山西省大同市同煤集團(tuán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省大同市同煤集團(tuán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓，直線(xiàn)，圓C上任意一點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離小于2的概率為_(kāi)_________.A． B． C． D．參考答案：A2.如圖，給出的是的值的一個(gè)程序框圖，框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99參考答案：A【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知中該程序的功能是計(jì)算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為2，則最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿(mǎn)足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿(mǎn)足循環(huán)條件，由此易給出條件中填寫(xiě)的語(yǔ)句．【解答】解：∵該程序的功能是計(jì)算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為2，則最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿(mǎn)足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿(mǎn)足循環(huán)條件，故判斷框中應(yīng)該填的條件是：i≤99故選A．3.若滿(mǎn)足則下列不等式恒成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球體積為（） A． B． C．32π D．8π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積；簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖． 【分析】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為，，2的長(zhǎng)方體的外接球，計(jì)算出球的半徑，代入球的體積公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐， 其外接球相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為，，2的長(zhǎng)方體的外接球， 故外接球的半徑R==， 故球的體積V==， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀． 5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D6.“0＜a＜b”是“”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【專(zhuān)題】證明題．【分析】根據(jù)底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù)，先判斷“0＜a＜b”?“”的真假，與“”?“0＜a＜b”的真假，然后根據(jù)充要條件的定義得到結(jié)論．解：當(dāng)“0＜a＜b”時(shí)，“”成立，故“0＜a＜b”是“”的充分條件；當(dāng)“”時(shí)，“a＜b”成立，但“0＜a＜b”不一定成立，故“0＜a＜b”是“”的不必要條件故“0＜a＜b”是“”充分不必要條件故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷“0＜a＜b”?“”的真假，與“”?“0＜a＜b”的真假，是解答本題的關(guān)鍵．7.已知函數(shù)滿(mǎn)足：都是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A、函數(shù)在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞減；B、函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心；C、方程在上一定有偶數(shù)個(gè)解；D、函數(shù)存在極值點(diǎn)，且；參考答案：D略8.若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是A．4

B．5C．6

D．7參考答案：A9.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”問(wèn)此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．10.已知點(diǎn)為△所在平面上的一點(diǎn)，且，其中為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)落在△的內(nèi)部，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在正方體..中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P﹣ABC的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖的面積的比值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】由題意確定P在主視圖中的射影到AB在平面CDD1C1上的射影的距離，P的射影在左視圖中到AC在平面BCC1B1三度射影的距離，即可求出主視圖與左視圖的面積的比值．【解答】解：由題意可知，P在主視圖中的射影是在C1D1上，AB在主視圖中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距離是正方體的棱長(zhǎng)；P在左視圖中，的射影是在B1C1上，在左視圖中AC在平面BCC1B1三度射影是BC，P的射影到BC的距離是正方體的棱長(zhǎng)，所以三棱錐P﹣ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為：=1．故答案為1．12.已知，，，則_____參考答案：【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)角所處的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和；根據(jù)，利用兩角和差余弦公式可求得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】

，則

，又

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換公式求解角度的問(wèn)題，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用、同角三角函數(shù)值的求解、兩角和差余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造的方式，將所求角用已知角表示出來(lái).13.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是，體積為．參考答案：．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】幾何體為側(cè)放的五棱柱，底面為主視圖中的五邊形，高為4．【解答】解：由三視圖可知幾何體為側(cè)放的五棱柱，底面為正視圖形狀，高為4，∴幾何體的表面積為（2+4+4+2+2）×4+（42﹣）×2=76+8．幾何體的體積為（42﹣）×4=56．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，表面積，體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14.已知集合,對(duì)它的非空子集A,先將A中的每個(gè)元素分別乘以,再求和(如A={1,3,6},可求得和為),則對(duì)M的所有非空子集,這些和的總和是_________________.

