關于生產與貯存的模型控制

關于生產與貯存的模型控制

問題提出

一家集生產，銷售于一體的公司，希望生產率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預先設定的水平上，如果銷售量可以預測，公司需要指定一個根據(jù)貯存量控制生產率的策略。

（1）

以在一定時間T內生產率和貯存量與設定值誤差的（加權）平方和最小為目標，給出泛函極值問題。

（2）

設銷售量為常數(shù)，求出最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出生產率和貯存量之間的關系。

問題分析

對于本題，可以根據(jù)題目的相關要求先列出目標函數(shù)，對于給出的泛函極值問題，利用變分法來解決生產與貯存的泛函極值問題，從而建立一個根據(jù)貯存量控制生產率的模型。根據(jù)相關的假設和考慮到的實際情況,得出貯存量的最優(yōu)狀態(tài)方程和生產率的最優(yōu)控制方程，并且由求得的這兩個方程進一步得出在穩(wěn)定情形下生產率和貯存量之間的關系。建立模型

在[0,T]內,記時刻t的貯存量為x（t），生產率(即單位時間的產量)和銷

售量分別為u（t）和V（t），則它們應滿足：

（1）

其中V（t）在每個時刻是可以預測的。

假設預先設定的生產率（即單位時間產量）和貯存量分別為u0和x0，使生產率u（t）和貯存量x（t）盡量分別穩(wěn)定在u0和x0的水平上，建立模型

用數(shù)學式子可以表示為，求控制函數(shù)u（t）使

（2）

達到最小值，其中T是任意給定時間，α是加權因子，用來調節(jié)u（t）和x（t）穩(wěn)定二者之間的重要程度，并應具有時間倒數(shù)的量綱，即隨著時間t的增大α則隨之減小。（2）式稱為二次型目標函數(shù)。建立模型

在（1）（2）中貯存量x（t）是狀態(tài)函數(shù)，為確定起見不妨設t=0,t=T時貯存量為零，即：

（3）

另外實際上對生產率和貯存量都會有所限制，不妨記作：

（4）

問題歸結為在約束條件（1），（3），（4）下求使（2）式之泛函J達到最小值。

從（1）式中解出u（t）代入（2）式，并將其寫成X（t），的泛函

（5）建立模型

暫不考慮條件（4），則（3），（5）構成一個固有端點的泛函極值問題，可用變分法求解。得到最優(yōu)解X(t),再代入方程（1）中即可得到最優(yōu)控制函數(shù)。

當銷售量為常數(shù)時,

為簡化求解過程，設

（6）

下面我們用變分法求方程（5）的最優(yōu)解。

令：

以（6）式代入（5）式，根據(jù)歐拉方程

可以得到最優(yōu)解x（t）應滿足方程：

即：

（7）建立模型

設方程（7）的解為

則顯然，

根據(jù)初值（3）可解得

,

所以方程（7）在端點條件（3）下的解為：

（8）

把（8）代入（1）可得：

（9）

上述兩式分別為最優(yōu)狀態(tài)函數(shù)和最優(yōu)控制函數(shù)。

建立模型

為了研究最優(yōu)解u（t）和x（t）之間的關系，由(9)和（8）兩式可以得到:

（10）

令T→∞,則對任意有限的t，上式右端組后一項趨于零，于是有：

（11）

最后考察約束條件（4），利用雙曲函數(shù)

,

建立模型

可以將(8)(9)兩式重新表示為：

（12）

（13）

根據(jù)（12）(13)式下圖畫出了最優(yōu)解x（t）和u（t）的示意圖

建立模型

由圖可以看出可以看出，只要

就有

即x（t）滿足條件（4）。

而給出的參數(shù)Xm，X0自然應該有

另一方面，因為：

所以只要：

有：

建立模型

在這樣的條件下(8)(9)兩式給出的x（t），u（t）也是考慮到約束條件（4）的原問題的最優(yōu)解，因為在約束條件的邊界上泛函極值問題（3）（5）不可能得到優(yōu)于(8)(9)的解。但是，如果(8)(9)表示的x（t），u（t）越出了條件（4）的限制，模型求解將會變得十分復雜，變分法會無能為力。

模型的評價

優(yōu)點：從此模型中我們可以根據(jù)狀態(tài)x(貯存量)直接控制函數(shù)u(生產率)，而不涉及自變量t（時間），并且當x增加時u減少，這種控制方式稱為狀態(tài)負反饋，它比形如（9）式的顯含t的控制函數(shù)應用起來方便得多，因為只需要根據(jù)