定義：一個問題僅提出一個假設(shè)，并不同時研究其它假設(shè)，稱為簡單假設(shè)檢驗問題。一、問題的提出

3.確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式;假設(shè)檢驗的基本步驟：6.

兩類錯誤及記號假設(shè)檢驗的依據(jù)是:小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生,但很難發(fā)生不等于不發(fā)生,因而假設(shè)檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的.這種錯誤有兩類:(1)當(dāng)原假設(shè)H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱做第一類錯誤,又叫棄真錯誤,這類錯誤是“以真為假”.犯第一類錯誤的概率是顯著性水平三、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念(2)當(dāng)原假設(shè)H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱做第二類錯誤,又叫取偽錯誤,這類錯誤是“以假為真”.

犯第二類錯誤的概率記為三、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)分布均值的假設(shè)檢驗二、兩個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗三、小結(jié)設(shè)總體，X1，X2,…，Xn為來自總體X的一個樣本。檢驗假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：一、單個正態(tài)總體均值的檢驗檢驗法例1已知某零件的長度（單位：mm）服從，其標(biāo)準(zhǔn)長度即應(yīng)為32.05.現(xiàn)從中抽查6件，測得它們的長度為32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,試問這批零件的長度是否符合產(chǎn)品的要求？解假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：一、單個正態(tài)總體均值的檢驗例1已知某零件的長度（單位：mm）服從，其標(biāo)準(zhǔn)長度即應(yīng)為32.05.現(xiàn)從中抽查6件，測得它們的長度為32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,試問這批零件的長度是否符合產(chǎn)品的要求？解計算統(tǒng)計量的觀測值：作出判斷：所以拒絕H0，即認(rèn)為這批零件不符合要求。一、單個正態(tài)總體均值的檢驗例1已知某零件的長度（單位：mm）服從，其標(biāo)準(zhǔn)長度即應(yīng)為32.05.現(xiàn)從中抽查6件，測得它們的長度為32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,試問這批零件的長度是否符合產(chǎn)品的要求？一、單個正態(tài)總體均值的檢驗以上檢驗法中，拒絕域表示為小于一個給定數(shù)或大于另一個給定數(shù)的所有數(shù)的集合，稱為雙側(cè)檢驗.設(shè)總體，X1，X2,…，Xn為來自總體X的一個樣本。檢驗假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：一、單個正態(tài)總體均值的檢驗檢驗法設(shè)總體，X1，X2,…，Xn為來自總體X的一個樣本。檢驗假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：一、單個正態(tài)總體均值的檢驗檢驗法例2已知鐵水中碳的百分含量為現(xiàn)測定5爐，其含碳的百分含量分別為4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不變，問均值是否明顯下降？解單邊假設(shè)檢驗假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：例2已知鐵水中碳的百分含量為現(xiàn)測定5爐，其含碳的百分含量分別為4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不變，問均值是否明顯下降？解計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值：作出判斷：所以拒絕H0，即認(rèn)為這批鐵水的含量有了明顯下降。設(shè)總體，X1，X2,…，Xn為來自總體X的一個樣本。檢驗假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：一、單個正態(tài)總體均值的檢驗檢驗法例3用自動裝袋機(jī)裝葡萄糖，每袋標(biāo)準(zhǔn)重500克，每隔一定時間需檢查機(jī)器工作是否正常.現(xiàn)抽得10袋，測得其重量為（單位：克）495，510，505，498，503，492，502,512,497,506,假定重量服從正態(tài)分布，問機(jī)器是否正常？解由于2未知，所以用T

檢驗法假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：作出判斷：接受H0，可以認(rèn)為機(jī)器工作正常.統(tǒng)計量觀測值：例5

某廠生產(chǎn)樂器用的合金弦線的抗拉強(qiáng)度服從均值為10560（kg/cm2）的正態(tài)分布。今改進(jìn)工藝生產(chǎn)一批合金弦，從中抽出10根，測得其抗拉強(qiáng)度為（kg/cm2）：10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670問改進(jìn)工藝后生產(chǎn)的合金弦是否較過去的合金弦抗拉強(qiáng)度要高？（α=0.05）解設(shè)抗拉強(qiáng)度為X，則未知.假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：由樣本觀測值有：則統(tǒng)計量的觀測值為：作出判斷：拒絕H0,即認(rèn)為改進(jìn)工藝后合金弦的抗拉強(qiáng)度有明顯提高。第三節(jié)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗一、單個總體的情況二、兩個總體的情況三、小結(jié)一、單個總體的情況(1)要求檢驗假設(shè):拒絕域為:(2)單邊檢驗問題的拒絕域檢驗假設(shè):檢驗問題的拒絕域為同理檢驗假設(shè):拒絕域為例1

某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標(biāo)服從正態(tài)分布,現(xiàn)隨機(jī)抽取10根,檢查其折斷力,測得數(shù)據(jù)如下(單位:千克):575,576,570,569,572,582,577,580,572,585.設(shè)銅絲的折斷力服從正態(tài)分布問是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為64?解查表得認(rèn)為該廠生產(chǎn)銅絲的折斷力的方差為64.解例2

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差