參考答案：答案：9615.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意等差數(shù)列及任意正整數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為

．參考答案：16.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為

．參考答案：17.在中，，，，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.幾個(gè)月前，成都街頭開(kāi)始興起“mobike”、“ofo”等共享單車(chē)，這樣的共享單車(chē)為很多市民解決了最后一公里的出行難題，然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問(wèn)題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬?chē)占為“私有”等．為此，某機(jī)構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車(chē)隨機(jī)調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車(chē)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：年齡[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受訪(fǎng)人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車(chē)人數(shù)4512973（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車(chē)有關(guān)系；

年齡低于35歲年齡不低于35歲合計(jì)支持

不支持

合計(jì)

（2）若對(duì)年齡在上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由題意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在極值，則或，分類(lèi)討論，分別構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求導(dǎo)g′（x）=+﹣=，設(shè)h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，當(dāng)1≤x＜e時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，顯然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在極值，則或，當(dāng)，即1＜a＜時(shí)，則必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，當(dāng)x變化時(shí)，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓極小值↓極小值↓當(dāng)1＜a＜時(shí)，g（x）在上的極值為g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，設(shè)φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，則φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，當(dāng)1＜a＜，g（x）在上的極值g（x2）＞g（x1）＞0，當(dāng)，即0＜a≤1時(shí)，則必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上單調(diào)遞增，在（x3，e2]上單調(diào)遞減，此時(shí)，g（x）在上的極大值時(shí)g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，綜上可知：當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，為正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：作的中點(diǎn)，連結(jié)．

在中，，又據(jù)題意知，．

∴，∴四邊形為平行四邊形．

∴，又平面，平面．

∴平面．……4分（Ⅱ）∵，∴平面．

在正中，，∴三線(xiàn)兩兩垂直．

分別以為軸，建系如圖．

則，，．

∴，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，令，則．

∴平面的一個(gè)法向量為．

又平面的一個(gè)法向量為．

∴．

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………8分20.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A為C上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．(1)若當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且為等邊三角形，求C的方程；(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線(xiàn)C，若點(diǎn)，記點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，AE交x軸于點(diǎn)P，且，求證：點(diǎn)P的坐標(biāo)為，并求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d的取值范圍．參考答案：(1)；(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）由拋物線(xiàn)焦半徑公式知，根據(jù)等邊三角形特點(diǎn)可知，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)；根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到所求方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；利用三點(diǎn)共線(xiàn)，根據(jù)向量共線(xiàn)坐標(biāo)表示可得，代入韋達(dá)定理整理得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用為等腰直角三角形可求得，從而構(gòu)造出方程求得，根據(jù)韋達(dá)定理的形式可確定的取值范圍；利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)值域的求解問(wèn)題；利用函數(shù)單調(diào)性求得所求的范圍即可.【詳解】（1）由題意知：，等邊三角形

中點(diǎn)為：由為等邊三角形知：，即軸

，解得：的方程為：（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，則由得：

設(shè)，則，三點(diǎn)共線(xiàn)

即

為等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，則在上單調(diào)遞減

【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)綜合應(yīng)用的問(wèn)題，涉及到拋物線(xiàn)方程的求解、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用、拋物線(xiàn)中取值范圍類(lèi)問(wèn)題的求解等知識(shí)；求解取值范圍類(lèi)問(wèn)題的常用方法是利用變量表示出所求量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問(wèn)題；本題易錯(cuò)點(diǎn)是缺少對(duì)于范圍的求解，造成取值范圍缺少上限.21.已知函數(shù)．（1）若，解關(guān)于的方程；（2）求函數(shù)在[1,e]上的最大值；（3）若存在m，對(duì)任意的恒有，試確定a的所有可能值．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，顯然，所以是方程的一個(gè)根．………………2分又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以是方程的唯一根．

………………4分（2）因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，恒有，所以在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即，；若，即，；若，即，．綜上所述，在上的最大值為………10分（3）因?yàn)閷?duì)任意的恒有，所以，（?。┰O(shè)，則，顯然在單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，恒有，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，有，所以，使得，從而當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，不符合題意.綜上，恒成立時(shí)，.……………………13分（ⅱ）設(shè)，則，在單調(diào)遞增（建議閱卷忽略，講評(píng)要求